HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmcoplb Unicode version

Theorem nmcoplb 22626
Description: A lower bound for the norm of a continuous linear Hilbert space operator. Theorem 3.5(ii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmcoplb  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp  /\  A  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  A
) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
) )

Proof of Theorem nmcoplb
StepHypRef Expression
1 elin 3371 . . 3  |-  ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  <-> 
( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp ) )
2 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T `  A )  =  ( if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  A ) )
32fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( normh `  ( T `  A
) )  =  (
normh `  ( if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) `  A )
) )
4 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( normop `  T
)  =  ( normop `  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) ) )
54oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A ) )  =  ( ( normop `  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) )  x.  ( normh `  A
) ) )
63, 5breq12d 4052 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) )  <->  ( normh `  ( if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  A )
)  <_  ( ( normop `  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) )  x.  ( normh `  A
) ) ) )
76imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( ( A  e.  ~H  ->  (
normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )  <-> 
( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  A )
)  <_  ( ( normop `  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) )  x.  ( normh `  A
) ) ) ) )
8 idlnop 22588 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp
9 idcnop 22577 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  ~H )  e.  ConOp
10 elin 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  ~H )  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  <->  ( (  _I  |`  ~H )  e. 
LinOp  /\  (  _I  |`  ~H )  e.  ConOp ) )
118, 9, 10mpbir2an 886 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  ~H )  e.  (
LinOp  i^i  ConOp )
1211elimel 3630 . . . . . . . 8  |-  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )
13 elin 3371 . . . . . . . 8  |-  ( if ( T  e.  (
LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  <->  ( if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  ConOp ) )
1412, 13mpbi 199 . . . . . . 7  |-  ( if ( T  e.  (
LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  ConOp )
1514simpli 444 . . . . . 6  |-  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp
1614simpri 448 . . . . . 6  |-  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  ConOp
1715, 16nmcoplbi 22624 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) `  A )
)  <_  ( ( normop `  if ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) )  x.  ( normh `  A
) ) )
187, 17dedth 3619 . . . 4  |-  ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( A  e. 
~H  ->  ( normh `  ( T `  A )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A ) ) ) )
1918imp 418 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A  e. 
~H )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
201, 19sylanbr 459 . 2  |-  ( ( ( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp )  /\  A  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
21203impa 1146 1  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp  /\  A  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  A
) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    i^i cin 3164   ifcif 3578   class class class wbr 4039    _I cid 4320    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    x. cmul 8758    <_ cle 8884   ~Hchil 21515   normhcno 21519   normopcnop 21541   ConOpccop 21542   LinOpclo 21543
This theorem is referenced by:  lnopconi  22630
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-nmcv 21172  df-hnorm 21564  df-hba 21565  df-hvsub 21567  df-nmop 22435  df-cnop 22436  df-lnop 22437  df-unop 22439
  Copyright terms: Public domain W3C validator