MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmeq0 Structured version   Unicode version

Theorem nmeq0 18654
Description: The identity is the only element of the group with zero norm. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmf.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
nmeq0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
nmeq0  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  =  0  <->  A  =  .0.  ) )

Proof of Theorem nmeq0
StepHypRef Expression
1 nmf.n . . . . 5  |-  N  =  ( norm `  G
)
2 nmf.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 nmeq0.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
51, 2, 3, 4nmval 18627 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  ( N `  A )  =  ( A (
dist `  G )  .0.  ) )
65adantl 453 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  =  ( A (
dist `  G )  .0.  ) )
76eqeq1d 2443 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  =  0  <->  ( A ( dist `  G
)  .0.  )  =  0 ) )
8 ngpgrp 18636 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
98adantr 452 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
102, 3grpidcl 14823 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  .0.  e.  X )
12 ngpxms 18638 . . . 4  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  * MetSp )
132, 4xmseq0 18484 . . . 4  |-  ( ( G  e.  * MetSp  /\  A  e.  X  /\  .0.  e.  X )  -> 
( ( A (
dist `  G )  .0.  )  =  0  <->  A  =  .0.  ) )
1412, 13syl3an1 1217 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  .0.  e.  X )  ->  (
( A ( dist `  G )  .0.  )  =  0  <->  A  =  .0.  ) )
1511, 14mpd3an3 1280 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( A ( dist `  G )  .0.  )  =  0  <->  A  =  .0.  ) )
167, 15bitrd 245 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
)  =  0  <->  A  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8980   Basecbs 13459   distcds 13528   0gc0g 13713   Grpcgrp 14675   * MetSpcxme 18337   normcnm 18614  NrmGrpcngp 18615
This theorem is referenced by:  nmne0  18655  nm0  18663  tngngp  18685  nlmmul0or  18709  nmoeq0  18760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-topgen 13657  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-xms 18340  df-ms 18341  df-nm 18620  df-ngp 18621
  Copyright terms: Public domain W3C validator