MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmvscnlem1 Unicode version

Theorem nlmvscnlem1 18197
Description: Lemma for nlmvscn 18198. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmvscn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmvscn.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmvscn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmvscn.e  |-  E  =  ( dist `  F
)
nlmvscn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
nlmvscn.a  |-  A  =  ( norm `  F
)
nlmvscn.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmvscn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
nlmvscn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
nlmvscn.w  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
nlmvscn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nlmvscn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
nlmvscn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  K  A. y  e.  V  (
( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  <  r )  ->  ( ( B 
.x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) )
Distinct variable groups:    B, r    D, r    E, r    x, y,
ph    x, r, y, T    U, r, x, y    F, r, x, y    K, r, y    R, r    V, r    W, r, x, y    .x. , r, x, y    X, r
Allowed substitution hints:    ph( r)    A( x, y, r)    B( x, y)    D( x, y)    R( x, y)    E( x, y)    K( x)    N( x, y, r)    V( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem nlmvscnlem1
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.t . . . 4  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
2 nlmvscn.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
32rphalfcld 10402 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
4 nlmvscn.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
5 nlmvscn.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (Scalar `  W )
65nlmngp2 18191 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
74, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e. NrmGrp )
8 nlmvscn.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
9 nlmvscn.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
10 nlmvscn.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( norm `  F
)
119, 10nmcl 18137 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  ( A `  B )  e.  RR )
127, 8, 11syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A `  B
)  e.  RR )
139, 10nmge0 18138 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  0  <_  ( A `  B
) )
147, 8, 13syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A `  B ) )
1512, 14ge0p1rpd 10416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  +  1 )  e.  RR+ )
163, 15rpdivcld 10407 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
171, 16syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
18 nlmvscn.u . . . 4  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
19 nlmngp 18188 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
204, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
21 nlmvscn.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
22 nlmvscn.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
23 nlmvscn.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( norm `  W
)
2422, 23nmcl 18137 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X )  e.  RR )
2520, 21, 24syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  e.  RR )
2617rpred 10390 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2725, 26readdcld 8862 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  +  T
)  e.  RR )
28 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2928a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3022, 23nmge0 18138 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  X
) )
3120, 21, 30syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  X ) )
3225, 17ltaddrpd 10419 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
3329, 25, 27, 31, 32lelttrd 8974 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
3427, 33elrpd 10388 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  +  T
)  e.  RR+ )
353, 34rpdivcld 10407 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )  e.  RR+ )
3618, 35syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
37 ifcl 3601 . . 3  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  U  e.  RR+ )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
3817, 36, 37syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
39 nlmvscn.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  W
)
40 nlmvscn.e . . . . 5  |-  E  =  ( dist `  F
)
41 nlmvscn.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
424adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e. NrmMod )
432adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
448adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  B  e.  K )
4521adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  X  e.  V )
46 simprll 738 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  x  e.  K )
47 simprlr 739 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
y  e.  V )
487adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  F  e. NrmGrp )
49 ngpms 18122 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  MetSp )
5048, 49syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  F  e.  MetSp )
519, 40mscl 18007 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  MetSp  /\  B  e.  K  /\  x  e.  K )  ->  ( B E x )  e.  RR )
5250, 44, 46, 51syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B E x )  e.  RR )
5338adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
5453rpred 10390 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR )
5536rpred 10390 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5655adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  U  e.  RR )
57 simprrl 740 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
5826adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  T  e.  RR )
59 min2 10518 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U
)
6058, 56, 59syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U )
6152, 54, 56, 57, 60ltletrd 8976 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B E x )  <  U )
62 ngpms 18122 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
6320, 62syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
6463adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  MetSp )
6522, 39mscl 18007 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  X  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( X D y )  e.  RR )
6664, 45, 47, 65syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( X D y )  e.  RR )
67 simprrr 741 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
68 min1 10517 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T
)
6958, 56, 68syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T )
7066, 54, 58, 67, 69ltletrd 8976 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( X D y )  <  T )
715, 22, 9, 39, 40, 23, 10, 41, 1, 18, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 61, 70nlmvscnlem2 18196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R )
7271expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  V ) )  -> 
( ( ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R ) )
7372ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R ) )
74 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( B E x )  <  r  <->  ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
75 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( X D y )  <  r  <->  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
7674, 75anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  <  r )  <-> 
( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )
7776imbi1d 308 . . . 4  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( ( B E x )  < 
r  /\  ( X D y )  < 
r )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( x 
.x.  y ) )  <  R )  <->  ( (
( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) ) )
78772ralbidv 2585 . . 3  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  ( A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  < 
r  /\  ( X D y )  < 
r )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( x 
.x.  y ) )  <  R )  <->  A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( (
( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) ) )
7978rspcev 2884 . 2  |-  ( ( if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  < 
r )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( x 
.x.  y ) )  <  R ) )
8038, 73, 79syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  K  A. y  e.  V  (
( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  <  r )  ->  ( ( B 
.x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   distcds 13217   MetSpcmt 17883   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100  NrmModcnlm 18103
This theorem is referenced by:  nlmvscn  18198
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-topgen 13344  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nrg 18108  df-nlm 18109
  Copyright terms: Public domain W3C validator