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Theorem nmhmcn 19130
Description: A linear operator over a normed complex module is bounded iff it is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmhmcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
nmhmcn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
nmhmcn.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmhmcn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
nmhmcn  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )

Proof of Theorem nmhmcn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3563 . . . . 5  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ NrmMod
21sseli 3346 . . . 4  |-  ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  ->  S  e. NrmMod )
31sseli 3346 . . . 4  |-  ( T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  ->  T  e. NrmMod )
4 isnmhm 18782 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S NMHom  T
)  <->  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod )  /\  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
54baib 873 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <-> 
( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
62, 3, 5syl2an 465 . . 3  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod ) )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
763adant3 978 . 2  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
8 nmhmcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
9 nmhmcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
108, 9nghmcn 18781 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
11 simpll1 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
121, 11sseldi 3348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e. NrmMod )
13 nlmngp 18715 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
14 ngpms 18649 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  MetSp )
1512, 13, 143syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e.  MetSp )
16 msxms 18486 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  MetSp  ->  S  e.  *
MetSp )
17 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
18 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  =  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) )
1917, 18xmsxmet 18488 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
2015, 16, 193syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
21 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
22 simpll2 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
231, 22sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e. NrmMod )
24 nlmngp 18715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
25 ngpms 18649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  MetSp )
2623, 24, 253syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e.  MetSp )
27 msxms 18486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  MetSp  ->  T  e.  *
MetSp )
28 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
29 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  =  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) )
3028, 29xmsxmet 18488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T
) ) )
3126, 27, 303syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T
) ) )
32 nlmlmod 18716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e.  LMod )
33 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
3428, 33lmod0vcl 15981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  LMod  ->  ( 0g
`  T )  e.  ( Base `  T
) )
3523, 32, 343syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
) )
36 1rp 10618 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
37 rpxr 10621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
3836, 37mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  1  e.  RR* )
39 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) )
4039blopn 18532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
)  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( 0g `  T ) (
ball `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
4131, 35, 38, 40syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
429, 28, 29mstopn 18484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
4323, 24, 25, 424syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  =  ( MetOpen `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
4441, 43eleqtrrd 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  K )
45 cnima 17331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  K )  -> 
( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  J )
4621, 44, 45syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  J )
478, 17, 18mstopn 18484 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
4812, 13, 14, 474syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  =  ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
4946, 48eleqtrd 2514 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
50 nlmlmod 18716 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e.  LMod )
51 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
5217, 51lmod0vcl 15981 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  LMod  ->  ( 0g
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
5312, 50, 523syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )
54 lmghm 16109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
5554ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
5651, 33ghmid 15014 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) )
5836a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  1  e.  RR+ )
59 blcntr 18445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
)  /\  1  e.  RR+ )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( ( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )
6031, 35, 58, 59syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )
6157, 60eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )
6217, 28lmhmf 16112 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
6362ad2antlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
64 ffn 5593 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
65 elpreima 5852 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  ( Base `  S
)  ->  ( ( 0g `  S )  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  ( ( 0g
`  S )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  ( 0g `  S
) )  e.  ( ( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
6663, 64, 653syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( 0g `  S
)  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <-> 
( ( 0g `  S )  e.  (
Base `  S )  /\  ( F `  ( 0g `  S ) )  e.  ( ( 0g
`  T ) (
ball `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
6753, 61, 66mpbir2and 890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  S )  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )
68 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) )
6968mopni2 18525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S ) )  /\  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  /\  ( 0g
`  S )  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( ( 0g
`  S ) (
ball `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )
7020, 49, 67, 69syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  E. x  e.  RR+  ( ( 0g
`  S ) (
ball `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )
71 simpl1 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
721, 71sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  S  e. NrmMod )
7372, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
7473adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e. NrmGrp )
7574ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  S  e. NrmGrp )
76 ngpgrp 18648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  Grp )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  S  e.  Grp )
78 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  y  e.  ( Base `  S
) )
79 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
80 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dist `  S )  =  (
dist `  S )
8179, 17, 51, 80, 18nmval2 18641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  y )  =  ( y ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) ( 0g `  S ) ) )
8277, 78, 81syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  y )  =  ( y ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) ( 0g `  S ) ) )
8320ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
8453ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )
85 xmetsym 18379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S ) )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) ( 0g `  S ) )  =  ( ( 0g `  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y ) )
8683, 78, 84, 85syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) ( 0g `  S ) )  =  ( ( 0g `  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y ) )
8782, 86eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  y )  =  ( ( 0g `  S
) ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y ) )
8887breq1d 4224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  S
) `  y )  <  x  <->  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x ) )
8988biimpd 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  S
) `  y )  <  x  ->  ( ( 0g `  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x ) )
9063ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
91 elpreima 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  ( Base `  S
)  ->  ( y  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  ( y  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  y )  e.  ( ( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
9290, 64, 913syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <-> 
( y  e.  (
Base `  S )  /\  ( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
9331ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T
) ) )
9435ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
) )
9536, 37mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  1  e.  RR* )
96 elbl 18420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
)  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( F `  y )  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  <-> 
( ( F `  y )  e.  (
Base `  T )  /\  ( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  1
) ) )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  <->  ( ( F `  y )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( ( 0g `  T ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  <  1 ) ) )
98 simpl2 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
991, 98sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  T  e. NrmMod )
10099, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  T  e. NrmGrp )
101100adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e. NrmGrp )
102101ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  T  e. NrmGrp )
103 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
104103adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
105104, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
106105ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )
107 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
10828, 107nmcl 18664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  e.  RR )
109102, 106, 108syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  e.  RR )
110 1re 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
111 ltle 9165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <  1  ->  ( ( norm `  T ) `  ( F `  y ) )  <_  1 ) )
112109, 110, 111sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <  1  ->  ( ( norm `  T ) `  ( F `  y ) )  <_  1 ) )
113 ngpgrp 18648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  Grp )
114102, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  T  e.  Grp )
115 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
116107, 28, 33, 115, 29nmval2 18641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e.  Grp  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  =  ( ( F `  y
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( 0g `  T ) ) )
117114, 106, 116syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  =  ( ( F `  y
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( 0g `  T ) ) )
118 xmetsym 18379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( 0g `  T )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( F `  y )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( 0g `  T ) )  =  ( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) ) )
11993, 106, 94, 118syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  y
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( 0g `  T ) )  =  ( ( 0g `  T ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) ) )
120117, 119eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  =  ( ( 0g `  T
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( F `  y ) ) )
121120breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <  1  <->  ( ( 0g
`  T ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  <  1 ) )
122110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  1  e.  RR )
123 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  x  e.  RR+ )
124109, 122, 123lediv1d 10692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <_ 
1  <->  ( ( (
norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
125112, 121, 1243imtr3d 260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  1  ->  ( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) )
126125adantld 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( F `  y )  e.  (
Base `  T )  /\  ( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  1
)  ->  ( (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
12797, 126sylbid 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  -> 
( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) )
128127adantld 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  S )  /\  ( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  ( ( (
norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
12992, 128sylbid 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  ( ( (
norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
13089, 129imim12d 71 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x  ->  y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )  ->  ( (
( norm `  S ) `  y )  <  x  ->  ( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) ) )
131130ralimdva 2786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( ( 0g `  S
) ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  x  -> 
y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )  ->  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( (
norm `  S ) `  y )  <  x  ->  ( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) ) )
13220adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
13353adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0g
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
134 rpxr 10621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
135134adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e. 
RR* )
136 blval 18418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S ) )  /\  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
)  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( 0g `  S ) (
ball `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  =  { y  e.  (
Base `  S )  |  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x } )
137132, 133, 135, 136syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 0g `  S ) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  =  { y  e.  (
Base `  S )  |  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x } )
138137sseq1d 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  { y  e.  (
Base `  S )  |  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x }  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
139 rabss 3422 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  ( Base `  S )  |  ( ( 0g `  S
) ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  x }  C_  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x  ->  y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
140138, 139syl6bb 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( ( 0g `  S ) ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  <  x  ->  y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) ) )
141 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( S
normOp T )  =  ( S normOp T )
142 nmhmcn.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (Scalar `  S )
143 nmhmcn.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
14411adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
14522adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
146 rpreccl 10637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
147146adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
148147rpxrd 10651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e. 
RR* )
149 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
150 simpl3 963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  QQ  C_  B
)
151150ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  QQ  C_  B )
152141, 17, 79, 107, 142, 143, 144, 145, 104, 148, 149, 151nmoleub2b 19128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  <_ 
( 1  /  x
)  <->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( ( norm `  S ) `  y
)  <  x  ->  ( ( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  /  x )  <_  (
1  /  x ) ) ) )
153131, 140, 1523imtr4d 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  ( ( S
normOp T ) `  F
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
15474, 101, 553jca 1135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) ) )
155146rpred 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
156141bddnghm 18762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( ( 1  /  x )  e.  RR  /\  ( ( S normOp T ) `  F )  <_  (
1  /  x ) ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
157156expr 600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( 1  /  x )  e.  RR )  ->  ( ( ( S normOp T ) `  F )  <_  (
1  /  x )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
158154, 155, 157syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  <_ 
( 1  /  x
)  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
159153, 158syld 43 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
160159rexlimdva 2832 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( E. x  e.  RR+  (
( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
16170, 160mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
162161ex 425 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
16310, 162impbid2 197 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  ( F  e.  ( S NGHom  T )  <-> 
F  e.  ( J  Cn  K ) ) )
164163pm5.32da 624 . 2  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  (
( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
1657, 164bitrd 246 1  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    i^i cin 3321    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    X. cxp 4878   `'ccnv 4879    |` cres 4882   "cima 4883    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   1c1 8993   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    / cdiv 9679   QQcq 10576   RR+crp 10614   Basecbs 13471  Scalarcsca 13534   distcds 13540   TopOpenctopn 13651   0gc0g 13725   Grpcgrp 14687    GrpHom cghm 15005   LModclmod 15952   LMHom clmhm 16097   * Metcxmt 16688   ballcbl 16690   MetOpencmopn 16693    Cn ccn 17290   *
MetSpcxme 18349   MetSpcmt 18350   normcnm 18626  NrmGrpcngp 18627  NrmModcnlm 18630   normOpcnmo 18741   NGHom cnghm 18742   NMHom cnmhm 18743  CModcclm 19089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-topgen 13669  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cmn 15416  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lmhm 16100  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-xms 18352  df-ms 18353  df-nm 18632  df-ngp 18633  df-nlm 18636  df-nmo 18744  df-nghm 18745  df-nmhm 18746  df-clm 19090
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