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Theorem nlmvscnlem2 18678
Description: Lemma for nlmvscn 18680. Compare this proof with the similar elementary proof mulcn2 12348 for continuity of multiplication on  CC. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
nlmvscn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
nlmvscn.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
nlmvscn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
nlmvscn.e  |-  E  =  ( dist `  F
)
nlmvscn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
nlmvscn.a  |-  A  =  ( norm `  F
)
nlmvscn.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
nlmvscn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
nlmvscn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
nlmvscn.w  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
nlmvscn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nlmvscn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
nlmvscn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
nlmvscn.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
nlmvscn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
nlmvscn.1  |-  ( ph  ->  ( B E C )  <  U )
nlmvscn.2  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <  T )
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem2  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <  R )

Proof of Theorem nlmvscnlem2
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
2 nlmngp 18670 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
4 ngpms 18604 . . . 4  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
6 nlmlmod 18671 . . . . 5  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e.  LMod )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 nlmvscn.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
9 nlmvscn.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 nlmvscn.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 nlmvscn.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
12 nlmvscn.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
13 nlmvscn.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
1410, 11, 12, 13lmodvscl 15926 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( B  .x.  X )  e.  V )
157, 8, 9, 14syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  V )
16 nlmvscn.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
17 nlmvscn.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1810, 11, 12, 13lmodvscl 15926 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  C  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( C  .x.  Y )  e.  V )
197, 16, 17, 18syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  Y
)  e.  V )
20 nlmvscn.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  W
)
2110, 20mscl 18448 . . 3  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  ( B  .x.  X )  e.  V  /\  ( C 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( C 
.x.  Y ) )  e.  RR )
225, 15, 19, 21syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  e.  RR )
2310, 11, 12, 13lmodvscl 15926 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( B  .x.  Y )  e.  V )
247, 8, 17, 23syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  Y
)  e.  V )
2510, 20mscl 18448 . . . 4  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  ( B  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) )  e.  RR )
265, 15, 24, 25syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( B  .x.  Y ) )  e.  RR )
2710, 20mscl 18448 . . . 4  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  ( B  .x.  Y )  e.  V  /\  ( C 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) )  e.  RR )
285, 24, 19, 27syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) )  e.  RR )
2926, 28readdcld 9075 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.x.  X ) D ( B  .x.  Y
) )  +  ( ( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) ) )  e.  RR )
30 nlmvscn.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
3130rpred 10608 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
3210, 20mstri 18456 . . 3  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  (
( B  .x.  X
)  e.  V  /\  ( C  .x.  Y )  e.  V  /\  ( B  .x.  Y )  e.  V ) )  -> 
( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <_  ( (
( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) )  +  ( ( B 
.x.  Y ) D ( C  .x.  Y
) ) ) )
335, 15, 19, 24, 32syl13anc 1186 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <_  ( (
( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) )  +  ( ( B 
.x.  Y ) D ( C  .x.  Y
) ) ) )
3411nlmngp2 18673 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmMod  ->  F  e. NrmGrp )
351, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. NrmGrp )
36 nlmvscn.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( norm `  F
)
3713, 36nmcl 18619 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  ( A `  B )  e.  RR )
3835, 8, 37syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  B
)  e.  RR )
3913, 36nmge0 18620 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. NrmGrp  /\  B  e.  K )  ->  0  <_  ( A `  B
) )
4035, 8, 39syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A `  B ) )
4138, 40ge0p1rpd 10634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  +  1 )  e.  RR+ )
4241rpred 10608 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  +  1 )  e.  RR )
4310, 20mscl 18448 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X D Y )  e.  RR )
445, 9, 17, 43syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  e.  RR )
4542, 44remulcld 9076 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) )  e.  RR )
4631rehalfcld 10174 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR )
4710, 12, 11, 13, 20, 36nlmdsdi 18674 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( B  e.  K  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( A `  B )  x.  ( X D Y ) )  =  ( ( B  .x.  X
) D ( B 
.x.  Y ) ) )
481, 8, 9, 17, 47syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  x.  ( X D Y ) )  =  ( ( B 
.x.  X ) D ( B  .x.  Y
) ) )
49 msxms 18441 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  *
MetSp )
505, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  * MetSp )
5110, 20xmsge0 18450 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  * MetSp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  0  <_  ( X D Y ) )
5250, 9, 17, 51syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X D Y ) )
5338lep1d 9902 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A `  B
)  <_  ( ( A `  B )  +  1 ) )
5438, 42, 44, 52, 53lemul1ad 9910 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A `  B )  x.  ( X D Y ) )  <_  ( ( ( A `  B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) ) )
5548, 54eqbrtrrd 4198 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( B  .x.  Y ) )  <_  ( (
( A `  B
)  +  1 )  x.  ( X D Y ) ) )
56 nlmvscn.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <  T )
57 nlmvscn.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )
5856, 57syl6breq 4215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( A `
 B )  +  1 ) ) )
5944, 46, 41ltmuldiv2d 10652 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A `  B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( X D Y )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( A `  B )  +  1 ) ) ) )
6058, 59mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 B )  +  1 )  x.  ( X D Y ) )  <  ( R  / 
2 ) )
6126, 45, 46, 55, 60lelttrd 9188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( B  .x.  Y ) )  <  ( R  /  2 ) )
62 ngpms 18604 . . . . . . 7  |-  ( F  e. NrmGrp  ->  F  e.  MetSp )
6335, 62syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  MetSp )
64 nlmvscn.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( dist `  F
)
6513, 64mscl 18448 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  MetSp  /\  B  e.  K  /\  C  e.  K )  ->  ( B E C )  e.  RR )
6663, 8, 16, 65syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B E C )  e.  RR )
67 nlmvscn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  W
)
6810, 67nmcl 18619 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X )  e.  RR )
693, 9, 68syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  e.  RR )
7030rphalfcld 10620 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
7170, 41rpdivcld 10625 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( A `  B
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
7257, 71syl5eqel 2492 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
7372rpred 10608 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
7469, 73readdcld 9075 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  +  T
)  e.  RR )
7566, 74remulcld 9076 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  (
( N `  X
)  +  T ) )  e.  RR )
7610, 12, 11, 13, 20, 67, 64nlmdsdir 18675 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmMod  /\  ( B  e.  K  /\  C  e.  K  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( B E C )  x.  ( N `  Y
) )  =  ( ( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) ) )
771, 8, 16, 17, 76syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  ( N `  Y )
)  =  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) ) )
7810, 67nmcl 18619 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y )  e.  RR )
793, 17, 78syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  e.  RR )
80 msxms 18441 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  MetSp  ->  F  e.  *
MetSp )
8163, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  * MetSp )
8213, 64xmsge0 18450 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  * MetSp  /\  B  e.  K  /\  C  e.  K )  ->  0  <_  ( B E C ) )
8381, 8, 16, 82syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B E C ) )
8479, 69resubcld 9425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  e.  RR )
85 eqid 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
8610, 67, 85nm2dif 18628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( N `  Y
)  -  ( N `
 X ) )  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W
) X ) ) )
873, 17, 9, 86syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W ) X ) ) )
8867, 10, 85, 20ngpdsr 18608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X D Y )  =  ( N `  ( Y ( -g `  W
) X ) ) )
893, 9, 17, 88syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  =  ( N `
 ( Y (
-g `  W ) X ) ) )
9087, 89breqtrrd 4202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  <_  ( X D Y ) )
9144, 73, 56ltled 9181 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X D Y )  <_  T )
9284, 44, 73, 90, 91letrd 9187 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  X )
)  <_  T )
9379, 69, 73lesubadd2d 9585 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 Y )  -  ( N `  X ) )  <_  T  <->  ( N `  Y )  <_  (
( N `  X
)  +  T ) ) )
9492, 93mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  <_  ( ( N `  X )  +  T ) )
9579, 74, 66, 83, 94lemul2ad 9911 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  ( N `  Y )
)  <_  ( ( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T
) ) )
9677, 95eqbrtrrd 4198 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) )  <_  ( ( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T
) ) )
97 nlmvscn.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B E C )  <  U )
98 nlmvscn.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  X
)  +  T ) )
9997, 98syl6breq 4215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B E C )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( N `
 X )  +  T ) ) )
100 0re 9051 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
101100a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
10210, 67nmge0 18620 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  X
) )
1033, 9, 102syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  X ) )
10469, 72ltaddrpd 10637 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
105101, 69, 74, 103, 104lelttrd 9188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  X )  +  T ) )
106 ltmuldiv 9840 . . . . . 6  |-  ( ( ( B E C )  e.  RR  /\  ( R  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( ( N `
 X )  +  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N `  X )  +  T ) ) )  ->  ( (
( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T ) )  <  ( R  / 
2 )  <->  ( B E C )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  X )  +  T ) ) ) )
10766, 46, 74, 105, 106syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( B E C )  x.  ( ( N `  X )  +  T
) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( B E C )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  X )  +  T ) ) ) )
10899, 107mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B E C )  x.  (
( N `  X
)  +  T ) )  <  ( R  /  2 ) )
10928, 75, 46, 96, 108lelttrd 9188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y ) D ( C  .x.  Y ) )  <  ( R  /  2 ) )
11026, 28, 31, 61, 109lt2halvesd 10175 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.x.  X ) D ( B  .x.  Y
) )  +  ( ( B  .x.  Y
) D ( C 
.x.  Y ) ) )  <  R )
11122, 29, 31, 33, 110lelttrd 9188 1  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  X ) D ( C  .x.  Y ) )  <  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    x. cmul 8955    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251    / cdiv 9637   2c2 10009   RR+crp 10572   Basecbs 13428  Scalarcsca 13491   .scvsca 13492   distcds 13497   -gcsg 14647   LModclmod 15909   *
MetSpcxme 18304   MetSpcmt 18305   normcnm 18581  NrmGrpcngp 18582  NrmModcnlm 18585
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem1  18679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-fz 11004  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-topgen 13626  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-lmod 15911  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-xms 18307  df-ms 18308  df-nm 18587  df-ngp 18588  df-nrg 18590  df-nlm 18591
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