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Theorem nmfnleub2 12477
Description: An upper bound for the norm of a functional.
Assertion
Ref Expression
nmfnleub2 |- ((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. ~H (abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> (normfn` T) <_ A)
Distinct variable groups:   x,A   x,T
Proof of Theorem nmfnleub2
StepHypRef Expression
1 normcl 11619 . . . . . . . . . . 11 |- (x e. ~H -> (normh` x) e. RR)
21ad2antlr 859 . . . . . . . . . 10 |- ((((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` x) e. RR)
3 simpllr 872 . . . . . . . . . 10 |- ((((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A e. RR /\ 0 <_ A))
4 simpr 538 . . . . . . . . . 10 |- ((((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> (normh` x) <_ 1)
5 1re 6941 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
6 lemul2a 7454 . . . . . . . . . . 11 |- ((((normh` x) e. RR /\ 1 e. RR /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. (normh` x)) <_ (A x. 1))
75, 6mp3anl2 1489 . . . . . . . . . 10 |- ((((normh` x) e. RR /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. (normh` x)) <_ (A x. 1))
82, 3, 4, 7syl21anc 1376 . . . . . . . . 9 |- ((((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. (normh` x)) <_ (A x. 1))
9 ax-1rid 6899 . . . . . . . . . . 11 |- (A e. RR -> (A x. 1) = A)
109ad2antrl 861 . . . . . . . . . 10 |- ((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A x. 1) = A)
1110ad2antrr 856 . . . . . . . . 9 |- ((((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. 1) = A)
128, 11breqtrd 3563 . . . . . . . 8 |- ((((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. (normh` x)) <_ A)
13 ffvelrn 4916 . . . . . . . . . . . 12 |- ((T:~H-->CC /\ x e. ~H) -> (T` x) e. CC)
14 abscl 8584 . . . . . . . . . . . 12 |- ((T` x) e. CC -> (abs` (T` x)) e. RR)
1513, 14syl 13 . . . . . . . . . . 11 |- ((T:~H-->CC /\ x e. ~H) -> (abs` (T` x)) e. RR)
1615adantlr 834 . . . . . . . . . 10 |- (((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. ~H) -> (abs` (T` x)) e. RR)
17 remulcl 6913 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ (normh` x) e. RR) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
181, 17sylan2 696 . . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ x e. ~H) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
1918adantlr 834 . . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ x e. ~H) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
2019adantll 832 . . . . . . . . . 10 |- (((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. ~H) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
21 simplrl 873 . . . . . . . . . 10 |- (((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. ~H) -> A e. RR)
22 letr 6986 . . . . . . . . . 10 |- (((abs` (T` x)) e. RR /\ (A x. (normh` x)) e. RR /\ A e. RR) -> (((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) /\ (A x. (normh` x)) <_ A) -> (abs` (T` x)) <_ A))
2316, 20, 21, 22syl111anc 1377 . . . . . . . . 9 |- (((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. ~H) -> (((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) /\ (A x. (normh` x)) <_ A) -> (abs` (T` x)) <_ A))
2423adantr 543 . . . . . . . 8 |- ((((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> (((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) /\ (A x. (normh` x)) <_ A) -> (abs` (T` x)) <_ A))
2512, 24mpan2d 779 . . . . . . 7 |- ((((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. ~H) /\ (normh` x) <_ 1) -> ((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> (abs` (T` x)) <_ A))
2625ex 494 . . . . . 6 |- (((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. ~H) -> ((normh` x) <_ 1 -> ((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> (abs` (T` x)) <_ A)))
2726com23 68 . . . . 5 |- (((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. ~H) -> ((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A)))
2827ralimdva 2451 . . . 4 |- ((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A.x e. ~H (abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A)))
2928imp 489 . . 3 |- (((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ A.x e. ~H (abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A))
30 rexr 6960 . . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. RR*)
3130adantr 543 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. RR*)
32 nmfnleub 12476 . . . . 5 |- ((T:~H-->CC /\ A e. RR* /\ A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A)) -> (normfn` T) <_ A)
3331, 32syl3an2 1411 . . . 4 |- ((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A)) -> (normfn` T) <_ A)
34333expa 1345 . . 3 |- (((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ A.x e. ~H ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A)) -> (normfn` T) <_ A)
3529, 34syldan 691 . 2 |- (((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ A.x e. ~H (abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> (normfn` T) <_ A)
36353impa 1340 1 |- ((T:~H-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. ~H (abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> (normfn` T) <_ A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 433   /\ w3a 1130   = wceq 1615   e. wcel 1617  A.wral 2385   class class class wbr 3539  -->wf 4159  ` cfv 4163  (class class class)co 5020  CCcc 6827  RRcr 6828  0cc0 6829  1c1 6830   x. cmul 6834   <_ cle 6943  RR*cxr 6946  abscabs 8500  ~Hchil 11416  normhcno 11422  normfncnmf 11448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-13 1628  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-rep 3628  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719  ax-un 3961  ax-cnex 6885  ax-resscn 6886  ax-1cn 6887  ax-icn 6888  ax-addcl 6889  ax-addrcl 6890  ax-mulcl 6891  ax-mulrcl 6892  ax-mulcom 6893  ax-addass 6894  ax-mulass 6895  ax-distr 6896  ax-i2m1 6897  ax-1ne0 6898  ax-1rid 6899  ax-rnegex 6900  ax-rrecex 6901  ax-cnre 6902  ax-pre-lttri 6903  ax-pre-lttrn 6904  ax-pre-ltadd 6905  ax-pre-mulgt0 6906  ax-pre-sup 6907  ax-mulopr 6909  ax-hilex 11497  ax-hv0cl 11501  ax-hvmul0 11508  ax-hfi 11574  ax-his1 11577  ax-his3 11579  ax-his4 11580
This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-3or 1131  df-3an 1132  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-nel 2298  df-ral 2389  df-rex 2390  df-reu 2391  df-rab 2392  df-v 2571  df-sbc 2731  df-csb 2806  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-pss 2870  df-nul 3115  df-if 3213  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-tp 3277  df-op 3278  df-uni 3399  df-int 3433  df-iun 3470  df-br 3540  df-opab 3598  df-tr 3612  df-eprel 3776  df-id 3779  df-po 3784  df-so 3796  df-fr 3814  df-we 3830  df-ord 3846  df-on 3847  df-lim 3848  df-suc 3849  df-om 4118  df-xp 4165  df-rel 4166  df-cnv 4167  df-co 4168  df-dm 4169  df-rn 4170  df-res 4171  df-ima 4172  df-fun 4173  df-fn 4174  df-f 4175  df-f1 4176  df-fo 4177  df-f1o 4178  df-fv 4179  df-opr 5022  df-oprab 5023  df-mpt 5138  df-1st 5166  df-2nd 5167  df-iota 5259  df-rdg 5344  df-er 5519  df-map 5587  df-en 5631  df-dom 5632  df-sdom 5633  df-undef 5769  df-riota 5773  df-sup 5932  df-pnf 6948  df-mnf 6949  df-xr 6950  df-ltxr 6951  df-le 6952  df-sub 7111  df-neg 7113  df-div 7325  df-n 7543  df-2 7589  df-n0 7761  df-z 7798  df-seq1 8210  df-exp 8312  df-sqr 8420  df-re 8501  df-im 8502  df-cj 8503  df-abs 8504  df-hnorm 11465  df-nmfn 12398
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