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Theorem nmfnleub2t 9845
Description: An upper bound for the norm of a functional.
Assertion
Ref Expression
nmfnleub2t |- ((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. H~ (abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> (normfn` T) <_ A)
Distinct variable groups:   x,A   x,T
Proof of Theorem nmfnleub2t
StepHypRef Expression
1 1re 5447 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
2 lemul2itOLD 5842 . . . . . . . . . . 11 |- ((((normh` x) e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR) /\ (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1)) -> (A x. (normh` x)) <_ (A x. 1))
31, 2mp3anl2 913 . . . . . . . . . 10 |- ((((normh` x) e. RR /\ A e. RR) /\ (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1)) -> (A x. (normh` x)) <_ (A x. 1))
4 normclt 8986 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. H~ -> (normh` x) e. RR)
54anim1i 334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. H~ /\ A e. RR) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
65ancoms 438 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ x e. H~) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
76adantlr 395 . . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ x e. H~) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
87adantll 394 . . . . . . . . . . 11 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
98adantr 391 . . . . . . . . . 10 |- ((((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> ((normh` x) e. RR /\ A e. RR))
10 id 59 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
1110adantll 394 . . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
1211adantll 394 . . . . . . . . . . 11 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
1312adantlr 395 . . . . . . . . . 10 |- ((((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (0 <_ A /\ (normh` x) <_ 1))
143, 9, 13sylanc 473 . . . . . . . . 9 |- ((((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. (normh` x)) <_ (A x. 1))
15 recnt 5325 . . . . . . . . . . . 12 |- (A e. RR -> A e. CC)
16 ax1id 5294 . . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
1715, 16syl 10 . . . . . . . . . . 11 |- (A e. RR -> (A x. 1) = A)
1817ad2antrl 408 . . . . . . . . . 10 |- ((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A x. 1) = A)
1918ad2antrr 406 . . . . . . . . 9 |- ((((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. 1) = A)
2014, 19breqtrd 2644 . . . . . . . 8 |- ((((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (A x. (normh` x)) <_ A)
21 letrt 5537 . . . . . . . . . 10 |- (((abs` (T` x)) e. RR /\ (A x. (normh` x)) e. RR /\ A e. RR) -> (((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) /\ (A x. (normh` x)) <_ A) -> (abs` (T` x)) <_ A))
22 ffvelrn 3820 . . . . . . . . . . . 12 |- ((T:H~-->CC /\ x e. H~) -> (T` x) e. CC)
23 absclt 6833 . . . . . . . . . . . 12 |- ((T` x) e. CC -> (abs` (T` x)) e. RR)
2422, 23syl 10 . . . . . . . . . . 11 |- ((T:H~-->CC /\ x e. H~) -> (abs` (T` x)) e. RR)
2524adantlr 395 . . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> (abs` (T` x)) e. RR)
26 axmulrcl 5286 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ (normh` x) e. RR) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
2726, 4sylan2 453 . . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ x e. H~) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
2827adantlr 395 . . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A) /\ x e. H~) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
2928adantll 394 . . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> (A x. (normh` x)) e. RR)
30 pm3.26 319 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. RR)
3130ad2antlr 407 . . . . . . . . . 10 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> A e. RR)
3221, 25, 29, 31syl3anc 860 . . . . . . . . 9 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> (((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) /\ (A x. (normh` x)) <_ A) -> (abs` (T` x)) <_ A))
3332adantr 391 . . . . . . . 8 |- ((((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> (((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) /\ (A x. (normh` x)) <_ A) -> (abs` (T` x)) <_ A))
3420, 33mpan2d 704 . . . . . . 7 |- ((((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) /\ (normh` x) <_ 1) -> ((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> (abs` (T` x)) <_ A))
3534ex 373 . . . . . 6 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> ((normh` x) <_ 1 -> ((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> (abs` (T` x)) <_ A)))
3635com23 32 . . . . 5 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ x e. H~) -> ((abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A)))
3736r19.20dva 1712 . . . 4 |- ((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A.x e. H~ (abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x)) -> A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A)))
3837imp 350 . . 3 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ A.x e. H~ (abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A))
39 nmfnleubt 9844 . . . . 5 |- ((T:H~-->CC /\ A e. RR* /\ A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A)) -> (normfn` T) <_ A)
40 rexrt 5511 . . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. RR*)
4140adantr 391 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. RR*)
4239, 41syl3an2 862 . . . 4 |- ((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A)) -> (normfn` T) <_ A)
43423expa 835 . . 3 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ A.x e. H~ ((normh` x) <_ 1 -> (abs` (T` x)) <_ A)) -> (normfn` T) <_ A)
4438, 43syldan 469 . 2 |- (((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ A.x e. H~ (abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> (normfn` T) <_ A)
45443impa 830 1 |- ((T:H~-->CC /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. H~ (abs` (T` x)) <_ (A x. (normh` x))) -> (normfn` T) <_ A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648   class class class wbr 2624  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   x. cmul 5251   <_ cle 5307  RR*cxr 5497  abscabs 6751  H~chil 8783  normhcno 8789  normfncnmf 8815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hv0cl 8868  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his3 8946  ax-his4 8947
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so