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Theorem nmfnleub2 23429
Description: An upper bound for the norm of a functional. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnleub2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
) )  ->  ( normfn `
 T )  <_  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem nmfnleub2
StepHypRef Expression
1 normcl 22627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
21ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
3 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
4 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  <_ 
1 )
5 1re 9090 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
6 lemul2a 9865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( A  x.  1 ) )
75, 6mp3anl2 1274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( A  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( A  x.  1 ) )
82, 3, 4, 7syl21anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( A  x.  1 ) )
9 ax-1rid 9060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
109ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
1110ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
128, 11breqtrd 4236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_  A )
13 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  CC )
1413abscld 12238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  e.  RR )
1514adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  e.  RR )
16 remulcl 9075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( normh `  x )  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
171, 16sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
1817adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
1918adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
20 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  A  e.  RR )
21 letr 9167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( A  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  /\  ( A  x.  ( normh `  x )
)  <_  A )  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2215, 19, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( abs `  ( T `  x
) )  <_  ( A  x.  ( normh `  x ) )  /\  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_  A )  -> 
( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2322adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  /\  ( A  x.  ( normh `  x )
)  <_  A )  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2412, 23mpan2d 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) )
2524ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  ( ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) ) )
2625com23 74 . . . . 5  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) ) )
2726ralimdva 2784 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  ->  ( A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  A ) ) )
2827imp 419 . . 3  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) ) )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
29 rexr 9130 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
3029adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR* )
31 nmfnleub 23428 . . . . 5  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
3230, 31sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  ->  ( ( normfn `
 T )  <_  A 
<-> 
A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  A ) ) )
3332biimpar 472 . . 3  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  A. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) )  ->  ( normfn `
 T )  <_  A )
3428, 33syldan 457 . 2  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) ) )  ->  ( normfn `  T )  <_  A
)
35343impa 1148 1  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
) )  ->  ( normfn `
 T )  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   class class class wbr 4212   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995   RR*cxr 9119    <_ cle 9121   abscabs 12039   ~Hchil 22422   normhcno 22426   normfncnmf 22454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-hilex 22502  ax-hv0cl 22506  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his1 22584  ax-his3 22586  ax-his4 22587
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-hnorm 22471  df-nmfn 23348
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