Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfn0 Unicode version

Theorem nmfn0 22681
 Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfn0

Proof of Theorem nmfn0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lnfn 22679 . . . 4
2 lnfnf 22578 . . . 4
31, 2ax-mp 8 . . 3
4 nmfnval 22570 . . 3
53, 4ax-mp 8 . 2
6 c0ex 8922 . . . . . . . . . . . 12
76fvconst2 5813 . . . . . . . . . . 11
87fveq2d 5612 . . . . . . . . . 10
9 abs0 11866 . . . . . . . . . 10
108, 9syl6eq 2406 . . . . . . . . 9
1110eqeq2d 2369 . . . . . . . 8
1211anbi2d 684 . . . . . . 7
1312rexbiia 2652 . . . . . 6
14 ax-hv0cl 21697 . . . . . . . 8
15 0le1 9387 . . . . . . . 8
16 fveq2 5608 . . . . . . . . . . 11
17 norm0 21821 . . . . . . . . . . 11
1816, 17syl6eq 2406 . . . . . . . . . 10
1918breq1d 4114 . . . . . . . . 9
2019rspcev 2960 . . . . . . . 8
2114, 15, 20mp2an 653 . . . . . . 7
22 r19.41v 2769 . . . . . . 7
2321, 22mpbiran 884 . . . . . 6
2413, 23bitri 240 . . . . 5
2524abbii 2470 . . . 4
26 df-sn 3722 . . . 4
2725, 26eqtr4i 2381 . . 3
2827supeq1i 7290 . 2
29 xrltso 10567 . . 3
30 0xr 8968 . . 3
31 supsn 7310 . . 3
3229, 30, 31mp2an 653 . 2
335, 28, 323eqtri 2382 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 358   wceq 1642   wcel 1710  cab 2344  wrex 2620  csn 3716   class class class wbr 4104   wor 4395   cxp 4769  wf 5333  cfv 5337  csup 7283  cc 8825  cc0 8827  c1 8828  cxr 8956   clt 8957   cle 8958  cabs 11815  chil 21613  cno 21617  c0v 21618  cnmf 21645  clf 21648 This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  22744  branmfn  22799 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-hilex 21693  ax-hfvadd 21694  ax-hv0cl 21697  ax-hfvmul 21699  ax-hvmul0 21704  ax-hfi 21772  ax-his3 21777 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-hnorm 21662  df-nmfn 22539  df-lnfn 22542
 Copyright terms: Public domain W3C validator