HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnsetn0 Structured version   Unicode version

Theorem nmfnsetn0 23373
Description: The set in the supremum of the functional norm definition df-nmfn 23340 is nonempty. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnsetn0  |-  ( abs `  ( T `  0h ) )  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem nmfnsetn0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 22498 . . 3  |-  0h  e.  ~H
2 norm0 22622 . . . . 5  |-  ( normh `  0h )  =  0
3 0le1 9543 . . . . 5  |-  0  <_  1
42, 3eqbrtri 4223 . . . 4  |-  ( normh `  0h )  <_  1
5 eqid 2435 . . . 4  |-  ( abs `  ( T `  0h ) )  =  ( abs `  ( T `
 0h ) )
64, 5pm3.2i 442 . . 3  |-  ( (
normh `  0h )  <_ 
1  /\  ( abs `  ( T `  0h ) )  =  ( abs `  ( T `
 0h ) ) )
7 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( y  =  0h  ->  ( normh `  y )  =  ( normh `  0h )
)
87breq1d 4214 . . . . 5  |-  ( y  =  0h  ->  (
( normh `  y )  <_  1  <->  ( normh `  0h )  <_  1 ) )
9 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0h  ->  ( T `  y )  =  ( T `  0h ) )
109fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( y  =  0h  ->  ( abs `  ( T `  y ) )  =  ( abs `  ( T `  0h )
) )
1110eqeq2d 2446 . . . . 5  |-  ( y  =  0h  ->  (
( abs `  ( T `  0h )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) )  <->  ( abs `  ( T `  0h ) )  =  ( abs `  ( T `
 0h ) ) ) )
128, 11anbi12d 692 . . . 4  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( abs `  ( T `
 0h ) )  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  ( ( normh `  0h )  <_ 
1  /\  ( abs `  ( T `  0h ) )  =  ( abs `  ( T `
 0h ) ) ) ) )
1312rspcev 3044 . . 3  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  ( ( normh `  0h )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  0h ) )  =  ( abs `  ( T `
 0h ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  0h )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) )
141, 6, 13mp2an 654 . 2  |-  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  0h )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) )
15 fvex 5734 . . 3  |-  ( abs `  ( T `  0h ) )  e.  _V
16 eqeq1 2441 . . . . 5  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  0h )
)  ->  ( x  =  ( abs `  ( T `  y )
)  <->  ( abs `  ( T `  0h )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) )
1716anbi2d 685 . . . 4  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  0h )
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  ( abs `  ( T `  0h ) )  =  ( abs `  ( T `
 y ) ) ) ) )
1817rexbidv 2718 . . 3  |-  ( x  =  ( abs `  ( T `  0h )
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( abs `  ( T `  0h )
)  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) ) )
1915, 18elab 3074 . 2  |-  ( ( abs `  ( T `
 0h ) )  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( abs `  ( T `
 0h ) )  =  ( abs `  ( T `  y )
) ) )
2014, 19mpbir 201 1  |-  ( abs `  ( T `  0h ) )  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( T `  y ) ) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   0cc0 8982   1c1 8983    <_ cle 9113   abscabs 12031   ~Hchil 22414   normhcno 22418   0hc0v 22419
This theorem is referenced by:  nmfnrepnf  23375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-hv0cl 22498  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his3 22578
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-hnorm 22463
  Copyright terms: Public domain W3C validator