MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nltpnft Structured version   Unicode version

Theorem nltpnft 10754
Description: An extended real is not less than plus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
nltpnft  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =  +oo  <->  -.  A  <  +oo ) )

Proof of Theorem nltpnft
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10713 . . . 4  |-  +oo  e.  RR*
2 xrltnr 10720 . . . 4  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  +oo )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  -.  +oo  <  +oo
4 breq1 4215 . . 3  |-  ( A  =  +oo  ->  ( A  <  +oo  <->  +oo  <  +oo ) )
53, 4mtbiri 295 . 2  |-  ( A  =  +oo  ->  -.  A  <  +oo )
6 pnfge 10727 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_  +oo )
7 xrleloe 10737 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( A  <_  +oo  <->  ( A  <  +oo  \/  A  =  +oo ) ) )
81, 7mpan2 653 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <_  +oo  <->  ( A  <  +oo  \/  A  =  +oo ) ) )
96, 8mpbid 202 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <  +oo  \/  A  =  +oo ) )
109ord 367 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( -.  A  <  +oo  ->  A  =  +oo ) )
115, 10impbid2 196 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =  +oo  <->  -.  A  <  +oo ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121
This theorem is referenced by:  xrrebnd  10756  xlt2add  10839  supxrbnd1  10900  supxrbnd2  10901  supxrgtmnf  10908  supxrre2  10910  ioopnfsup  11245  icopnfsup  11246  xrsdsreclblem  16744  ovoliun  19401  ovolicopnf  19420  voliunlem3  19446  volsup  19450  itg2seq  19634  nmoreltpnf  22270  nmopreltpnf  23372  xgepnf  24116  ismblfin  26247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126
  Copyright terms: Public domain W3C validator