MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmhmco Structured version   Unicode version

Theorem nmhmco 18782
Description: The composition of bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nmhmco  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NMHom  U ) )

Proof of Theorem nmhmco
StepHypRef Expression
1 nmhmrcl2 18774 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NMHom  U
)  ->  U  e. NrmMod )
2 nmhmrcl1 18773 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  S  e. NrmMod )
31, 2anim12ci 551 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( S  e. NrmMod  /\  U  e. NrmMod )
)
4 nmhmlmhm 18775 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T NMHom  U
)  ->  F  e.  ( T LMHom  U ) )
5 nmhmlmhm 18775 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  G  e.  ( S LMHom  T ) )
6 lmhmco 16111 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( T LMHom 
U )  /\  G  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S LMHom  U ) )
74, 5, 6syl2an 464 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S LMHom  U ) )
8 nmhmnghm 18776 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T NMHom  U
)  ->  F  e.  ( T NGHom  U ) )
9 nmhmnghm 18776 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  G  e.  ( S NGHom  T ) )
10 nghmco 18764 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )
118, 9, 10syl2an 464 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )
127, 11jca 519 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( ( F  o.  G )  e.  ( S LMHom  U )  /\  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) ) )
13 isnmhm 18772 . 2  |-  ( ( F  o.  G )  e.  ( S NMHom  U
)  <->  ( ( S  e. NrmMod  /\  U  e. NrmMod )  /\  ( ( F  o.  G )  e.  ( S LMHom  U )  /\  ( F  o.  G
)  e.  ( S NGHom 
U ) ) ) )
143, 12, 13sylanbrc 646 1  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NMHom  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    o. ccom 4874  (class class class)co 6073   LMHom clmhm 16087  NrmModcnlm 18620   NGHom cnghm 18732   NMHom cnmhm 18733
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ico 10914  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-ghm 14996  df-lmod 15944  df-lmhm 16090  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-xms 18342  df-ms 18343  df-nm 18622  df-ngp 18623  df-nmo 18734  df-nghm 18735  df-nmhm 18736
  Copyright terms: Public domain W3C validator