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Theorem nlmvscnlem1 18714
Description: Lemma for nlmvscn 18715. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmvscn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmvscn.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmvscn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmvscn.e  |-  E  =  ( dist `  F
)
nlmvscn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
nlmvscn.a  |-  A  =  ( norm `  F
)
nlmvscn.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmvscn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
nlmvscn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
nlmvscn.w  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
nlmvscn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nlmvscn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
nlmvscn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  K  A. y  e.  V  (
( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  <  r )  ->  ( ( B 
.x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) )
Distinct variable groups:    B, r    D, r    E, r    x, y,
ph    x, r, y, T    U, r, x, y    F, r, x, y    K, r, y    R, r    V, r    W, r, x, y    .x. , r, x, y    X, r
Allowed substitution hints:    ph( r)    A( x, y, r)    B( x, y)    D( x, y)    R( x, y)    E( x, y)    K( x)    N( x, y, r)    V( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem nlmvscnlem1
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.t . . . 4  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
2 nlmvscn.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
32rphalfcld 10652 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
4 nlmvscn.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
5 nlmvscn.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (Scalar `  W )
65nlmngp2 18708 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
74, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e. NrmGrp )
8 nlmvscn.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
9 nlmvscn.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
10 nlmvscn.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( norm `  F
)
119, 10nmcl 18654 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  ( A `  B )  e.  RR )
127, 8, 11syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A `  B
)  e.  RR )
139, 10nmge0 18655 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  0  <_  ( A `  B
) )
147, 8, 13syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A `  B ) )
1512, 14ge0p1rpd 10666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  +  1 )  e.  RR+ )
163, 15rpdivcld 10657 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
171, 16syl5eqel 2519 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
18 nlmvscn.u . . . 4  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
19 nlmngp 18705 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
204, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
21 nlmvscn.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
22 nlmvscn.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
23 nlmvscn.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( norm `  W
)
2422, 23nmcl 18654 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X )  e.  RR )
2520, 21, 24syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  e.  RR )
2617rpred 10640 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2725, 26readdcld 9107 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  +  T
)  e.  RR )
28 0re 9083 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3022, 23nmge0 18655 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  X
) )
3120, 21, 30syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  X ) )
3225, 17ltaddrpd 10669 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
3329, 25, 27, 31, 32lelttrd 9220 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
3427, 33elrpd 10638 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  +  T
)  e.  RR+ )
353, 34rpdivcld 10657 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )  e.  RR+ )
3618, 35syl5eqel 2519 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
37 ifcl 3767 . . 3  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  U  e.  RR+ )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
3817, 36, 37syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
39 nlmvscn.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  W
)
40 nlmvscn.e . . . . 5  |-  E  =  ( dist `  F
)
41 nlmvscn.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
424adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e. NrmMod )
432adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
448adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  B  e.  K )
4521adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  X  e.  V )
46 simprll 739 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  x  e.  K )
47 simprlr 740 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
y  e.  V )
487adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  F  e. NrmGrp )
49 ngpms 18639 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  MetSp )
5048, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  F  e.  MetSp )
519, 40mscl 18483 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  MetSp  /\  B  e.  K  /\  x  e.  K )  ->  ( B E x )  e.  RR )
5250, 44, 46, 51syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B E x )  e.  RR )
5338adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
5453rpred 10640 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR )
5536rpred 10640 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5655adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  U  e.  RR )
57 simprrl 741 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
5826adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  T  e.  RR )
59 min2 10769 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U
)
6058, 56, 59syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U )
6152, 54, 56, 57, 60ltletrd 9222 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B E x )  <  U )
62 ngpms 18639 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
6320, 62syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
6463adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  MetSp )
6522, 39mscl 18483 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  X  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( X D y )  e.  RR )
6664, 45, 47, 65syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( X D y )  e.  RR )
67 simprrr 742 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
68 min1 10768 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T
)
6958, 56, 68syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T )
7066, 54, 58, 67, 69ltletrd 9222 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( X D y )  <  T )
715, 22, 9, 39, 40, 23, 10, 41, 1, 18, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 61, 70nlmvscnlem2 18713 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R )
7271expr 599 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  V ) )  -> 
( ( ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R ) )
7372ralrimivva 2790 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R ) )
74 breq2 4208 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( B E x )  <  r  <->  ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
75 breq2 4208 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( X D y )  <  r  <->  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
7674, 75anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  <  r )  <-> 
( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )
7776imbi1d 309 . . . 4  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( ( B E x )  < 
r  /\  ( X D y )  < 
r )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( x 
.x.  y ) )  <  R )  <->  ( (
( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) ) )
78772ralbidv 2739 . . 3  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  ( A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  < 
r  /\  ( X D y )  < 
r )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( x 
.x.  y ) )  <  R )  <->  A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( (
( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) ) )
7978rspcev 3044 . 2  |-  ( ( if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  < 
r )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( x 
.x.  y ) )  <  R ) )
8038, 73, 79syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  K  A. y  e.  V  (
( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  <  r )  ->  ( ( B 
.x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   ifcif 3731   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113    / cdiv 9669   2c2 10041   RR+crp 10604   Basecbs 13461  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   distcds 13530   MetSpcmt 18340   normcnm 18616  NrmGrpcngp 18617  NrmModcnlm 18620
This theorem is referenced by:  nlmvscn  18715
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-topgen 13659  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-xms 18342  df-ms 18343  df-nm 18622  df-ngp 18623  df-nrg 18625  df-nlm 18626
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