Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmfval Structured version   Unicode version

Theorem nmfval 18629
 Description: The value of the norm function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmfval.n
nmfval.x
nmfval.z
nmfval.d
Assertion
Ref Expression
nmfval
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem nmfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfval.n . 2
2 fveq2 5721 . . . . . 6
3 nmfval.x . . . . . 6
42, 3syl6eqr 2486 . . . . 5
5 fveq2 5721 . . . . . . 7
6 nmfval.d . . . . . . 7
75, 6syl6eqr 2486 . . . . . 6
8 eqidd 2437 . . . . . 6
9 fveq2 5721 . . . . . . 7
10 nmfval.z . . . . . . 7
119, 10syl6eqr 2486 . . . . . 6
127, 8, 11oveq123d 6095 . . . . 5
134, 12mpteq12dv 4280 . . . 4
14 df-nm 18623 . . . 4
15 eqid 2436 . . . . . 6
16 df-ov 6077 . . . . . . . 8
17 fvrn0 5746 . . . . . . . 8
1816, 17eqeltri 2506 . . . . . . 7
1918a1i 11 . . . . . 6
2015, 19fmpti 5885 . . . . 5
21 fvex 5735 . . . . . 6
223, 21eqeltri 2506 . . . . 5
23 fvex 5735 . . . . . . . 8
246, 23eqeltri 2506 . . . . . . 7
2524rnex 5126 . . . . . 6
26 p0ex 4379 . . . . . 6
2725, 26unex 4700 . . . . 5
28 fex2 5596 . . . . 5
2920, 22, 27, 28mp3an 1279 . . . 4
3013, 14, 29fvmpt 5799 . . 3
31 fvprc 5715 . . . . 5
32 mpt0 5565 . . . . 5
3331, 32syl6eqr 2486 . . . 4
34 fvprc 5715 . . . . . 6
353, 34syl5eq 2480 . . . . 5
3635mpteq1d 4283 . . . 4
3733, 36eqtr4d 2471 . . 3
3830, 37pm2.61i 158 . 2
391, 38eqtri 2456 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2949   cun 3311  c0 3621  csn 3807  cop 3810   cmpt 4259   crn 4872  wf 5443  cfv 5447  (class class class)co 6074  cbs 13462  cds 13531  c0g 13716  cnm 18617 This theorem is referenced by:  nmval  18630  nmfval2  18631  nmpropd  18634  subgnm  18667  tngnm  18685  cnfldnm  18806  nmcn  18868  ressnm  24177 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-fv 5455  df-ov 6077  df-nm 18623
 Copyright terms: Public domain W3C validator