MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmblolbi Unicode version

Theorem nmblolbi 21394
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblolbi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmblolbi.4  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmblolbi.5  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmblolbi.6  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmblolbi.7  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
nmblolbi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmblolbi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmblolbi  |-  ( ( T  e.  B  /\  A  e.  X )  ->  ( M `  ( T `  A )
)  <_  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) ) )

Proof of Theorem nmblolbi
StepHypRef Expression
1 fveq1 5540 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( T `  A )  =  ( if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) `  A ) )
21fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  =  ( M `  ( if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) `
 A ) ) )
3 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( N `  T )  =  ( N `  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) ) )
43oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 A ) )  =  ( ( N `
 if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) )  x.  ( L `  A
) ) )
52, 4breq12d 4052 . . . 4  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  <_  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) )  <->  ( M `  ( if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) `  A
) )  <_  (
( N `  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) )  x.  ( L `
 A ) ) ) )
65imbi2d 307 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  (
( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A )
)  <_  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) ) )  <->  ( A  e.  X  ->  ( M `
 ( if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) `  A ) )  <_ 
( ( N `  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) )  x.  ( L `
 A ) ) ) ) )
7 nmblolbi.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 nmblolbi.4 . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
9 nmblolbi.5 . . . 4  |-  M  =  ( normCV `  W )
10 nmblolbi.6 . . . 4  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
11 nmblolbi.7 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
12 nmblolbi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
13 nmblolbi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
14 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( U  0op  W )  =  ( U  0op  W
)
1514, 110blo 21386 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U  0op  W )  e.  B )
1612, 13, 15mp2an 653 . . . . 5  |-  ( U  0op  W )  e.  B
1716elimel 3630 . . . 4  |-  if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  B
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17nmblolbii 21393 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) `
 A ) )  <_  ( ( N `
 if ( T  e.  B ,  T ,  ( U  0op  W ) ) )  x.  ( L `  A
) ) )
196, 18dedth 3619 . 2  |-  ( T  e.  B  ->  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `
 A ) )  <_  ( ( N `
 T )  x.  ( L `  A
) ) ) )
2019imp 418 1  |-  ( ( T  e.  B  /\  A  e.  X )  ->  ( M `  ( T `  A )
)  <_  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ifcif 3578   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    x. cmul 8758    <_ cle 8884   NrmCVeccnv 21156   BaseSetcba 21158   normCVcnmcv 21162   normOp OLDcnmoo 21335    BLnOp cblo 21336    0op c0o 21337
This theorem is referenced by:  isblo3i  21395  blometi  21397  ubthlem3  21467  htthlem  21513
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-nmcv 21172  df-lno 21338  df-nmoo 21339  df-blo 21340  df-0o 21341
  Copyright terms: Public domain W3C validator