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Theorem nlmvscnlem1 18213
Description: Lemma for nlmvscn 18214. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmvscn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmvscn.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmvscn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmvscn.e  |-  E  =  ( dist `  F
)
nlmvscn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
nlmvscn.a  |-  A  =  ( norm `  F
)
nlmvscn.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmvscn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
nlmvscn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
nlmvscn.w  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
nlmvscn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nlmvscn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
nlmvscn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  K  A. y  e.  V  (
( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  <  r )  ->  ( ( B 
.x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) )
Distinct variable groups:    B, r    D, r    E, r    x, y,
ph    x, r, y, T    U, r, x, y    F, r, x, y    K, r, y    R, r    V, r    W, r, x, y    .x. , r, x, y    X, r
Allowed substitution hints:    ph( r)    A( x, y, r)    B( x, y)    D( x, y)    R( x, y)    E( x, y)    K( x)    N( x, y, r)    V( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem nlmvscnlem1
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.t . . . 4  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
2 nlmvscn.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
32rphalfcld 10418 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
4 nlmvscn.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
5 nlmvscn.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (Scalar `  W )
65nlmngp2 18207 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
74, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e. NrmGrp )
8 nlmvscn.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
9 nlmvscn.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
10 nlmvscn.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( norm `  F
)
119, 10nmcl 18153 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  ( A `  B )  e.  RR )
127, 8, 11syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A `  B
)  e.  RR )
139, 10nmge0 18154 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  0  <_  ( A `  B
) )
147, 8, 13syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A `  B ) )
1512, 14ge0p1rpd 10432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  +  1 )  e.  RR+ )
163, 15rpdivcld 10423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
171, 16syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
18 nlmvscn.u . . . 4  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
19 nlmngp 18204 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
204, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
21 nlmvscn.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
22 nlmvscn.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
23 nlmvscn.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( norm `  W
)
2422, 23nmcl 18153 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X )  e.  RR )
2520, 21, 24syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  e.  RR )
2617rpred 10406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2725, 26readdcld 8878 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  +  T
)  e.  RR )
28 0re 8854 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2928a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3022, 23nmge0 18154 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  X
) )
3120, 21, 30syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  X ) )
3225, 17ltaddrpd 10435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
3329, 25, 27, 31, 32lelttrd 8990 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
3427, 33elrpd 10404 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  +  T
)  e.  RR+ )
353, 34rpdivcld 10423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )  e.  RR+ )
3618, 35syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
37 ifcl 3614 . . 3  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  U  e.  RR+ )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
3817, 36, 37syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
39 nlmvscn.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  W
)
40 nlmvscn.e . . . . 5  |-  E  =  ( dist `  F
)
41 nlmvscn.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
424adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e. NrmMod )
432adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
448adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  B  e.  K )
4521adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  X  e.  V )
46 simprll 738 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  x  e.  K )
47 simprlr 739 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
y  e.  V )
487adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  F  e. NrmGrp )
49 ngpms 18138 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  MetSp )
5048, 49syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  F  e.  MetSp )
519, 40mscl 18023 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  MetSp  /\  B  e.  K  /\  x  e.  K )  ->  ( B E x )  e.  RR )
5250, 44, 46, 51syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B E x )  e.  RR )
5338adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
5453rpred 10406 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR )
5536rpred 10406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5655adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  U  e.  RR )
57 simprrl 740 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
5826adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  T  e.  RR )
59 min2 10534 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U
)
6058, 56, 59syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U )
6152, 54, 56, 57, 60ltletrd 8992 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B E x )  <  U )
62 ngpms 18138 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
6320, 62syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
6463adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  MetSp )
6522, 39mscl 18023 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  X  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( X D y )  e.  RR )
6664, 45, 47, 65syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( X D y )  e.  RR )
67 simprrr 741 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
68 min1 10533 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T
)
6958, 56, 68syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T )
7066, 54, 58, 67, 69ltletrd 8992 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( X D y )  <  T )
715, 22, 9, 39, 40, 23, 10, 41, 1, 18, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 61, 70nlmvscnlem2 18212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  K  /\  y  e.  V )  /\  ( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R )
7271expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  V ) )  -> 
( ( ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R ) )
7372ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R ) )
74 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( B E x )  <  r  <->  ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
75 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( X D y )  <  r  <->  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
7674, 75anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  <  r )  <-> 
( ( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )
7776imbi1d 308 . . . 4  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( ( B E x )  < 
r  /\  ( X D y )  < 
r )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( x 
.x.  y ) )  <  R )  <->  ( (
( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) ) )
78772ralbidv 2598 . . 3  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  ( A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  < 
r  /\  ( X D y )  < 
r )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( x 
.x.  y ) )  <  R )  <->  A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( (
( B E x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) ) )
7978rspcev 2897 . 2  |-  ( ( if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( X D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( x  .x.  y ) )  <  R ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  K  A. y  e.  V  ( ( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  < 
r )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( x 
.x.  y ) )  <  R ) )
8038, 73, 79syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  K  A. y  e.  V  (
( ( B E x )  <  r  /\  ( X D y )  <  r )  ->  ( ( B 
.x.  X ) D ( x  .x.  y
) )  <  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   ifcif 3578   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   distcds 13233   MetSpcmt 17899   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116  NrmModcnlm 18119
This theorem is referenced by:  nlmvscn  18214
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-topgen 13360  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nrg 18124  df-nlm 18125
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