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Theorem nmfnleub 22505
Description: An upper bound for the norm of a functional. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnleub  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem nmfnleub
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfnval 22456 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  (
normfn `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
21adantr 451 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( normfn `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
32breq1d 4033 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A ) )
4 nmfnsetre 22457 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR )
5 ressxr 8876 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
64, 5syl6ss 3191 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR* )
7 supxrleub 10645 . . . 4  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) }  C_  RR* 
/\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A
) )
86, 7sylan 457 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) } z  <_  A ) )
9 ancom 437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) )  <->  ( y  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) )
10 eqeq1 2289 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( abs `  ( T `  x
) )  <->  z  =  ( abs `  ( T `
 x ) ) ) )
1110anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  <-> 
( z  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 ) ) )
129, 11syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) )  <->  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
1312rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
1413ralab 2926 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. z
( E. x  e. 
~H  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A ) )
15 ralcom4 2806 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A ) )
16 impexp 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  ->  z  <_  A
)  <->  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
1716albii 1553 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
18 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( T `  x
) )  e.  _V
19 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( z  <_  A  <->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2019imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( (
( normh `  x )  <_  1  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
2118, 20ceqsalv 2814 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) )  <->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) )
2217, 21bitri 240 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2322ralbii 2567 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  A ) )
24 r19.23v 2659 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( z  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  ->  z  <_  A
)  <->  ( E. x  e.  ~H  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A ) )
2524albii 1553 . . . . 5  |-  ( A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( abs `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2615, 23, 253bitr3i 266 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
)  <->  A. z ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( abs `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2714, 26bitr4i 243 . . 3  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
288, 27syl6bb 252 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
293, 28bitrd 244 1  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   abscabs 11719   ~Hchil 21499   normhcno 21503   normfncnmf 21531
This theorem is referenced by:  nmfnleub2  22506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-hilex 21579
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-nmfn 22425
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