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Theorem nlmvscn 18214
Description: The scalar multiplication of a normed module is continuous. Lemma for nrgtrg 18216 and nlmtlm 18220. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmvscn.sf  |-  .x.  =  ( .s f `  W
)
nlmvscn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
nlmvscn.kf  |-  K  =  ( TopOpen `  F )
Assertion
Ref Expression
nlmvscn  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  e.  (
( K  tX  J
)  Cn  J ) )

Proof of Theorem nlmvscn
Dummy variables  r  x  y  s  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlmlmod 18205 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 nlmvscn.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
5 nlmvscn.sf . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s f `  W
)
62, 3, 4, 5lmodscaf 15665 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  .x.  :
( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  W ) ) --> (
Base `  W )
)
71, 6syl 15 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  : (
( Base `  F )  X.  ( Base `  W
) ) --> ( Base `  W ) )
8 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( dist `  W )  =  (
dist `  W )
9 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( dist `  F )  =  (
dist `  F )
10 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
11 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( norm `  F )  =  (
norm `  F )
12 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
13 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  /  ( ( (
norm `  F ) `  x )  +  1 ) )  =  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  F
) `  x )  +  1 ) )
14 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  /  ( ( (
norm `  W ) `  y )  +  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  F
) `  x )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  W
) `  y )  +  ( ( r  /  2 )  / 
( ( ( norm `  F ) `  x
)  +  1 ) ) ) )
15 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  W  e. NrmMod )
16 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
r  e.  RR+ )
17 simplrl 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( Base `  F ) )
18 simplrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
y  e.  ( Base `  W ) )
193, 2, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18nlmvscnlem1 18213 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) )
2019ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) )
21 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  F )
)
22 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  F )
)
2321, 22ovresd 6004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  =  ( x ( dist `  F ) z ) )
2423breq1d 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  <->  ( x
( dist `  F )
z )  <  s
) )
25 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  W )
)
26 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  w  e.  ( Base `  W )
)
2725, 26ovresd 6004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  =  ( y ( dist `  W ) w ) )
2827breq1d 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
y ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) w )  <  s  <->  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
) )
2924, 28anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( x ( (
dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  <->  ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
) ) )
302, 3, 4, 5, 12scafval 15662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
x  .x.  y )  =  ( x ( .s `  W ) y ) )
3130ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x  .x.  y )  =  ( x ( .s `  W ) y ) )
322, 3, 4, 5, 12scafval 15662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
z  .x.  w )  =  ( z ( .s `  W ) w ) )
3332adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( z  .x.  w )  =  ( z ( .s `  W ) w ) )
3431, 33oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z ( .s
`  W ) w ) ) )
351ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  W  e.  LMod )
362, 3, 12, 4lmodvscl 15660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  F
)  /\  y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
3735, 21, 25, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( x
( .s `  W
) y )  e.  ( Base `  W
) )
382, 3, 12, 4lmodvscl 15660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  ( Base `  F
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( z
( .s `  W
) w )  e.  ( Base `  W
) )
3935, 22, 26, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( z
( .s `  W
) w )  e.  ( Base `  W
) )
4037, 39ovresd 6004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z ( .s `  W ) w ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W ) ( z ( .s `  W
) w ) ) )
4134, 40eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  =  ( ( x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W ) ( z ( .s `  W
) w ) ) )
4241breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( x  .x.  y
) ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ( z  .x.  w ) )  <  r  <->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) )
4329, 42imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  /\  ( z  e.  (
Base `  F )  /\  w  e.  ( Base `  W ) ) )  ->  ( (
( ( x ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  ->  (
( x  .x.  y
) ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ( z  .x.  w ) )  <  r )  <-> 
( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) ) )
44432ralbidva 2596 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r )  <->  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) ) )
4544rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
Base `  F ) A. w  e.  ( Base `  W ) ( ( ( x ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  ->  (
( x  .x.  y
) ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ( z  .x.  w ) )  <  r )  <->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  F
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( (
x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W
) ( z ( .s `  W ) w ) )  < 
r ) ) )
4645ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r )  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
Base `  F ) A. w  e.  ( Base `  W ) ( ( ( x (
dist `  F )
z )  <  s  /\  ( y ( dist `  W ) w )  <  s )  -> 
( ( x ( .s `  W ) y ) ( dist `  W ) ( z ( .s `  W
) w ) )  <  r ) ) )
4720, 46mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  (
x  e.  ( Base `  F )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) )
4847ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) )
493nlmngp2 18207 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
50 ngpms 18138 . . . . . 6  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  MetSp )
5149, 50syl 15 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e.  MetSp )
52 msxms 18016 . . . . 5  |-  ( F  e.  MetSp  ->  F  e.  *
MetSp )
53 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) )  =  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) )
544, 53xmsxmet 18018 . . . . 5  |-  ( F  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  F
) ) )
5551, 52, 543syl 18 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  F ) ) )
56 nlmngp 18204 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
57 ngpms 18138 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
5856, 57syl 15 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  MetSp )
59 msxms 18016 . . . . 5  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  *
MetSp )
60 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) )  =  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) )
612, 60xmsxmet 18018 . . . . 5  |-  ( W  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W
) ) )
6258, 59, 613syl 18 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W ) ) )
63 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) )
64 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) )
6563, 64, 64txmetcn 18110 . . . 4  |-  ( ( ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  F ) )  /\  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W ) )  /\  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  W ) ) )  ->  (  .x.  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen
`  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  <->  (  .x.  : ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  W ) ) --> (
Base `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) ) ) )
6655, 62, 62, 65syl3anc 1182 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  (  .x.  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( dist `  F
)  |`  ( ( Base `  F )  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen
`  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  <->  (  .x.  : ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  W ) ) --> (
Base `  W )  /\  A. x  e.  (
Base `  F ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  F
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .x.  y )
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ( z  .x.  w ) )  < 
r ) ) ) )
677, 48, 66mpbir2and 888 . 2  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  e.  (
( ( MetOpen `  (
( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) ) )
68 nlmvscn.kf . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen `  F )
6968, 4, 53mstopn 18014 . . . . 5  |-  ( F  e.  MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) ) )
7051, 69syl 15 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  K  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  (
( Base `  F )  X.  ( Base `  F
) ) ) ) )
71 nlmvscn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
7271, 2, 60mstopn 18014 . . . . 5  |-  ( W  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )
7358, 72syl 15 . . . 4  |-  ( W  e. NrmMod  ->  J  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )
7470, 73oveq12d 5892 . . 3  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( K  tX  J )  =  ( ( MetOpen `  ( ( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) ) )
7574, 73oveq12d 5892 . 2  |-  ( W  e. NrmMod  ->  ( ( K 
tX  J )  Cn  J )  =  ( ( ( MetOpen `  (
( dist `  F )  |`  ( ( Base `  F
)  X.  ( Base `  F ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) ) )
7667, 75eleqtrrd 2373 1  |-  ( W  e. NrmMod  ->  .x.  e.  (
( K  tX  J
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039    X. cxp 4703    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   distcds 13233   TopOpenctopn 13342   LModclmod 15643   .s fcscaf 15644   * Metcxmt 16385   MetOpencmopn 16388    Cn ccn 16970    tX ctx 17271   *
MetSpcxme 17898   MetSpcmt 17899   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116  NrmModcnlm 18119
This theorem is referenced by:  nrgtrg  18216  nlmtlm  18220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-scaf 15646  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nrg 18124  df-nlm 18125
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