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Theorem nmcvcn 21268
Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcvcn.1  |-  N  =  ( normCV `  U )
nmcvcn.2  |-  C  =  ( IndMet `  U )
nmcvcn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
nmcvcn.k  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
nmcvcn  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  N  e.  ( J  Cn  K ) )

Proof of Theorem nmcvcn
Dummy variables  e 
d  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 nmcvcn.1 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
31, 2nvf 21224 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  N : (
BaseSet `  U ) --> RR )
4 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  e  e.  RR+ ) )  -> 
e  e.  RR+ )
51, 2nvcl 21225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( N `  x )  e.  RR )
65ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  ->  ( N `  x
)  e.  RR ) )
71, 2nvcl 21225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( N `  y )  e.  RR )
87ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( y  e.  ( BaseSet `  U )  ->  ( N `  y
)  e.  RR ) )
96, 8anim12d 546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( ( x  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( N `  x )  e.  RR  /\  ( N `
 y )  e.  RR ) ) )
10 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )
1110remet 18296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( Met `  RR )
12 metcl 17897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( Met `  RR )  /\  ( N `  x )  e.  RR  /\  ( N `  y
)  e.  RR )  ->  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  e.  RR )
1311, 12mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  x
)  e.  RR  /\  ( N `  y )  e.  RR )  -> 
( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  e.  RR )
149, 13syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( ( x  e.  ( BaseSet `  U
)  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( N `  x )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( N `  y
) )  e.  RR ) )
15143impib 1149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  e.  RR )
16 nmcvcn.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( IndMet `  U )
171, 16imsmet 21260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U ) ) )
18 metcl 17897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C y )  e.  RR )
1917, 18syl3an1 1215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C y )  e.  RR )
20 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
21 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
221, 20, 21, 2nvabs 21239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( abs `  (
( N `  x
)  -  ( N `
 y ) ) )  <_  ( N `  ( x ( +v
`  U ) (
-u 1 ( .s
OLD `  U )
y ) ) ) )
2393impib 1149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( ( N `
 x )  e.  RR  /\  ( N `
 y )  e.  RR ) )
2410remetdval 18295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N `  x
)  e.  RR  /\  ( N `  y )  e.  RR )  -> 
( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  =  ( abs `  (
( N `  x
)  -  ( N `
 y ) ) ) )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  =  ( abs `  (
( N `  x
)  -  ( N `
 y ) ) ) )
261, 20, 21, 2, 16imsdval2 21256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C y )  =  ( N `  ( x ( +v `  U
) ( -u 1
( .s OLD `  U
) y ) ) ) )
2722, 25, 263brtr4d 4053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <_  ( x C y ) )
2815, 19, 27jca31 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( ( ( ( N `  x
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `  y
) )  e.  RR  /\  ( x C y )  e.  RR )  /\  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <_  ( x C y ) ) )
29283expa 1151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U ) )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( N `  y
) )  e.  RR  /\  ( x C y )  e.  RR )  /\  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <_  ( x C y ) ) )
30 rpre 10360 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e.  RR )
31 lelttr 8912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  e.  RR  /\  (
x C y )  e.  RR  /\  e  e.  RR )  ->  (
( ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <_  ( x C y )  /\  (
x C y )  <  e )  -> 
( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) )
32313expa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  e.  RR  /\  (
x C y )  e.  RR )  /\  e  e.  RR )  ->  ( ( ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( N `  y
) )  <_  (
x C y )  /\  ( x C y )  <  e
)  ->  ( ( N `  x )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( N `  y
) )  <  e
) )
3332expdimp 426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( N `  y
) )  e.  RR  /\  ( x C y )  e.  RR )  /\  e  e.  RR )  /\  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <_  ( x C y ) )  -> 
( ( x C y )  <  e  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) )
3433an32s 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( N `  y
) )  e.  RR  /\  ( x C y )  e.  RR )  /\  ( ( N `
 x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <_  ( x C y ) )  /\  e  e.  RR )  ->  ( ( x C y )  <  e  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) )
3529, 30, 34syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  x  e.  (
BaseSet `  U ) )  /\  y  e.  (
BaseSet `  U ) )  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( ( x C y )  < 
e  ->  ( ( N `  x )
( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) ( N `  y
) )  <  e
) )
3635ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U ) )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( e  e.  RR+  ->  ( ( x C y )  <  e  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) ) )
3736ralrimdva 2633 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( e  e.  RR+  ->  A. y  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C y )  <  e  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) ) )
3837impr 602 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  e  e.  RR+ ) )  ->  A. y  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( x C y )  <  e  -> 
( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) )
39 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( d  =  e  ->  (
( x C y )  <  d  <->  ( x C y )  < 
e ) )
4039imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( x C y )  <  d  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e )  <->  ( (
x C y )  <  e  ->  (
( N `  x
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `  y
) )  <  e
) ) )
4140ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( d  =  e  ->  ( A. y  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( x C y )  <  d  -> 
( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e )  <->  A. y  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C y )  <  e  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) ) )
4241rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  A. y  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( x C y )  <  e  ->  (
( N `  x
) ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `  y
) )  <  e
) )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C y )  <  d  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) )
434, 38, 42syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  e  e.  RR+ ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C y )  <  d  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) )
4443ralrimivva 2635 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C y )  <  d  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) )
451, 16imsxmet 21261 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
4610rexmet 18297 . . 3  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR )
47 nmcvcn.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
48 nmcvcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
49 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) ) )
5010, 49tgioo 18302 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
5148, 50eqtri 2303 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
5247, 51metcn 18089 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  U ) )  /\  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR 
X.  RR ) )  e.  ( * Met `  RR ) )  -> 
( N  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( N : (
BaseSet `  U ) --> RR 
/\  A. x  e.  (
BaseSet `  U ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C y )  <  d  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) ) ) )
5345, 46, 52sylancl 643 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( N :
( BaseSet `  U ) --> RR  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C y )  <  d  ->  ( ( N `  x ) ( ( abs  o.  -  )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ( N `
 y ) )  <  e ) ) ) )
543, 44, 53mpbir2and 888 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  N  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   abscabs 11719   topGenctg 13342   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372    Cn ccn 16954   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s
OLDcns 21143   normCVcnmcv 21146   IndMetcims 21147
This theorem is referenced by:  nmcnc  21269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157
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