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Theorem nmblolbii 22261
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblolbi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmblolbi.4  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmblolbi.5  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmblolbi.6  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmblolbi.7  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
nmblolbi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmblolbi.w  |-  W  e.  NrmCVec
nmblolbii.b  |-  T  e.  B
Assertion
Ref Expression
nmblolbii  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
) )

Proof of Theorem nmblolbii
StepHypRef Expression
1 fveq2 5695 . . . 4  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( T `  A )  =  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )
21fveq2d 5699 . . 3  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( M `  ( T `  A
) )  =  ( M `  ( T `
 ( 0vec `  U
) ) ) )
3 fveq2 5695 . . . 4  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( L `  A )  =  ( L `  ( 0vec `  U ) ) )
43oveq2d 6064 . . 3  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) )  =  ( ( N `  T
)  x.  ( L `
 ( 0vec `  U
) ) ) )
52, 4breq12d 4193 . 2  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
)  <->  ( M `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( N `
 T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U ) ) ) ) )
6 nmblolbi.u . . . . . . . . 9  |-  U  e.  NrmCVec
7 nmblolbi.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 nmblolbi.4 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( normCV `  U )
97, 8nvcl 22109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( L `  A )  e.  RR )
106, 9mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( L `  A )  e.  RR )
1110adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  A )  e.  RR )
12 eqid 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
137, 12, 8nvz 22119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( L `  A
)  =  0  <->  A  =  ( 0vec `  U
) ) )
146, 13mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  (
( L `  A
)  =  0  <->  A  =  ( 0vec `  U
) ) )
1514necon3bid 2610 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  (
( L `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  ( 0vec `  U
) ) )
1615biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  A )  =/=  0 )
1711, 16rereccld 9805 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
1  /  ( L `
 A ) )  e.  RR )
187, 12, 8nvgt0 22125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A  =/=  ( 0vec `  U
)  <->  0  <  ( L `  A )
) )
196, 18mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  =/=  ( 0vec `  U
)  <->  0  <  ( L `  A )
) )
2019biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <  ( L `  A
) )
2111, 20recgt0d 9909 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <  ( 1  /  ( L `  A )
) )
22 0re 9055 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
23 ltle 9127 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  ( L `  A )
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( L `
 A ) ) ) )
2422, 17, 23sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
0  <  ( 1  /  ( L `  A ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( L `  A ) ) ) )
2521, 24mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <_  ( 1  /  ( L `  A )
) )
26 nmblolbi.w . . . . . . . . 9  |-  W  e.  NrmCVec
27 nmblolbii.b . . . . . . . . 9  |-  T  e.  B
28 eqid 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
29 nmblolbi.7 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
307, 28, 29blof 22247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
316, 26, 27, 30mp3an 1279 . . . . . . . 8  |-  T : X
--> ( BaseSet `  W )
3231ffvelrni 5836 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W )
)
3332adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W )
)
34 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
35 nmblolbi.5 . . . . . . . 8  |-  M  =  ( normCV `  W )
3628, 34, 35nvsge0 22113 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  ( L `  A )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
( L `  A
) ) )  /\  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  ( M `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  W
) ( T `  A ) ) )  =  ( ( 1  /  ( L `  A ) )  x.  ( M `  ( T `  A )
) ) )
3726, 36mp3an1 1266 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1  / 
( L `  A
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  ( L `  A ) ) )  /\  ( T `  A )  e.  (
BaseSet `  W ) )  ->  ( M `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  W )
( T `  A
) ) )  =  ( ( 1  / 
( L `  A
) )  x.  ( M `  ( T `  A ) ) ) )
3817, 25, 33, 37syl21anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  W
) ( T `  A ) ) )  =  ( ( 1  /  ( L `  A ) )  x.  ( M `  ( T `  A )
) ) )
3917recnd 9078 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
1  /  ( L `
 A ) )  e.  CC )
40 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  A  e.  X )
41 eqid 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U 
LnOp  W )  =  ( U  LnOp  W )
4241, 29bloln 22246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T  e.  ( U  LnOp  W
) )
436, 26, 27, 42mp3an 1279 . . . . . . . . 9  |-  T  e.  ( U  LnOp  W
)
446, 26, 433pm3.2i 1132 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U 
LnOp  W ) )
45 eqid 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
467, 45, 34, 41lnomul 22222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  (
( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( T `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  U ) A ) )  =  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  W )
( T `  A
) ) )
4744, 46mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( T `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  W
) ( T `  A ) ) )
4839, 40, 47syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( T `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) )  =  ( ( 1  /  ( L `  A ) ) ( .s OLD `  W
) ( T `  A ) ) )
4948fveq2d 5699 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  U ) A ) ) )  =  ( M `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  W )
( T `  A
) ) ) )
5028, 35nvcl 22109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( M `  ( T `  A
) )  e.  RR )
5126, 32, 50sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A ) )  e.  RR )
5251adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  e.  RR )
5352recnd 9078 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  e.  CC )
5411recnd 9078 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  A )  e.  CC )
5553, 54, 16divrec2d 9758 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  /  ( L `
 A ) )  =  ( ( 1  /  ( L `  A ) )  x.  ( M `  ( T `  A )
) ) )
5638, 49, 553eqtr4rd 2455 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  /  ( L `
 A ) )  =  ( M `  ( T `  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) ) ) )
577, 45nvscl 22068 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  ( L `
 A ) )  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A )  e.  X )
586, 57mp3an1 1266 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  U ) A )  e.  X
)
5939, 40, 58syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A )  e.  X )
6058ancoms 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  ( L `  A ) ) ( .s OLD `  U
) A )  e.  X )
6139, 60syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A )  e.  X )
627, 8nvcl 22109 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A )  e.  X )  -> 
( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A ) )  e.  RR )
636, 61, 62sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) )  e.  RR )
647, 45, 12, 8nv1 22126 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) )  =  1 )
656, 64mp3an1 1266 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) )  =  1 )
66 eqle 9140 . . . . . 6  |-  ( ( ( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A ) )  e.  RR  /\  ( L `  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) )  =  1 )  -> 
( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A ) )  <_  1 )
6763, 65, 66syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) )  <_  1 )
686, 26, 313pm3.2i 1132 . . . . . 6  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> ( BaseSet `  W ) )
69 nmblolbi.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
707, 28, 8, 35, 69nmoolb 22233 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> ( BaseSet `  W
) )  /\  (
( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  U ) A )  e.  X  /\  ( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A ) )  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A ) ) )  <_  ( N `  T )
)
7168, 70mpan 652 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  U ) A )  e.  X  /\  ( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A ) )  <_  1 )  ->  ( M `  ( T `  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) ) )  <_  ( N `  T ) )
7259, 67, 71syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  U ) A ) ) )  <_  ( N `  T ) )
7356, 72eqbrtrd 4200 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  /  ( L `
 A ) )  <_  ( N `  T ) )
747, 28, 69, 29nmblore 22248 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  ( N `  T )  e.  RR )
756, 26, 27, 74mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  ( N `
 T )  e.  RR
7675a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  X  ->  ( N `  T )  e.  RR )
7751, 10, 763jca 1134 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  e.  RR  /\  ( L `  A )  e.  RR  /\  ( N `  T )  e.  RR ) )
7877adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  e.  RR  /\  ( L `  A )  e.  RR  /\  ( N `  T )  e.  RR ) )
79 ledivmul2OLD 9852 . . . 4  |-  ( ( ( ( M `  ( T `  A ) )  e.  RR  /\  ( L `  A )  e.  RR  /\  ( N `  T )  e.  RR )  /\  0  <  ( L `  A
) )  ->  (
( ( M `  ( T `  A ) )  /  ( L `
 A ) )  <_  ( N `  T )  <->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 A ) ) ) )
8078, 20, 79syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( M `  ( T `  A ) )  /  ( L `
 A ) )  <_  ( N `  T )  <->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 A ) ) ) )
8173, 80mpbid 202 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
) )
82 0le0 10045 . . . 4  |-  0  <_  0
83 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
847, 28, 12, 83, 41lno0 22218 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U  LnOp  W ) )  ->  ( T `  ( 0vec `  U
) )  =  (
0vec `  W )
)
856, 26, 43, 84mp3an 1279 . . . . . 6  |-  ( T `
 ( 0vec `  U
) )  =  (
0vec `  W )
8685fveq2i 5698 . . . . 5  |-  ( M `
 ( T `  ( 0vec `  U )
) )  =  ( M `  ( 0vec `  W ) )
8783, 35nvz0 22118 . . . . . 6  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( M `  ( 0vec `  W )
)  =  0 )
8826, 87ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( M `
 ( 0vec `  W
) )  =  0
8986, 88eqtri 2432 . . . 4  |-  ( M `
 ( T `  ( 0vec `  U )
) )  =  0
9012, 8nvz0 22118 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( L `  ( 0vec `  U )
)  =  0 )
916, 90ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( 0vec `  U
) )  =  0
9291oveq2i 6059 . . . . 5  |-  ( ( N `  T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U )
) )  =  ( ( N `  T
)  x.  0 )
9375recni 9066 . . . . . 6  |-  ( N `
 T )  e.  CC
9493mul01i 9220 . . . . 5  |-  ( ( N `  T )  x.  0 )  =  0
9592, 94eqtri 2432 . . . 4  |-  ( ( N `  T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U )
) )  =  0
9682, 89, 953brtr4i 4208 . . 3  |-  ( M `
 ( T `  ( 0vec `  U )
) )  <_  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 ( 0vec `  U
) ) )
9796a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  ( 0vec `  U
) ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U ) ) ) )
985, 81, 97pm2.61ne 2650 1  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   class class class wbr 4180   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    / cdiv 9641   NrmCVeccnv 22024   BaseSetcba 22026   .s
OLDcns 22027   0veccn0v 22028   normCVcnmcv 22030    LnOp clno 22202   normOp OLDcnmoo 22203    BLnOp cblo 22204
This theorem is referenced by:  nmblolbi  22262
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-grpo 21740  df-gid 21741  df-ginv 21742  df-ablo 21831  df-vc 21986  df-nv 22032  df-va 22035  df-ba 22036  df-sm 22037  df-0v 22038  df-nmcv 22040  df-lno 22206  df-nmoo 22207  df-blo 22208
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