HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnlb Unicode version

Theorem nmfnlb 22520
Description: A lower bound for a functional norm. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnlb  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  <_ 
( normfn `  T )
)

Proof of Theorem nmfnlb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfnsetre 22473 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
2 ressxr 8892 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
31, 2syl6ss 3204 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR* )
433ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } 
C_  RR* )
5 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  A )
)
65breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  ( normh `  A
)  <_  1 ) )
7 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( T `  y )  =  ( T `  A ) )
87fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( abs `  ( T `  y ) )  =  ( abs `  ( T `  A )
) )
98eqeq2d 2307 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) )  <->  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 A ) ) ) )
106, 9anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( abs `  ( T `
 A ) )  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  ( ( normh `  A )  <_ 
1  /\  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 A ) ) ) ) )
11 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 A ) )
1211biantru 491 . . . . . . 7  |-  ( (
normh `  A )  <_ 
1  <->  ( ( normh `  A )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  A
) ) ) )
1310, 12syl6bbr 254 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( abs `  ( T `
 A ) )  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  ( normh `  A )  <_  1
) )
1413rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) )
15 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( T `  A
) )  e.  _V
16 eqeq1 2302 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  A )
)  ->  ( x  =  ( abs `  ( T `  y )
)  <->  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) )
1716anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  A )
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  ( abs `  ( T `  A
) )  =  ( abs `  ( T `
 y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  A )
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  A )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) ) )
1915, 18elab 2927 . . . . 5  |-  ( ( abs `  ( T `
 A ) )  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( abs `  ( T `
 A ) )  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) )
2014, 19sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) } )
21203adant1 973 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) } )
22 supxrub 10659 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( abs `  ( T `  A )
)  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } )  ->  ( abs `  ( T `  A
) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
234, 21, 22syl2anc 642 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  <_  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
24 nmfnval 22472 . . 3  |-  ( T : ~H --> CC  ->  (
normfn `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
25243ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( normfn `
 T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
2623, 25breqtrrd 4065 1  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  A )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( T `  A ) )  <_ 
( normfn `  T )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   1c1 8754   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   abscabs 11735   ~Hchil 21515   normhcno 21519   normfncnmf 21547
This theorem is referenced by:  nmfnge0  22523  nmbdfnlbi  22645  nmcfnlbi  22648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-hilex 21595
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-nmfn 22441
  Copyright terms: Public domain W3C validator