HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfn0 Unicode version

Theorem nmfn0 23447
Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfn0  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  0

Proof of Theorem nmfn0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lnfn 23445 . . 3  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
2 lnfnf 23344 . . 3  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } )  e.  LinFn  -> 
( ~H  X.  {
0 } ) : ~H --> CC )
3 nmfnval 23336 . . 3  |-  ( ( ~H  X.  { 0 } ) : ~H --> CC  ->  ( normfn `  ( ~H  X.  { 0 } ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
41, 2, 3mp2b 10 . 2  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
5 c0ex 9045 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
65fvconst2 5910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y )  =  0 )
76fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  =  ( abs `  0 ) )
8 abs0 12049 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  0 )  =  0
97, 8syl6eq 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( ~H 
X.  { 0 } ) `  y ) )  =  0 )
109eqeq2d 2419 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) )  <-> 
x  =  0 ) )
1110anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  0
) ) )
1211rexbiia 2703 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  0 ) )
13 ax-hv0cl 22463 . . . . . . . 8  |-  0h  e.  ~H
14 0le1 9511 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
15 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  0h )
)
16 norm0 22587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normh `  0h )  =  0
1715, 16syl6eq 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0h  ->  ( normh `  y )  =  0 )
1817breq1d 4186 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0h  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  0  <_  1
) )
1918rspcev 3016 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  0  <_  1 )  ->  E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  <_  1 )
2013, 14, 19mp2an 654 . . . . . . 7  |-  E. y  e.  ~H  ( normh `  y
)  <_  1
21 r19.41v 2825 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  0 )  <->  ( E. y  e.  ~H  ( normh `  y )  <_ 
1  /\  x  = 
0 ) )
2220, 21mpbiran 885 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  0 )  <->  x  = 
0 )
2312, 22bitri 241 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) )  <-> 
x  =  0 )
2423abbii 2520 . . . 4  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) ) ) }  =  {
x  |  x  =  0 }
25 df-sn 3784 . . . 4  |-  { 0 }  =  { x  |  x  =  0 }
2624, 25eqtr4i 2431 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( ~H  X.  { 0 } ) `
 y ) ) ) }  =  {
0 }
2726supeq1i 7414 . 2  |-  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( ~H  X.  {
0 } ) `  y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
28 xrltso 10694 . . 3  |-  <  Or  RR*
29 0xr 9091 . . 3  |-  0  e.  RR*
30 supsn 7434 . . 3  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
3128, 29, 30mp2an 654 . 2  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
324, 27, 313eqtri 2432 1  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2394   E.wrex 2671   {csn 3778   class class class wbr 4176    Or wor 4466    X. cxp 4839   -->wf 5413   ` cfv 5417   supcsup 7407   CCcc 8948   0cc0 8950   1c1 8951   RR*cxr 9079    < clt 9080    <_ cle 9081   abscabs 11998   ~Hchil 22379   normhcno 22383   0hc0v 22384   normfncnmf 22411   LinFnclf 22414
This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  23510  branmfn  23565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-hilex 22459  ax-hfvadd 22460  ax-hv0cl 22463  ax-hfvmul 22465  ax-hvmul0 22470  ax-hfi 22538  ax-his3 22543
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-hnorm 22428  df-nmfn 23305  df-lnfn 23308
  Copyright terms: Public domain W3C validator