Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcopexi Unicode version

Theorem nmcopexi 22623
 Description: The norm of a continuous linear Hilbert space operator exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 5-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcopex.1
nmcopex.2
Assertion
Ref Expression
nmcopexi

Proof of Theorem nmcopexi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmcopex.2 . . . 4
2 ax-hv0cl 21599 . . . 4
3 1rp 10374 . . . 4
4 cnopc 22509 . . . 4
51, 2, 3, 4mp3an 1277 . . 3
6 hvsub0 21671 . . . . . . . 8
76fveq2d 5545 . . . . . . 7
87breq1d 4049 . . . . . 6
9 nmcopex.1 . . . . . . . . . . 11
109lnop0i 22566 . . . . . . . . . 10
1110oveq2i 5885 . . . . . . . . 9
129lnopfi 22565 . . . . . . . . . . 11
1312ffvelrni 5680 . . . . . . . . . 10
14 hvsub0 21671 . . . . . . . . . 10
1513, 14syl 15 . . . . . . . . 9
1611, 15syl5eq 2340 . . . . . . . 8
1716fveq2d 5545 . . . . . . 7
1817breq1d 4049 . . . . . 6
198, 18imbi12d 311 . . . . 5
2019ralbiia 2588 . . . 4
2120rexbii 2581 . . 3
225, 21mpbi 199 . 2
23 nmopval 22452 . . 3
2412, 23ax-mp 8 . 2
2512ffvelrni 5680 . . 3
26 normcl 21720 . . 3
2725, 26syl 15 . 2
2810fveq2i 5544 . . 3
29 norm0 21723 . . 3
3028, 29eqtri 2316 . 2
31 rpcn 10378 . . . . 5
329lnopmuli 22568 . . . . 5
3331, 32sylan 457 . . . 4
3433fveq2d 5545 . . 3
35 norm-iii 21735 . . . 4
3631, 25, 35syl2an 463 . . 3
37 rpre 10376 . . . . . 6
38 rpge0 10382 . . . . . 6
3937, 38absidd 11921 . . . . 5
4039adantr 451 . . . 4
4140oveq1d 5889 . . 3
4234, 36, 413eqtrrd 2333 . 2
4322, 24, 27, 30, 42nmcexi 22622 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  cab 2282  wral 2556  wrex 2557   class class class wbr 4039  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  csup 7209  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   cmul 8758  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cdiv 9439  c2 9811  crp 10370  cabs 11735  chil 21515   csm 21517  cno 21519  c0v 21520   cmv 21521  cnop 21541  ccop 21542  clo 21543 This theorem is referenced by:  nmcoplbi  22624  nmcopex  22625  cnlnadjlem2  22664  cnlnadjlem7  22669  cnlnadjlem8  22670 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his3 21679  ax-his4 21680 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-hnorm 21564  df-hvsub 21567  df-nmop 22435  df-cnop 22436  df-lnop 22437
 Copyright terms: Public domain W3C validator