Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmdvr Structured version   Unicode version

Theorem nmdvr 18698
 Description: The norm of a division in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmdvr.x
nmdvr.n
nmdvr.u Unit
nmdvr.d /r
Assertion
Ref Expression
nmdvr NrmRing NzRing

Proof of Theorem nmdvr
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . 4 NrmRing NzRing NrmRing
2 simprl 733 . . . 4 NrmRing NzRing
3 nrgrng 18691 . . . . . 6 NrmRing
43ad2antrr 707 . . . . 5 NrmRing NzRing
5 simprr 734 . . . . 5 NrmRing NzRing
6 nmdvr.u . . . . . 6 Unit
7 eqid 2435 . . . . . 6
8 nmdvr.x . . . . . 6
96, 7, 8rnginvcl 15773 . . . . 5
104, 5, 9syl2anc 643 . . . 4 NrmRing NzRing
11 nmdvr.n . . . . 5
12 eqid 2435 . . . . 5
138, 11, 12nmmul 18692 . . . 4 NrmRing
141, 2, 10, 13syl3anc 1184 . . 3 NrmRing NzRing
15 simplr 732 . . . . 5 NrmRing NzRing NzRing
1611, 6, 7nminvr 18697 . . . . 5 NrmRing NzRing
171, 15, 5, 16syl3anc 1184 . . . 4 NrmRing NzRing
1817oveq2d 6089 . . 3 NrmRing NzRing
1914, 18eqtrd 2467 . 2 NrmRing NzRing
20 nmdvr.d . . . . 5 /r
218, 12, 6, 7, 20dvrval 15782 . . . 4
2221adantl 453 . . 3 NrmRing NzRing
2322fveq2d 5724 . 2 NrmRing NzRing
24 nrgngp 18690 . . . . . 6 NrmRing NrmGrp
2524ad2antrr 707 . . . . 5 NrmRing NzRing NrmGrp
268, 11nmcl 18654 . . . . 5 NrmGrp
2725, 2, 26syl2anc 643 . . . 4 NrmRing NzRing
2827recnd 9106 . . 3 NrmRing NzRing
298, 6unitss 15757 . . . . . 6
3029, 5sseldi 3338 . . . . 5 NrmRing NzRing
318, 11nmcl 18654 . . . . 5 NrmGrp
3225, 30, 31syl2anc 643 . . . 4 NrmRing NzRing
3332recnd 9106 . . 3 NrmRing NzRing
3411, 6unitnmn0 18696 . . . . 5 NrmRing NzRing
35343expa 1153 . . . 4 NrmRing NzRing
3635adantrl 697 . . 3 NrmRing NzRing
3728, 33, 36divrecd 9785 . 2 NrmRing NzRing
3819, 23, 373eqtr4d 2477 1 NrmRing NzRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   cmul 8987   cdiv 9669  cbs 13461  cmulr 13522  crg 15652  Unitcui 15736  cinvr 15768  /rcdvr 15779  NzRingcnzr 16320  cnm 18616  NrmGrpcngp 18617  NrmRingcnrg 18619 This theorem is referenced by:  qqhnm  24366 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ico 10914  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-abv 15897  df-nzr 16321  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-xms 18342  df-ms 18343  df-nm 18622  df-ngp 18623  df-nrg 18625
 Copyright terms: Public domain W3C validator