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Theorem nmhmcn 18601
 Description: A linear operator over a normed complex module is bounded iff it is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmhmcn.j
nmhmcn.k
nmhmcn.g Scalar
nmhmcn.b
Assertion
Ref Expression
nmhmcn NrmMod CMod NrmMod CMod NMHom LMHom

Proof of Theorem nmhmcn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3389 . . . . 5 NrmMod CMod NrmMod
21sseli 3176 . . . 4 NrmMod CMod NrmMod
31sseli 3176 . . . 4 NrmMod CMod NrmMod
4 isnmhm 18255 . . . . 5 NMHom NrmMod NrmMod LMHom NGHom
54baib 871 . . . 4 NrmMod NrmMod NMHom LMHom NGHom
62, 3, 5syl2an 463 . . 3 NrmMod CMod NrmMod CMod NMHom LMHom NGHom
763adant3 975 . 2 NrmMod CMod NrmMod CMod NMHom LMHom NGHom
8 nmhmcn.j . . . . 5
9 nmhmcn.k . . . . 5
108, 9nghmcn 18254 . . . 4 NGHom
11 simpll1 994 . . . . . . . . . 10 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmMod CMod
121, 11sseldi 3178 . . . . . . . . 9 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmMod
13 nlmngp 18188 . . . . . . . . 9 NrmMod NrmGrp
14 ngpms 18122 . . . . . . . . 9 NrmGrp
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . 8 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
16 msxms 18000 . . . . . . . 8
17 eqid 2283 . . . . . . . . 9
18 eqid 2283 . . . . . . . . 9
1917, 18xmsxmet 18002 . . . . . . . 8
2015, 16, 193syl 18 . . . . . . 7 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
21 simpr 447 . . . . . . . . 9 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
22 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmMod CMod
231, 22sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . 13 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmMod
24 nlmngp 18188 . . . . . . . . . . . . 13 NrmMod NrmGrp
25 ngpms 18122 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . . 12 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
27 msxms 18000 . . . . . . . . . . . 12
28 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13
29 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29xmsxmet 18002 . . . . . . . . . . . 12
3126, 27, 303syl 18 . . . . . . . . . . 11 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
32 nlmlmod 18189 . . . . . . . . . . . 12 NrmMod
33 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13
3428, 33lmod0vcl 15659 . . . . . . . . . . . 12
3523, 32, 343syl 18 . . . . . . . . . . 11 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
36 1rp 10358 . . . . . . . . . . . 12
37 rpxr 10361 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37mp1i 11 . . . . . . . . . . 11 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
39 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12
4039blopn 18046 . . . . . . . . . . 11
4131, 35, 38, 40syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
4223, 24syl 15 . . . . . . . . . . 11 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmGrp
439, 28, 29mstopn 17998 . . . . . . . . . . 11
4442, 25, 433syl 18 . . . . . . . . . 10 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
4541, 44eleqtrrd 2360 . . . . . . . . 9 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
46 cnima 16994 . . . . . . . . 9
4721, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . . 8 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
4812, 13syl 15 . . . . . . . . 9 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmGrp
498, 17, 18mstopn 17998 . . . . . . . . 9
5048, 14, 493syl 18 . . . . . . . 8 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
5147, 50eleqtrd 2359 . . . . . . 7 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
52 nlmlmod 18189 . . . . . . . . 9 NrmMod
53 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
5417, 53lmod0vcl 15659 . . . . . . . . 9
5512, 52, 543syl 18 . . . . . . . 8 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
56 lmghm 15788 . . . . . . . . . . 11 LMHom
5756ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
5853, 33ghmid 14689 . . . . . . . . . 10
5957, 58syl 15 . . . . . . . . 9 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
6036a1i 10 . . . . . . . . . 10 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
61 blcntr 17964 . . . . . . . . . 10
6231, 35, 60, 61syl3anc 1182 . . . . . . . . 9 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
6359, 62eqeltrd 2357 . . . . . . . 8 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
6417, 28lmhmf 15791 . . . . . . . . . 10 LMHom
6564ad2antlr 707 . . . . . . . . 9 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
66 ffn 5389 . . . . . . . . 9
67 elpreima 5645 . . . . . . . . 9
6865, 66, 673syl 18 . . . . . . . 8 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
6955, 63, 68mpbir2and 888 . . . . . . 7 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
70 eqid 2283 . . . . . . . 8
7170mopni2 18039 . . . . . . 7
7220, 51, 69, 71syl3anc 1182 . . . . . 6 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
73 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmMod CMod
741, 73sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmMod
7574, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmGrp
7675adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmGrp
7776ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmGrp
78 ngpgrp 18121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NrmGrp
7977, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
80 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
81 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16
82 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8381, 17, 53, 82, 18nmval2 18114 . . . . . . . . . . . . . . 15
8479, 80, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
8520ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
8655ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
87 xmetsym 17912 . . . . . . . . . . . . . . 15
8885, 80, 86, 87syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
8984, 88eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
9089breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
9190biimpd 198 . . . . . . . . . . 11 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
9265ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
93 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . 13
9492, 66, 933syl 18 . . . . . . . . . . . 12 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
9531ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
9635ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
9736, 37mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
98 elbl 17949 . . . . . . . . . . . . . . 15
9995, 96, 97, 98syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
100 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmMod CMod
1011, 100sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmMod
102101, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmGrp
103102adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmGrp
104103ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmGrp
105 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom LMHom
106105adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom LMHom
107106, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
108 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109107, 108sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
110 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11128, 110nmcl 18137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NrmGrp
112104, 109, 111syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
113 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115112, 113, 114sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
116 ngpgrp 18121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NrmGrp
117104, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
118 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
119110, 28, 33, 118, 29nmval2 18114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
120117, 109, 119syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
121 xmetsym 17912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12295, 109, 96, 121syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
123120, 122eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
124123breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
125113a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
126 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
127112, 125, 126lediv1d 10432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
128115, 124, 1273imtr3d 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
129128adantld 453 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
13099, 129sylbid 206 . . . . . . . . . . . . 13 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
131130adantld 453 . . . . . . . . . . . 12 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
13294, 131sylbid 206 . . . . . . . . . . 11 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
13391, 132imim12d 68 . . . . . . . . . 10 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
134133ralimdva 2621 . . . . . . . . 9 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
13520adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
13655adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
137 rpxr 10361 . . . . . . . . . . . . 13
138137adantl 452 . . . . . . . . . . . 12 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
139 blval 17948 . . . . . . . . . . . 12
140135, 136, 138, 139syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
141140sseq1d 3205 . . . . . . . . . 10 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
142 rabss 3250 . . . . . . . . . 10
143141, 142syl6bb 252 . . . . . . . . 9 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
144 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
145 nmhmcn.g . . . . . . . . . 10 Scalar
146 nmhmcn.b . . . . . . . . . 10
14711adantr 451 . . . . . . . . . 10 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmMod CMod
14822adantr 451 . . . . . . . . . 10 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmMod CMod
149 rpreccl 10377 . . . . . . . . . . . 12
150149adantl 452 . . . . . . . . . . 11 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
151150rpxrd 10391 . . . . . . . . . 10 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
152 simpr 447 . . . . . . . . . 10 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
153 simpl3 960 . . . . . . . . . . 11 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
154153ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
155144, 17, 81, 110, 145, 146, 147, 148, 106, 151, 152, 154nmoleub2b 18599 . . . . . . . . 9 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
156134, 143, 1553imtr4d 259 . . . . . . . 8 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom
15776, 103, 573jca 1132 . . . . . . . . 9 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NrmGrp NrmGrp
158149rpred 10390 . . . . . . . . 9
159144bddnghm 18235 . . . . . . . . . 10 NrmGrp NrmGrp NGHom
160159expr 598 . . . . . . . . 9 NrmGrp NrmGrp NGHom
161157, 158, 160syl2an 463 . . . . . . . 8 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NGHom
162156, 161syld 40 . . . . . . 7 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NGHom
163162rexlimdva 2667 . . . . . 6 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NGHom
16472, 163mpd 14 . . . . 5 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NGHom
165164ex 423 . . . 4 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NGHom
16610, 165impbid2 195 . . 3 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NGHom
167166pm5.32da 622 . 2 NrmMod CMod NrmMod CMod LMHom NGHom LMHom
1687, 167bitrd 244 1 NrmMod CMod NrmMod CMod NMHom LMHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544  crab 2547   cin 3151   wss 3152   class class class wbr 4023   cxp 4687  ccnv 4688   cres 4691  cima 4692   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cr 8736  c1 8738  cxr 8866   clt 8867   cle 8868   cdiv 9423  cq 10316  crp 10354  cbs 13148  Scalarcsca 13211  cds 13217  ctopn 13326  c0g 13400  cgrp 14362   cghm 14680  clmod 15627   LMHom clmhm 15776  cxmt 16369  cbl 16371  cmopn 16372   ccn 16954  cxme 17882  cmt 17883  cnm 18099  NrmGrpcngp 18100  NrmModcnlm 18103  cnmo 18214   NGHom cnghm 18215   NMHom cnmhm 18216  CModcclm 18560 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nlm 18109  df-nmo 18217  df-nghm 18218  df-nmhm 18219  df-clm 18561
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