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Theorem nlmvscnlem2 18196
Description: Lemma for nlmvscn 18198. Compare this proof with the similar elementary proof mulcn2 12069 for continuity of multiplication on  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmvscn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmvscn.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmvscn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmvscn.e  |-  E  =  ( dist `  F
)
nlmvscn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
nlmvscn.a  |-  A  =  ( norm `  F
)
nlmvscn.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmvscn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
nlmvscn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
nlmvscn.w  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
nlmvscn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nlmvscn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
nlmvscn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
nlmvscn.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
nlmvscn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
nlmvscn.1  |-  ( ph  ->  ( B E C )  <  U )
nlmvscn.2  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <  T )
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem2  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <  R )

Proof of Theorem nlmvscnlem2
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
2 nlmngp 18188 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
4 ngpms 18122 . . . 4  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
53, 4syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
6 nlmlmod 18189 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
71, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 nlmvscn.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
9 nlmvscn.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 nlmvscn.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 nlmvscn.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
12 nlmvscn.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
13 nlmvscn.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
1410, 11, 12, 13lmodvscl 15644 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( B  .x.  X )  e.  V )
157, 8, 9, 14syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  V )
16 nlmvscn.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
17 nlmvscn.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1810, 11, 12, 13lmodvscl 15644 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  C  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( C  .x.  Y )  e.  V )
197, 16, 17, 18syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  Y
)  e.  V )
20 nlmvscn.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  W
)
2110, 20mscl 18007 . . 3  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  ( B  .x.  X )  e.  V  /\  ( C 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( C 
.x.  Y ) )  e.  RR )
225, 15, 19, 21syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  e.  RR )
2310, 11, 12, 13lmodvscl 15644 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( B  .x.  Y )  e.  V )
247, 8, 17, 23syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  Y
)  e.  V )
2510, 20mscl 18007 . . . 4  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  ( B  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) )  e.  RR )
265, 15, 24, 25syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( B  .x.  Y ) )  e.  RR )
2710, 20mscl 18007 . . . 4  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  ( B  .x.  Y )  e.  V  /\  ( C 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) )  e.  RR )
285, 24, 19, 27syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) )  e.  RR )
2926, 28readdcld 8862 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.x.  X ) D ( B  .x.  Y
) )  +  ( ( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) ) )  e.  RR )
30 nlmvscn.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
3130rpred 10390 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
3210, 20mstri 18015 . . 3  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  (
( B  .x.  X
)  e.  V  /\  ( C  .x.  Y )  e.  V  /\  ( B  .x.  Y )  e.  V ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <_  ( (
( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) )  +  ( ( B 
.x.  Y ) D ( C  .x.  Y
) ) ) )
335, 15, 19, 24, 32syl13anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <_  ( (
( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) )  +  ( ( B 
.x.  Y ) D ( C  .x.  Y
) ) ) )
3411nlmngp2 18191 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
351, 34syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. NrmGrp )
36 nlmvscn.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( norm `  F
)
3713, 36nmcl 18137 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  ( A `  B )  e.  RR )
3835, 8, 37syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  B
)  e.  RR )
3913, 36nmge0 18138 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  0  <_  ( A `  B
) )
4035, 8, 39syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A `  B ) )
4138, 40ge0p1rpd 10416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  +  1 )  e.  RR+ )
4241rpred 10390 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  +  1 )  e.  RR )
4310, 20mscl 18007 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X D Y )  e.  RR )
445, 9, 17, 43syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  e.  RR )
4542, 44remulcld 8863 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) )  e.  RR )
4631rehalfcld 9958 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR )
4710, 12, 11, 13, 20, 36nlmdsdi 18192 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( B  e.  K  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( A `  B )  x.  ( X D Y ) )  =  ( ( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) ) )
481, 8, 9, 17, 47syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  x.  ( X D Y ) )  =  ( ( B 
.x.  X ) D ( B  .x.  Y
) ) )
49 msxms 18000 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  *
MetSp )
505, 49syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  * MetSp )
5110, 20xmsge0 18009 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  * MetSp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  0  <_  ( X D Y ) )
5250, 9, 17, 51syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X D Y ) )
5338lep1d 9688 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A `  B
)  <_  ( ( A `  B )  +  1 ) )
5438, 42, 44, 52, 53lemul1ad 9696 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  x.  ( X D Y ) )  <_  ( ( ( A `  B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) ) )
5548, 54eqbrtrrd 4045 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( B  .x.  Y ) )  <_  ( (
( A `  B
)  +  1 )  x.  ( X D Y ) ) )
56 nlmvscn.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <  T )
57 nlmvscn.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
5856, 57syl6breq 4062 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( A `
 B )  +  1 ) ) )
5944, 46, 41ltmuldiv2d 10434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A `  B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( X D Y )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( A `  B )  +  1 ) ) ) )
6058, 59mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) )  <  ( R  / 
2 ) )
6126, 45, 46, 55, 60lelttrd 8974 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( B  .x.  Y ) )  <  ( R  /  2 ) )
62 ngpms 18122 . . . . . . 7  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  MetSp )
6335, 62syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  MetSp )
64 nlmvscn.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( dist `  F
)
6513, 64mscl 18007 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  MetSp  /\  B  e.  K  /\  C  e.  K )  ->  ( B E C )  e.  RR )
6663, 8, 16, 65syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B E C )  e.  RR )
67 nlmvscn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  W
)
6810, 67nmcl 18137 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X )  e.  RR )
693, 9, 68syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  e.  RR )
7030rphalfcld 10402 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
7170, 41rpdivcld 10407 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
7257, 71syl5eqel 2367 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
7372rpred 10390 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
7469, 73readdcld 8862 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  +  T
)  e.  RR )
7566, 74remulcld 8863 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  (
( N `  X
)  +  T ) )  e.  RR )
7610, 12, 11, 13, 20, 67, 64nlmdsdir 18193 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( B  e.  K  /\  C  e.  K  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( B E C )  x.  ( N `  Y
) )  =  ( ( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) ) )
771, 8, 16, 17, 76syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  ( N `  Y )
)  =  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) ) )
7810, 67nmcl 18137 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y )  e.  RR )
793, 17, 78syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  e.  RR )
80 msxms 18000 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  MetSp  ->  F  e.  *
MetSp )
8163, 80syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  * MetSp )
8213, 64xmsge0 18009 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  * MetSp  /\  B  e.  K  /\  C  e.  K )  ->  0  <_  ( B E C ) )
8381, 8, 16, 82syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B E C ) )
8479, 69resubcld 9211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  e.  RR )
85 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
8610, 67, 85nm2dif 18146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( N `  Y
)  -  ( N `
 X ) )  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W
) X ) ) )
873, 17, 9, 86syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W ) X ) ) )
8867, 10, 85, 20ngpdsr 18126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X D Y )  =  ( N `  ( Y ( -g `  W
) X ) ) )
893, 9, 17, 88syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  =  ( N `
 ( Y (
-g `  W ) X ) ) )
9087, 89breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  <_  ( X D Y ) )
9144, 73, 56ltled 8967 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <_  T )
9284, 44, 73, 90, 91letrd 8973 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  <_  T )
9379, 69, 73lesubadd2d 9371 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 Y )  -  ( N `  X ) )  <_  T  <->  ( N `  Y )  <_  (
( N `  X
)  +  T ) ) )
9492, 93mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  <_  ( ( N `  X )  +  T ) )
9579, 74, 66, 83, 94lemul2ad 9697 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  ( N `  Y )
)  <_  ( ( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T
) ) )
9677, 95eqbrtrrd 4045 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) )  <_  ( ( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T
) ) )
97 nlmvscn.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B E C )  <  U )
98 nlmvscn.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
9997, 98syl6breq 4062 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B E C )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( N `
 X )  +  T ) ) )
100 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
101100a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
10210, 67nmge0 18138 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  X
) )
1033, 9, 102syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  X ) )
10469, 72ltaddrpd 10419 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
105101, 69, 74, 103, 104lelttrd 8974 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
106 ltmuldiv 9626 . . . . . 6  |-  ( ( ( B E C )  e.  RR  /\  ( R  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( ( N `
 X )  +  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N `  X )  +  T ) ) )  ->  ( (
( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T ) )  <  ( R  / 
2 )  <->  ( B E C )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  X )  +  T ) ) ) )
10766, 46, 74, 105, 106syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T
) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( B E C )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  X )  +  T ) ) ) )
10899, 107mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  (
( N `  X
)  +  T ) )  <  ( R  /  2 ) )
10928, 75, 46, 96, 108lelttrd 8974 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) )  <  ( R  /  2 ) )
11026, 28, 31, 61, 109lt2halvesd 9959 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.x.  X ) D ( B  .x.  Y
) )  +  ( ( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) ) )  <  R )
11122, 29, 31, 33, 110lelttrd 8974 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   distcds 13217   -gcsg 14365   LModclmod 15627   *
MetSpcxme 17882   MetSpcmt 17883   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100  NrmModcnlm 18103
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem1  18197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-topgen 13344  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nrg 18108  df-nlm 18109
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