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Theorem nlmvscn 18723
Description: The scalar multiplication of a normed module is continuous. Lemma for nrgtrg 18725 and nlmtlm 18729. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmvscn.sf  |-  .x.  =  ( .s f `  W
)
nlmvscn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
nlmvscn.kf  |-  K  =  ( TopOpen `  F )
Assertion
Ref Expression
nlmvscn  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  e.  (
( K  tX  J
)  Cn  J ) )

Proof of Theorem nlmvscn
Dummy variables  r  x  y  s  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlmlmod 18714 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 nlmvscn.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
5 nlmvscn.sf . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s f `  W
)
62, 3, 4, 5lmodscaf 15972 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  .x.  :
( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  W ) ) --> (
Base `  W )
)
71, 6syl 16 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  : (
( Base `  F )  X.  ( Base `  W
) ) --> ( Base `  W ) )
8 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( dist `  W )  =  (
dist `  W )
9 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( dist `  F )  =  (
dist `  F )
10 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
11 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( norm `  F )  =  (
norm `  F )
12 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
13 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  /  ( ( (
norm `  F ) `  x )  +  1 ) )  =  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  F
) `  x )  +  1 ) )
14 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  /  ( ( (
norm `  W ) `  y )  +  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  F
) `  x )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  W
) `  y )  +  ( ( r  /  2 )  / 
( ( ( norm `  F ) `  x
)  +  1 ) ) ) )
15 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  W  e. NrmMod )
16 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
r  e.  RR+ )
17 simplrl 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( Base `  F ) )
18 simplrr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
y  e.  ( Base `  W ) )
193, 2, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18nlmvscnlem1 18722 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) )
2019ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) )
21 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  F )
)
22 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  F )
)
2321, 22ovresd 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  =  ( x ( dist `  F ) z ) )
2423breq1d 4222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  <->  ( x
( dist `  F )
z )  <  s
) )
25 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  W )
)
26 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  w  e.  ( Base `  W )
)
2725, 26ovresd 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  =  ( y ( dist `  W ) w ) )
2827breq1d 4222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
y ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) w )  <  s  <->  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
) )
2924, 28anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( x ( (
dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  <->  ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
) ) )
302, 3, 4, 5, 12scafval 15969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
x  .x.  y )  =  ( x ( .s `  W ) y ) )
3130ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x  .x.  y )  =  ( x ( .s `  W ) y ) )
322, 3, 4, 5, 12scafval 15969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
z  .x.  w )  =  ( z ( .s `  W ) w ) )
3332adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( z  .x.  w )  =  ( z ( .s `  W ) w ) )
3431, 33oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z ( .s
`  W ) w ) ) )
351ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  W  e.  LMod )
362, 3, 12, 4lmodvscl 15967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
3735, 21, 25, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
382, 3, 12, 4lmodvscl 15967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  ( Base `  F
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( z
( .s `  W
) w )  e.  ( Base `  W
) )
3935, 22, 26, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( z
( .s `  W
) w )  e.  ( Base `  W
) )
4037, 39ovresd 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z ( .s `  W ) w ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W ) ( z ( .s `  W
) w ) ) )
4134, 40eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W ) ( z ( .s `  W
) w ) ) )
4241breq1d 4222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( x  .x.  y
) ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ( z  .x.  w ) )  <  r  <->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) )
4329, 42imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( ( x ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  ->  (
( x  .x.  y
) ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ( z  .x.  w ) )  <  r )  <-> 
( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) ) )
44432ralbidva 2745 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r )  <->  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) ) )
4544rexbidv 2726 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
Base `  F ) A. w  e.  ( Base `  W ) ( ( ( x ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  ->  (
( x  .x.  y
) ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ( z  .x.  w ) )  <  r )  <->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) ) )
4645ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r )  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
Base `  F ) A. w  e.  ( Base `  W ) ( ( ( x (
dist `  F )
z )  <  s  /\  ( y ( dist `  W ) w )  <  s )  -> 
( ( x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W ) ( z ( .s `  W
) w ) )  <  r ) ) )
4720, 46mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) )
4847ralrimivva 2798 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) )
493nlmngp2 18716 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
50 ngpms 18647 . . . . . 6  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  MetSp )
5149, 50syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e.  MetSp )
52 msxms 18484 . . . . 5  |-  ( F  e.  MetSp  ->  F  e.  *
MetSp )
53 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) )  =  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) )
544, 53xmsxmet 18486 . . . . 5  |-  ( F  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  F
) ) )
5551, 52, 543syl 19 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  F ) ) )
56 nlmngp 18713 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
57 ngpms 18647 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
5856, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  MetSp )
59 msxms 18484 . . . . 5  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  *
MetSp )
60 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) )  =  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) )
612, 60xmsxmet 18486 . . . . 5  |-  ( W  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W
) ) )
6258, 59, 613syl 19 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W ) ) )
63 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) )
64 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) )
6563, 64, 64txmetcn 18578 . . . 4  |-  ( ( ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  F ) )  /\  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W ) )  /\  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W ) ) )  ->  (  .x.  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen
`  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  <->  (  .x.  : ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  W ) ) --> (
Base `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) ) ) )
6655, 62, 62, 65syl3anc 1184 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  (  .x.  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen
`  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  <->  (  .x.  : ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  W ) ) --> (
Base `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) ) ) )
677, 48, 66mpbir2and 889 . 2  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  e.  (
( ( MetOpen `  (
( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) ) )
68 nlmvscn.kf . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen `  F )
6968, 4, 53mstopn 18482 . . . . 5  |-  ( F  e.  MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) ) )
7051, 69syl 16 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  K  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) ) )
71 nlmvscn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
7271, 2, 60mstopn 18482 . . . . 5  |-  ( W  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )
7358, 72syl 16 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  J  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )
7470, 73oveq12d 6099 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( K  tX  J )  =  ( ( MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) ) )
7574, 73oveq12d 6099 . 2  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( ( K 
tX  J )  Cn  J )  =  ( ( ( MetOpen `  (
( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) ) )
7667, 75eleqtrrd 2513 1  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  e.  (
( K  tX  J
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   class class class wbr 4212    X. cxp 4876    |` cres 4880   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    / cdiv 9677   2c2 10049   RR+crp 10612   Basecbs 13469  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   distcds 13538   TopOpenctopn 13649   LModclmod 15950   .s fcscaf 15951   * Metcxmt 16686   MetOpencmopn 16691    Cn ccn 17288    tX ctx 17592   *
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This theorem is referenced by:  nrgtrg  18725  nlmtlm  18729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-scaf 15953  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-nrg 18633  df-nlm 18634
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