HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnrepnf Structured version   Unicode version

Theorem nmfnrepnf 23385
Description: The norm of a Hilbert space functional is either real or plus infinity. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnrepnf  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( normfn `  T )  e.  RR  <->  ( normfn `  T
)  =/=  +oo )
)

Proof of Theorem nmfnrepnf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfnsetre 23382 . . 3  |-  ( T : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }  C_  RR )
2 nmfnsetn0 23383 . . . 4  |-  ( abs `  ( T `  0h ) )  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }
3 ne0i 3636 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( T `
 0h ) )  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) }  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) }  =/=  (/) )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) }  =/=  (/)
5 supxrre2 10912 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) }  C_  RR  /\  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) }  =/=  (/) )  ->  ( sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =/=  +oo ) )
61, 4, 5sylancl 645 . 2  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR  <->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =/=  +oo ) )
7 nmfnval 23381 . . 3  |-  ( T : ~H --> CC  ->  (
normfn `  T )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
87eleq1d 2504 . 2  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( normfn `  T )  e.  RR  <->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR ) )
97neeq1d 2616 . 2  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( normfn `  T )  =/=  +oo  <->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =/=  +oo ) )
106, 8, 93bitr4d 278 1  |-  ( T : ~H --> CC  ->  ( ( normfn `  T )  e.  RR  <->  ( normfn `  T
)  =/=  +oo )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424    =/= wne 2601   E.wrex 2708    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214   -->wf 5452   ` cfv 5456   supcsup 7447   CCcc 8990   RRcr 8991   1c1 8993    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   abscabs 12041   ~Hchil 22424   normhcno 22428   0hc0v 22429   normfncnmf 22456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-hilex 22504  ax-hv0cl 22508  ax-hvmul0 22515  ax-hfi 22583  ax-his3 22588
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-hnorm 22473  df-nmfn 23350
  Copyright terms: Public domain W3C validator