Theorem nmfnvalt 9798

Description: Value of the norm of a Hilbert space functional.

Assertion

Ref	Expression
nmfnvalt	|- (T:H~-->CC -> (normfn` T) = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))

Distinct variable group:   x,y,T

Proof of Theorem nmfnvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 5566	. . 3 |- < Or RR*
2	1	supex 4586	. 2 |- sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ) e. V
3		ax-hilex 8864	. 2 |- H~ e. V
4		axcnex 5279	. 2 |- CC e. V
5		fveq1 3729	. . . . . . . 8 |- (t = T -> (t` y) = (T` y))
6	5	fveq2d 3734	. . . . . . 7 |- (t = T -> (abs` (t` y)) = (abs` (T` y)))
7	6	eqeq2d 1489	. . . . . 6 |- (t = T -> (x = (abs` (t` y)) <-> x = (abs` (T` y))))
8	7	anbi2d 618	. . . . 5 |- (t = T -> (((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y))) <-> ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))))
9	8	rexbidv 1667	. . . 4 |- (t = T -> (E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y))) <-> E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))))
10	9	abbidv 1580	. . 3 |- (t = T -> {x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))} = {x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))})
11		supeq1 4584	. . 3 |- ({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))} = {x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))} -> sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))}, RR*, < ) = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))
12	10, 11	syl 10	. 2 |- (t = T -> sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))}, RR*, < ) = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))
13		df-nmfn 9766	. 2 |- normfn = {<.t, z>. | (t:H~-->CC /\ z = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (t` y)))}, RR*, < ))}
14	2, 3, 4, 12, 13	fvopabf4 4346	1 |- (T:H~-->CC -> (normfn` T) = sup({x | E.y e. H~ ((normh` y) <_ 1 /\ x = (abs` (T` y)))}, RR*, < ))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958  {cab 1466  E.wrex 1649   class class class wbr 2624  -->wf 3184  ` cfv 3188  supcsup 4582  CCcc 5244  1c1 5247   <_ cle 5307  RR*cxr 5497   < clt 5498  abscabs 6751  H~chil 8783  normhcno 8789  norm_fncnmf 8815

This theorem is referenced by:  nmfnxrt 9801  nmfnrepnf 9802  nmfnlbt 9843  nmfnleubt 9844  nmfn0 9906  nmcfnexlem1 9975  branmfnt 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-enr 5178  df-nr 5179  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-lt 5259  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-nmfn 9766

Copyright terms: Public domain