HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfn0 Unicode version

Theorem nmfn0 22681
Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfn0  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  0

Proof of Theorem nmfn0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lnfn 22679 . . . 4  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
2 lnfnf 22578 . . . 4  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  LinFn  -> 
( ~H  X.  {
0 } ) : ~H --> CC )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( ~H 
X.  { 0 } ) : ~H --> CC
4 nmfnval 22570 . . 3  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } ) : ~H --> CC  ->  ( normfn `  ( ~H  X.  { 0 } ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
53, 4ax-mp 8 . 2  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
6 c0ex 8922 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
76fvconst2 5813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y )  =  0 )
87fveq2d 5612 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  =  ( abs `  0 ) )
9 abs0 11866 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  0 )  =  0
108, 9syl6eq 2406 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  =  0 )
1110eqeq2d 2369 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) )  <-> 
x  =  0 ) )
1211anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  0
) ) )
1312rexbiia 2652 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  0 ) )
14 ax-hv0cl 21697 . . . . . . . 8  |-  0h  e.  ~H
15 0le1 9387 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
16 fveq2 5608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  0h )
)
17 norm0 21821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normh `  0h )  =  0
1816, 17syl6eq 2406 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0h  ->  ( normh `  y )  =  0 )
1918breq1d 4114 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0h  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  0  <_  1
) )
2019rspcev 2960 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  0  <_  1 )  ->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  <_  1 )
2114, 15, 20mp2an 653 . . . . . . 7  |-  E. y  e.  ~H  ( normh `  y
)  <_  1
22 r19.41v 2769 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  0 )  <->  ( E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  <_ 
1  /\  x  = 
0 ) )
2321, 22mpbiran 884 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  0 )  <->  x  = 
0 )
2413, 23bitri 240 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) )  <-> 
x  =  0 )
2524abbii 2470 . . . 4  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) ) ) }  =  {
x  |  x  =  0 }
26 df-sn 3722 . . . 4  |-  { 0 }  =  { x  |  x  =  0 }
2725, 26eqtr4i 2381 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) ) ) }  =  {
0 }
2827supeq1i 7290 . 2  |-  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
29 xrltso 10567 . . 3  |-  <  Or  RR*
30 0xr 8968 . . 3  |-  0  e.  RR*
31 supsn 7310 . . 3  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
3229, 30, 31mp2an 653 . 2  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
335, 28, 323eqtri 2382 1  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344   E.wrex 2620   {csn 3716   class class class wbr 4104    Or wor 4395    X. cxp 4769   -->wf 5333   ` cfv 5337   supcsup 7283   CCcc 8825   0cc0 8827   1c1 8828   RR*cxr 8956    < clt 8957    <_ cle 8958   abscabs 11815   ~Hchil 21613   normhcno 21617   0hc0v 21618   normfncnmf 21645   LinFnclf 21648
This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  22744  branmfn  22799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-hilex 21693  ax-hfvadd 21694  ax-hv0cl 21697  ax-hfvmul 21699  ax-hvmul0 21704  ax-hfi 21772  ax-his3 21777
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-hnorm 21662  df-nmfn 22539  df-lnfn 22542
  Copyright terms: Public domain W3C validator