HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfn0 Structured version   Unicode version

Theorem nmfn0 23495
Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfn0  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  0

Proof of Theorem nmfn0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lnfn 23493 . . 3  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
2 lnfnf 23392 . . 3  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  LinFn  -> 
( ~H  X.  {
0 } ) : ~H --> CC )
3 nmfnval 23384 . . 3  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } ) : ~H --> CC  ->  ( normfn `  ( ~H  X.  { 0 } ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
41, 2, 3mp2b 10 . 2  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
5 c0ex 9090 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
65fvconst2 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y )  =  0 )
76fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  =  ( abs `  0 ) )
8 abs0 12095 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  0 )  =  0
97, 8syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  =  0 )
109eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) )  <-> 
x  =  0 ) )
1110anbi2d 686 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  0
) ) )
1211rexbiia 2740 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  0 ) )
13 ax-hv0cl 22511 . . . . . . . 8  |-  0h  e.  ~H
14 0le1 9556 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
15 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  0h )
)
16 norm0 22635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normh `  0h )  =  0
1715, 16syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0h  ->  ( normh `  y )  =  0 )
1817breq1d 4225 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0h  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  0  <_  1
) )
1918rspcev 3054 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  0  <_  1 )  ->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  <_  1 )
2013, 14, 19mp2an 655 . . . . . . 7  |-  E. y  e.  ~H  ( normh `  y
)  <_  1
21 r19.41v 2863 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  0 )  <->  ( E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  <_ 
1  /\  x  = 
0 ) )
2220, 21mpbiran 886 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  0 )  <->  x  = 
0 )
2312, 22bitri 242 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) )  <-> 
x  =  0 )
2423abbii 2550 . . . 4  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) ) ) }  =  {
x  |  x  =  0 }
25 df-sn 3822 . . . 4  |-  { 0 }  =  { x  |  x  =  0 }
2624, 25eqtr4i 2461 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) ) ) }  =  {
0 }
2726supeq1i 7455 . 2  |-  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
28 xrltso 10739 . . 3  |-  <  Or  RR*
29 0xr 9136 . . 3  |-  0  e.  RR*
30 supsn 7477 . . 3  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
3128, 29, 30mp2an 655 . 2  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
324, 27, 313eqtri 2462 1  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   E.wrex 2708   {csn 3816   class class class wbr 4215    Or wor 4505    X. cxp 4879   -->wf 5453   ` cfv 5457   supcsup 7448   CCcc 8993   0cc0 8995   1c1 8996   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126   abscabs 12044   ~Hchil 22427   normhcno 22431   0hc0v 22432   normfncnmf 22459   LinFnclf 22462
This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  23558  branmfn  23613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-hilex 22507  ax-hfvadd 22508  ax-hv0cl 22511  ax-hfvmul 22513  ax-hvmul0 22518  ax-hfi 22586  ax-his3 22591
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-hnorm 22476  df-nmfn 23353  df-lnfn 23356
  Copyright terms: Public domain W3C validator