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Theorem nmblolbii 21393
Description: A lower bound for the norm of a bounded linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmblolbi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmblolbi.4  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmblolbi.5  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmblolbi.6  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmblolbi.7  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
nmblolbi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmblolbi.w  |-  W  e.  NrmCVec
nmblolbii.b  |-  T  e.  B
Assertion
Ref Expression
nmblolbii  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
) )

Proof of Theorem nmblolbii
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( T `  A )  =  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )
21fveq2d 5545 . . 3  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( M `  ( T `  A
) )  =  ( M `  ( T `
 ( 0vec `  U
) ) ) )
3 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( L `  A )  =  ( L `  ( 0vec `  U ) ) )
43oveq2d 5890 . . 3  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( N `  T )  x.  ( L `  A
) )  =  ( ( N `  T
)  x.  ( L `
 ( 0vec `  U
) ) ) )
52, 4breq12d 4052 . 2  |-  ( A  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
)  <->  ( M `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( N `
 T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U ) ) ) ) )
6 nmblolbi.u . . . . . . . . 9  |-  U  e.  NrmCVec
7 nmblolbi.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 nmblolbi.4 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( normCV `  U )
97, 8nvcl 21241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( L `  A )  e.  RR )
106, 9mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( L `  A )  e.  RR )
1110adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  A )  e.  RR )
12 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
137, 12, 8nvz 21251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( L `  A
)  =  0  <->  A  =  ( 0vec `  U
) ) )
146, 13mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  (
( L `  A
)  =  0  <->  A  =  ( 0vec `  U
) ) )
1514necon3bid 2494 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  (
( L `  A
)  =/=  0  <->  A  =/=  ( 0vec `  U
) ) )
1615biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  A )  =/=  0 )
1711, 16rereccld 9603 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
1  /  ( L `
 A ) )  e.  RR )
187, 12, 8nvgt0 21257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A  =/=  ( 0vec `  U
)  <->  0  <  ( L `  A )
) )
196, 18mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  =/=  ( 0vec `  U
)  <->  0  <  ( L `  A )
) )
2019biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <  ( L `  A
) )
2111, 20recgt0d 9707 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <  ( 1  /  ( L `  A )
) )
22 0re 8854 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
23 ltle 8926 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  ( L `  A )
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( L `
 A ) ) ) )
2422, 17, 23sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
0  <  ( 1  /  ( L `  A ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( L `  A ) ) ) )
2521, 24mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <_  ( 1  /  ( L `  A )
) )
26 nmblolbi.w . . . . . . . . 9  |-  W  e.  NrmCVec
27 nmblolbii.b . . . . . . . . 9  |-  T  e.  B
28 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
29 nmblolbi.7 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
307, 28, 29blof 21379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
316, 26, 27, 30mp3an 1277 . . . . . . . 8  |-  T : X
--> ( BaseSet `  W )
3231ffvelrni 5680 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W )
)
3332adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W )
)
34 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
35 nmblolbi.5 . . . . . . . 8  |-  M  =  ( normCV `  W )
3628, 34, 35nvsge0 21245 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  ( L `  A )
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
( L `  A
) ) )  /\  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  ( M `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  W
) ( T `  A ) ) )  =  ( ( 1  /  ( L `  A ) )  x.  ( M `  ( T `  A )
) ) )
3726, 36mp3an1 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1  / 
( L `  A
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  ( L `  A ) ) )  /\  ( T `  A )  e.  (
BaseSet `  W ) )  ->  ( M `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  W )
( T `  A
) ) )  =  ( ( 1  / 
( L `  A
) )  x.  ( M `  ( T `  A ) ) ) )
3817, 25, 33, 37syl21anc 1181 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  W
) ( T `  A ) ) )  =  ( ( 1  /  ( L `  A ) )  x.  ( M `  ( T `  A )
) ) )
3917recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
1  /  ( L `
 A ) )  e.  CC )
40 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  A  e.  X )
41 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U 
LnOp  W )  =  ( U  LnOp  W )
4241, 29bloln 21378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T  e.  ( U  LnOp  W
) )
436, 26, 27, 42mp3an 1277 . . . . . . . . 9  |-  T  e.  ( U  LnOp  W
)
446, 26, 433pm3.2i 1130 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U 
LnOp  W ) )
45 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
467, 45, 34, 41lnomul 21354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  (
( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( T `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  U ) A ) )  =  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  W )
( T `  A
) ) )
4744, 46mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( T `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  W
) ( T `  A ) ) )
4839, 40, 47syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( T `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) )  =  ( ( 1  /  ( L `  A ) ) ( .s OLD `  W
) ( T `  A ) ) )
4948fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  U ) A ) ) )  =  ( M `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  W )
( T `  A
) ) ) )
5028, 35nvcl 21241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  A )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( M `  ( T `  A
) )  e.  RR )
5126, 32, 50sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A ) )  e.  RR )
5251adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  e.  RR )
5352recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  e.  CC )
5411recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  A )  e.  CC )
5553, 54, 16divrec2d 9556 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  /  ( L `
 A ) )  =  ( ( 1  /  ( L `  A ) )  x.  ( M `  ( T `  A )
) ) )
5638, 49, 553eqtr4rd 2339 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  /  ( L `
 A ) )  =  ( M `  ( T `  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) ) ) )
577, 45nvscl 21200 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  ( L `
 A ) )  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A )  e.  X )
586, 57mp3an1 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  U ) A )  e.  X
)
5939, 40, 58syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A )  e.  X )
6058ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  X  /\  ( 1  /  ( L `  A )
)  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  ( L `  A ) ) ( .s OLD `  U
) A )  e.  X )
6139, 60syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A )  e.  X )
627, 8nvcl 21241 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A )  e.  X )  -> 
( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A ) )  e.  RR )
636, 61, 62sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) )  e.  RR )
647, 45, 12, 8nv1 21258 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) )  =  1 )
656, 64mp3an1 1264 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) )  =  1 )
66 eqle 8939 . . . . . 6  |-  ( ( ( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A ) )  e.  RR  /\  ( L `  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) )  =  1 )  -> 
( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A ) )  <_  1 )
6763, 65, 66syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( L `  ( (
1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) )  <_  1 )
686, 26, 313pm3.2i 1130 . . . . . 6  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> ( BaseSet `  W ) )
69 nmblolbi.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
707, 28, 8, 35, 69nmoolb 21365 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X --> ( BaseSet `  W
) )  /\  (
( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  U ) A )  e.  X  /\  ( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A ) )  <_  1 ) )  ->  ( M `  ( T `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A ) ) )  <_  ( N `  T )
)
7168, 70mpan 651 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  U ) A )  e.  X  /\  ( L `  (
( 1  /  ( L `  A )
) ( .s OLD `  U ) A ) )  <_  1 )  ->  ( M `  ( T `  ( ( 1  /  ( L `
 A ) ) ( .s OLD `  U
) A ) ) )  <_  ( N `  T ) )
7259, 67, 71syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  ( ( 1  / 
( L `  A
) ) ( .s
OLD `  U ) A ) ) )  <_  ( N `  T ) )
7356, 72eqbrtrd 4059 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  /  ( L `
 A ) )  <_  ( N `  T ) )
747, 28, 69, 29nmblore 21380 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  ( N `  T )  e.  RR )
756, 26, 27, 74mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( N `
 T )  e.  RR
7675a1i 10 . . . . . 6  |-  ( A  e.  X  ->  ( N `  T )  e.  RR )
7751, 10, 763jca 1132 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  e.  RR  /\  ( L `  A )  e.  RR  /\  ( N `  T )  e.  RR ) )
7877adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( M `  ( T `  A )
)  e.  RR  /\  ( L `  A )  e.  RR  /\  ( N `  T )  e.  RR ) )
79 ledivmul2OLD 9650 . . . 4  |-  ( ( ( ( M `  ( T `  A ) )  e.  RR  /\  ( L `  A )  e.  RR  /\  ( N `  T )  e.  RR )  /\  0  <  ( L `  A
) )  ->  (
( ( M `  ( T `  A ) )  /  ( L `
 A ) )  <_  ( N `  T )  <->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 A ) ) ) )
8078, 20, 79syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( M `  ( T `  A ) )  /  ( L `
 A ) )  <_  ( N `  T )  <->  ( M `  ( T `  A
) )  <_  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 A ) ) ) )
8173, 80mpbid 201 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
) )
82 0le0 9843 . . . 4  |-  0  <_  0
83 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
847, 28, 12, 83, 41lno0 21350 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U  LnOp  W ) )  ->  ( T `  ( 0vec `  U
) )  =  (
0vec `  W )
)
856, 26, 43, 84mp3an 1277 . . . . . 6  |-  ( T `
 ( 0vec `  U
) )  =  (
0vec `  W )
8685fveq2i 5544 . . . . 5  |-  ( M `
 ( T `  ( 0vec `  U )
) )  =  ( M `  ( 0vec `  W ) )
8783, 35nvz0 21250 . . . . . 6  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( M `  ( 0vec `  W )
)  =  0 )
8826, 87ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( M `
 ( 0vec `  W
) )  =  0
8986, 88eqtri 2316 . . . 4  |-  ( M `
 ( T `  ( 0vec `  U )
) )  =  0
9012, 8nvz0 21250 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( L `  ( 0vec `  U )
)  =  0 )
916, 90ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( L `
 ( 0vec `  U
) )  =  0
9291oveq2i 5885 . . . . 5  |-  ( ( N `  T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U )
) )  =  ( ( N `  T
)  x.  0 )
9375recni 8865 . . . . . 6  |-  ( N `
 T )  e.  CC
9493mul01i 9018 . . . . 5  |-  ( ( N `  T )  x.  0 )  =  0
9592, 94eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( N `  T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U )
) )  =  0
9682, 89, 953brtr4i 4067 . . 3  |-  ( M `
 ( T `  ( 0vec `  U )
) )  <_  (
( N `  T
)  x.  ( L `
 ( 0vec `  U
) ) )
9796a1i 10 . 2  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  ( 0vec `  U
) ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  ( 0vec `  U ) ) ) )
985, 81, 97pm2.61ne 2534 1  |-  ( A  e.  X  ->  ( M `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( N `  T )  x.  ( L `  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NrmCVeccnv 21156   BaseSetcba 21158   .s
OLDcns 21159   0veccn0v 21160   normCVcnmcv 21162    LnOp clno 21334   normOp OLDcnmoo 21335    BLnOp cblo 21336
This theorem is referenced by:  nmblolbi  21394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-nmcv 21172  df-lno 21338  df-nmoo 21339  df-blo 21340
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