Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmfval Unicode version

Theorem nmfval 18111
 Description: The value of the norm function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmfval.n
nmfval.x
nmfval.z
nmfval.d
Assertion
Ref Expression
nmfval
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem nmfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfval.n . 2
2 fveq2 5525 . . . . . 6
3 nmfval.x . . . . . 6
42, 3syl6eqr 2333 . . . . 5
5 fveq2 5525 . . . . . . 7
6 nmfval.d . . . . . . 7
75, 6syl6eqr 2333 . . . . . 6
8 eqidd 2284 . . . . . 6
9 fveq2 5525 . . . . . . 7
10 nmfval.z . . . . . . 7
119, 10syl6eqr 2333 . . . . . 6
127, 8, 11oveq123d 5879 . . . . 5
134, 12mpteq12dv 4098 . . . 4
14 df-nm 18105 . . . 4
15 eqid 2283 . . . . . 6
16 df-ov 5861 . . . . . . . 8
17 fvrn0 5550 . . . . . . . 8
1816, 17eqeltri 2353 . . . . . . 7
1918a1i 10 . . . . . 6
2015, 19fmpti 5683 . . . . 5
21 fvex 5539 . . . . . 6
223, 21eqeltri 2353 . . . . 5
23 fvex 5539 . . . . . . . 8
246, 23eqeltri 2353 . . . . . . 7
2524rnex 4942 . . . . . 6
26 p0ex 4197 . . . . . 6
2725, 26unex 4518 . . . . 5
28 fex2 5401 . . . . 5
2920, 22, 27, 28mp3an 1277 . . . 4
3013, 14, 29fvmpt 5602 . . 3
31 fvprc 5519 . . . . 5
32 mpt0 5371 . . . . 5
3331, 32syl6eqr 2333 . . . 4
34 fvprc 5519 . . . . . 6
353, 34syl5eq 2327 . . . . 5
36 mpteq1 4100 . . . . 5
3735, 36syl 15 . . . 4
3833, 37eqtr4d 2318 . . 3
3930, 38pm2.61i 156 . 2
401, 39eqtri 2303 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   cun 3150  c0 3455  csn 3640  cop 3643   cmpt 4077   crn 4690  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cbs 13148  cds 13217  c0g 13400  cnm 18099 This theorem is referenced by:  nmval  18112  nmfval2  18113  nmpropd  18116  subgnm  18149  tngnm  18167  cnfldnm  18288  nmcn  18349 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-nm 18105
 Copyright terms: Public domain W3C validator