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Theorem nmfnleub 23430
Description: An upper bound for the norm of a functional. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnleub  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem nmfnleub
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfnval 23381 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  (
normfn `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
21adantr 453 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( normfn `  T )  =  sup ( { y  |  E. x  e. 
~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
32breq1d 4224 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A ) )
4 nmfnsetre 23382 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR )
5 ressxr 9131 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
64, 5syl6ss 3362 . . . 4  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) }  C_  RR* )
7 supxrleub 10907 . . . 4  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) }  C_  RR* 
/\  A  e.  RR* )  ->  ( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A 
<-> 
A. z  e.  {
y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } z  <_  A
) )
86, 7sylan 459 . . 3  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) ) } z  <_  A ) )
9 ancom 439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x )
) )  <->  ( y  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) )
10 eqeq1 2444 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( abs `  ( T `  x
) )  <->  z  =  ( abs `  ( T `
 x ) ) ) )
1110anbi1d 687 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  <-> 
( z  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 ) ) )
129, 11syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) )  <->  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
1312rexbidv 2728 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) )  <->  E. x  e.  ~H  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
) ) )
1413ralab 3097 . . . 4  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. z
( E. x  e. 
~H  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A ) )
15 ralcom4 2976 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A ) )
16 impexp 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  ->  z  <_  A
)  <->  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
1716albii 1576 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) ) )
18 fvex 5744 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( T `  x
) )  e.  _V
19 breq1 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( z  <_  A  <->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2019imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( (
( normh `  x )  <_  1  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
2118, 20ceqsalv 2984 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  z  <_  A ) )  <->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) )
2217, 21bitri 242 . . . . . 6  |-  ( A. z ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2322ralbii 2731 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z
( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  A ) )
24 r19.23v 2824 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( z  =  ( abs `  ( T `
 x ) )  /\  ( normh `  x
)  <_  1 )  ->  z  <_  A
)  <->  ( E. x  e.  ~H  ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A ) )
2524albii 1576 . . . . 5  |-  ( A. z A. x  e.  ~H  ( ( z  =  ( abs `  ( T `  x )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  z  <_  A )  <->  A. z ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( abs `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2615, 23, 253bitr3i 268 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
)  <->  A. z ( E. x  e.  ~H  (
z  =  ( abs `  ( T `  x
) )  /\  ( normh `  x )  <_ 
1 )  ->  z  <_  A ) )
2714, 26bitr4i 245 . . 3  |-  ( A. z  e.  { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x
) ) ) } z  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
288, 27syl6bb 254 . 2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( sup ( { y  |  E. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  /\  y  =  ( abs `  ( T `  x ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
293, 28bitrd 246 1  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   class class class wbr 4214   -->wf 5452   ` cfv 5456   supcsup 7447   CCcc 8990   RRcr 8991   1c1 8993   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   abscabs 12041   ~Hchil 22424   normhcno 22428   normfncnmf 22456
This theorem is referenced by:  nmfnleub2  23431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-hilex 22504
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-nmfn 23350
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