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Theorem nmhmcn 18601
Description: A linear operator over a normed complex module is bounded iff it is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmhmcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
nmhmcn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
nmhmcn.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmhmcn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
nmhmcn  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )

Proof of Theorem nmhmcn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3389 . . . . 5  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ NrmMod
21sseli 3176 . . . 4  |-  ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  ->  S  e. NrmMod )
31sseli 3176 . . . 4  |-  ( T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  ->  T  e. NrmMod )
4 isnmhm 18255 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S NMHom  T
)  <->  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod )  /\  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
54baib 871 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <-> 
( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
62, 3, 5syl2an 463 . . 3  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod ) )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
763adant3 975 . 2  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) ) ) )
8 nmhmcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  S )
9 nmhmcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen `  T )
108, 9nghmcn 18254 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
11 simpll1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
121, 11sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e. NrmMod )
13 nlmngp 18188 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
14 ngpms 18122 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  MetSp )
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e.  MetSp )
16 msxms 18000 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  MetSp  ->  S  e.  *
MetSp )
17 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
18 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  =  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) )
1917, 18xmsxmet 18002 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
2015, 16, 193syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
21 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
22 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
231, 22sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e. NrmMod )
24 nlmngp 18188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
25 ngpms 18122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  MetSp )
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e.  MetSp )
27 msxms 18000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  MetSp  ->  T  e.  *
MetSp )
28 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
29 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  =  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) )
3028, 29xmsxmet 18002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  * MetSp  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T
) ) )
3126, 27, 303syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T
) ) )
32 nlmlmod 18189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e.  LMod )
33 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
3428, 33lmod0vcl 15659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  LMod  ->  ( 0g
`  T )  e.  ( Base `  T
) )
3523, 32, 343syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
) )
36 1rp 10358 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
37 rpxr 10361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
3836, 37mp1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  1  e.  RR* )
39 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) )
4039blopn 18046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
)  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( 0g `  T ) (
ball `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
4131, 35, 38, 40syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
4223, 24syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e. NrmGrp )
439, 28, 29mstopn 17998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
4442, 25, 433syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  =  ( MetOpen `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) )
4541, 44eleqtrrd 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  K )
46 cnima 16994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  e.  K )  -> 
( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  J )
4721, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  J )
4812, 13syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e. NrmGrp )
498, 17, 18mstopn 17998 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
5048, 14, 493syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  =  ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
5147, 50eleqtrd 2359 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) )
52 nlmlmod 18189 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e.  LMod )
53 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
5417, 53lmod0vcl 15659 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  LMod  ->  ( 0g
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
5512, 52, 543syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )
56 lmghm 15788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
5756ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
5853, 33ghmid 14689 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) )
6036a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  1  e.  RR+ )
61 blcntr 17964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
)  /\  1  e.  RR+ )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( ( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )
6231, 35, 60, 61syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )
6359, 62eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )
6417, 28lmhmf 15791 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
6564ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
66 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
)  ->  F  Fn  ( Base `  S )
)
67 elpreima 5645 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  ( Base `  S
)  ->  ( ( 0g `  S )  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  ( ( 0g
`  S )  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  ( 0g `  S
) )  e.  ( ( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
6865, 66, 673syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
( 0g `  S
)  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <-> 
( ( 0g `  S )  e.  (
Base `  S )  /\  ( F `  ( 0g `  S ) )  e.  ( ( 0g
`  T ) (
ball `  ( ( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
6955, 63, 68mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 0g `  S )  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )
70 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) )
7170mopni2 18039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S ) )  /\  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  e.  ( MetOpen `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) )  /\  ( 0g
`  S )  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( ( 0g
`  S ) (
ball `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )
7220, 51, 69, 71syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  E. x  e.  RR+  ( ( 0g
`  S ) (
ball `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )
73 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
741, 73sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  S  e. NrmMod )
7574, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
7675adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  S  e. NrmGrp )
7776ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  S  e. NrmGrp )
78 ngpgrp 18121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  Grp )
7977, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  S  e.  Grp )
80 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  y  e.  ( Base `  S
) )
81 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
82 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dist `  S )  =  (
dist `  S )
8381, 17, 53, 82, 18nmval2 18114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  S ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  y )  =  ( y ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) ( 0g `  S ) ) )
8479, 80, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  y )  =  ( y ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) ( 0g `  S ) ) )
8520ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
8655ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )
87 xmetsym 17912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S ) )  /\  y  e.  ( Base `  S )  /\  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) ( 0g `  S ) )  =  ( ( 0g `  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y ) )
8885, 80, 86, 87syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) ( 0g `  S ) )  =  ( ( 0g `  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y ) )
8984, 88eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  y )  =  ( ( 0g `  S
) ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y ) )
9089breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  S
) `  y )  <  x  <->  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x ) )
9190biimpd 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  S
) `  y )  <  x  ->  ( ( 0g `  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x ) )
9265ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  F : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
93 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  ( Base `  S
)  ->  ( y  e.  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  ( y  e.  ( Base `  S
)  /\  ( F `  y )  e.  ( ( 0g `  T
) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
9492, 66, 933syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <-> 
( y  e.  (
Base `  S )  /\  ( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
9531ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T
) ) )
9635ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
) )
9736, 37mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  1  e.  RR* )
98 elbl 17949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( 0g `  T )  e.  ( Base `  T
)  /\  1  e.  RR* )  ->  ( ( F `  y )  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  <-> 
( ( F `  y )  e.  (
Base `  T )  /\  ( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  1
) ) )
9995, 96, 97, 98syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  <->  ( ( F `  y )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( ( 0g `  T ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  <  1 ) ) )
100 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
1011, 100sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  T  e. NrmMod )
102101, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  T  e. NrmGrp )
103102adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  T  e. NrmGrp )
104103ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  T  e. NrmGrp )
105 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
106105adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
107106, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
108 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )
109107, 108sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )
110 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
11128, 110nmcl 18137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  e.  RR )
112104, 109, 111syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  e.  RR )
113 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
114 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <  1  ->  ( ( norm `  T ) `  ( F `  y ) )  <_  1 ) )
115112, 113, 114sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <  1  ->  ( ( norm `  T ) `  ( F `  y ) )  <_  1 ) )
116 ngpgrp 18121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  T  e.  Grp )
117104, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  T  e.  Grp )
118 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
119110, 28, 33, 118, 29nmval2 18114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e.  Grp  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  =  ( ( F `  y
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( 0g `  T ) ) )
120117, 109, 119syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  =  ( ( F `  y
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( 0g `  T ) ) )
121 xmetsym 17912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  T ) )  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
)  /\  ( 0g `  T )  e.  (
Base `  T )
)  ->  ( ( F `  y )
( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( 0g `  T ) )  =  ( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) ) )
12295, 109, 96, 121syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  y
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( 0g `  T ) )  =  ( ( 0g `  T ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) ) )
123120, 122eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  =  ( ( 0g `  T
) ( ( dist `  T )  |`  (
( Base `  T )  X.  ( Base `  T
) ) ) ( F `  y ) ) )
124123breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <  1  <->  ( ( 0g
`  T ) ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y ) )  <  1 ) )
125113a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  1  e.  RR )
126 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  x  e.  RR+ )
127112, 125, 126lediv1d 10432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  <_ 
1  <->  ( ( (
norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
128115, 124, 1273imtr3d 258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  1  ->  ( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) )
129128adantld 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( F `  y )  e.  (
Base `  T )  /\  ( ( 0g `  T ) ( (
dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ( F `  y
) )  <  1
)  ->  ( (
( norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
13099, 129sylbid 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 )  -> 
( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) )
131130adantld 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( y  e.  (
Base `  S )  /\  ( F `  y
)  e.  ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  ( ( (
norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
13294, 131sylbid 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  ( ( (
norm `  T ) `  ( F `  y
) )  /  x
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
13391, 132imim12d 68 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x  ->  y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )  ->  ( (
( norm `  S ) `  y )  <  x  ->  ( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) ) )
134133ralimdva 2621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( ( 0g `  S
) ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  x  -> 
y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) )  ->  A. y  e.  ( Base `  S
) ( ( (
norm `  S ) `  y )  <  x  ->  ( ( ( norm `  T ) `  ( F `  y )
)  /  x )  <_  ( 1  /  x ) ) ) )
13520adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S
) ) )
13655adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 0g
`  S )  e.  ( Base `  S
) )
137 rpxr 10361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
138137adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e. 
RR* )
139 blval 17948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) )  e.  ( * Met `  ( Base `  S ) )  /\  ( 0g `  S )  e.  ( Base `  S
)  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( 0g `  S ) (
ball `  ( ( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  =  { y  e.  (
Base `  S )  |  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x } )
140135, 136, 138, 139syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( 0g `  S ) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  =  { y  e.  (
Base `  S )  |  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x } )
141140sseq1d 3205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  { y  e.  (
Base `  S )  |  ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x }  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
142 rabss 3250 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  ( Base `  S )  |  ( ( 0g `  S
) ( ( dist `  S )  |`  (
( Base `  S )  X.  ( Base `  S
) ) ) y )  <  x }  C_  ( `' F "
( ( 0g `  T ) ( ball `  ( ( dist `  T
)  |`  ( ( Base `  T )  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( ( 0g
`  S ) ( ( dist `  S
)  |`  ( ( Base `  S )  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  < 
x  ->  y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) )
143141, 142syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  S ) ( ( ( 0g `  S ) ( (
dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) y )  <  x  ->  y  e.  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) ) ) ) )
144 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( S
normOp T )  =  ( S normOp T )
145 nmhmcn.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (Scalar `  S )
146 nmhmcn.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
14711adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
14822adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
149 rpreccl 10377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
150149adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
151150rpxrd 10391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e. 
RR* )
152 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
153 simpl3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  QQ  C_  B
)
154153ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  QQ  C_  B )
155144, 17, 81, 110, 145, 146, 147, 148, 106, 151, 152, 154nmoleub2b 18599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  <_ 
( 1  /  x
)  <->  A. y  e.  (
Base `  S )
( ( ( norm `  S ) `  y
)  <  x  ->  ( ( ( norm `  T
) `  ( F `  y ) )  /  x )  <_  (
1  /  x ) ) ) )
156134, 143, 1553imtr4d 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  ( ( S
normOp T ) `  F
)  <_  ( 1  /  x ) ) )
15776, 103, 573jca 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) ) )
158149rpred 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
159144bddnghm 18235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( ( 1  /  x )  e.  RR  /\  ( ( S normOp T ) `  F )  <_  (
1  /  x ) ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
160159expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( 1  /  x )  e.  RR )  ->  ( ( ( S normOp T ) `  F )  <_  (
1  /  x )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
161157, 158, 160syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( S normOp T ) `
 F )  <_ 
( 1  /  x
)  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
162156, 161syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod
)  /\  QQ  C_  B
)  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
163162rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( E. x  e.  RR+  (
( 0g `  S
) ( ball `  (
( dist `  S )  |`  ( ( Base `  S
)  X.  ( Base `  S ) ) ) ) x )  C_  ( `' F " ( ( 0g `  T ) ( ball `  (
( dist `  T )  |`  ( ( Base `  T
)  X.  ( Base `  T ) ) ) ) 1 ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
16472, 163mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
165164ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) ) )
16610, 165impbid2 195 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  ( F  e.  ( S NGHom  T )  <-> 
F  e.  ( J  Cn  K ) ) )
167166pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  (
( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( S NGHom  T ) )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
1687, 167bitrd 244 1  |-  ( ( S  e.  (NrmMod  i^i CMod )  /\  T  e.  (NrmMod 
i^i CMod )  /\  QQ  C_  B )  ->  ( F  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   QQcq 10316   RR+crp 10354   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   distcds 13217   TopOpenctopn 13326   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362    GrpHom cghm 14680   LModclmod 15627   LMHom clmhm 15776   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   MetOpencmopn 16372    Cn ccn 16954   *
MetSpcxme 17882   MetSpcmt 17883   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100  NrmModcnlm 18103   normOpcnmo 18214   NGHom cnghm 18215   NMHom cnmhm 18216  CModcclm 18560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nlm 18109  df-nmo 18217  df-nghm 18218  df-nmhm 18219  df-clm 18561
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