Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcfnexi Unicode version

Theorem nmcfnexi 22631
 Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcfnex.1
nmcfnex.2
Assertion
Ref Expression
nmcfnexi

Proof of Theorem nmcfnexi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcfnex.2 . . . 4
2 ax-hv0cl 21583 . . . 4
3 1rp 10358 . . . 4
4 cnfnc 22510 . . . 4
51, 2, 3, 4mp3an 1277 . . 3
6 hvsub0 21655 . . . . . . . 8
76fveq2d 5529 . . . . . . 7
87breq1d 4033 . . . . . 6
9 nmcfnex.1 . . . . . . . . . . 11
109lnfn0i 22622 . . . . . . . . . 10
1110oveq2i 5869 . . . . . . . . 9
129lnfnfi 22621 . . . . . . . . . . 11
1312ffvelrni 5664 . . . . . . . . . 10
1413subid1d 9146 . . . . . . . . 9
1511, 14syl5eq 2327 . . . . . . . 8
1615fveq2d 5529 . . . . . . 7
1716breq1d 4033 . . . . . 6
188, 17imbi12d 311 . . . . 5
1918ralbiia 2575 . . . 4
2019rexbii 2568 . . 3
215, 20mpbi 199 . 2
22 nmfnval 22456 . . 3
2312, 22ax-mp 8 . 2
2412ffvelrni 5664 . . 3
2524abscld 11918 . 2
2610fveq2i 5528 . . 3
27 abs0 11770 . . 3
2826, 27eqtri 2303 . 2
29 rpcn 10362 . . . . 5
309lnfnmuli 22624 . . . . 5
3129, 30sylan 457 . . . 4
3231fveq2d 5529 . . 3
33 absmul 11779 . . . 4
3429, 24, 33syl2an 463 . . 3
35 rpre 10360 . . . . . 6
36 rpge0 10366 . . . . . 6
3735, 36absidd 11905 . . . . 5
3837adantr 451 . . . 4
3938oveq1d 5873 . . 3
4032, 34, 393eqtrrd 2320 . 2
4121, 23, 25, 28, 40nmcexi 22606 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  cab 2269  wral 2543  wrex 2544   class class class wbr 4023  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  csup 7193  cc 8735  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   cmul 8742  cxr 8866   clt 8867   cle 8868   cmin 9037   cdiv 9423  c2 9795  crp 10354  cabs 11719  chil 21499   csm 21501  cno 21503  c0v 21504   cmv 21505  cnmf 21531  ccnfn 21533  clf 21534 This theorem is referenced by:  nmcfnlbi  22632  nmcfnex  22633 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-hilex 21579  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his3 21663  ax-his4 21664 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-hnorm 21548  df-hvsub 21551  df-nmfn 22425  df-cnfn 22427  df-lnfn 22428
 Copyright terms: Public domain W3C validator