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Theorem nmfnleub2 22561
Description: An upper bound for the norm of a functional. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnleub2  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
) )  ->  ( normfn `
 T )  <_  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem nmfnleub2
StepHypRef Expression
1 normcl 21759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
21ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  e.  RR )
3 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
4 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( normh `  x )  <_ 
1 )
5 1re 8882 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
6 lemul2a 9656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( A  x.  1 ) )
75, 6mp3anl2 1272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( normh `  x
)  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  /\  ( normh `  x )  <_  1
)  ->  ( A  x.  ( normh `  x )
)  <_  ( A  x.  1 ) )
82, 3, 4, 7syl21anc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_ 
( A  x.  1 ) )
9 ax-1rid 8852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
109ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
1110ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
128, 11breqtrd 4084 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_  A )
13 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  x
)  e.  CC )
1413abscld 11965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  e.  RR )
1514adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  e.  RR )
16 remulcl 8867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( normh `  x )  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
171, 16sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
1817adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A  x.  ( normh `  x )
)  e.  RR )
1918adantll 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( A  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR )
20 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  A  e.  RR )
21 letr 8959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  ( T `  x )
)  e.  RR  /\  ( A  x.  ( normh `  x ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  /\  ( A  x.  ( normh `  x )
)  <_  A )  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2215, 19, 20, 21syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( abs `  ( T `  x
) )  <_  ( A  x.  ( normh `  x ) )  /\  ( A  x.  ( normh `  x ) )  <_  A )  -> 
( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2322adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  /\  ( A  x.  ( normh `  x )
)  <_  A )  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
2412, 23mpan2d 655 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( T : ~H
--> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  /\  ( normh `  x )  <_  1 )  ->  (
( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) )
2524ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  ( ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) ) )
2625com23 72 . . . . 5  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( abs `  ( T `  x )
)  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
)  ->  ( ( normh `  x )  <_ 
1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) ) )
2726ralimdva 2655 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  ->  ( A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  A ) ) )
2827imp 418 . . 3  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) ) )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
)
29 rexr 8922 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
3029adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR* )
31 nmfnleub 22560 . . . . 5  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  A  e.  RR* )  -> 
( ( normfn `  T
)  <_  A  <->  A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x )
)  <_  A )
) )
3230, 31sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  ->  ( ( normfn `
 T )  <_  A 
<-> 
A. x  e.  ~H  ( ( normh `  x
)  <_  1  ->  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  A ) ) )
3332biimpar 471 . . 3  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  A. x  e.  ~H  (
( normh `  x )  <_  1  ->  ( abs `  ( T `  x
) )  <_  A
) )  ->  ( normfn `
 T )  <_  A )
3428, 33syldan 456 . 2  |-  ( ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( normh `  x ) ) )  ->  ( normfn `  T )  <_  A
)
35343impa 1146 1  |-  ( ( T : ~H --> CC  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  A. x  e.  ~H  ( abs `  ( T `
 x ) )  <_  ( A  x.  ( normh `  x )
) )  ->  ( normfn `
 T )  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   class class class wbr 4060   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    x. cmul 8787   RR*cxr 8911    <_ cle 8913   abscabs 11766   ~Hchil 21554   normhcno 21558   normfncnmf 21586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-hilex 21634  ax-hv0cl 21638  ax-hvmul0 21645  ax-hfi 21713  ax-his1 21716  ax-his3 21718  ax-his4 21719
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-hnorm 21603  df-nmfn 22480
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