MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmhmco Unicode version

Theorem nmhmco 18281
Description: The composition of bounded linear operators is a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nmhmco  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NMHom  U ) )

Proof of Theorem nmhmco
StepHypRef Expression
1 nmhmrcl2 18273 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NMHom  U
)  ->  U  e. NrmMod )
2 nmhmrcl1 18272 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  S  e. NrmMod )
31, 2anim12ci 550 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( S  e. NrmMod  /\  U  e. NrmMod )
)
4 nmhmlmhm 18274 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T NMHom  U
)  ->  F  e.  ( T LMHom  U ) )
5 nmhmlmhm 18274 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  G  e.  ( S LMHom  T ) )
6 lmhmco 15816 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( T LMHom 
U )  /\  G  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S LMHom  U ) )
74, 5, 6syl2an 463 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S LMHom  U ) )
8 nmhmnghm 18275 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T NMHom  U
)  ->  F  e.  ( T NGHom  U ) )
9 nmhmnghm 18275 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  G  e.  ( S NGHom  T ) )
10 nghmco 18263 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )
118, 9, 10syl2an 463 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) )
127, 11jca 518 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( ( F  o.  G )  e.  ( S LMHom  U )  /\  ( F  o.  G )  e.  ( S NGHom  U ) ) )
13 isnmhm 18271 . 2  |-  ( ( F  o.  G )  e.  ( S NMHom  U
)  <->  ( ( S  e. NrmMod  /\  U  e. NrmMod )  /\  ( ( F  o.  G )  e.  ( S LMHom  U )  /\  ( F  o.  G
)  e.  ( S NGHom 
U ) ) ) )
143, 12, 13sylanbrc 645 1  |-  ( ( F  e.  ( T NMHom 
U )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S NMHom  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696    o. ccom 4709  (class class class)co 5874   LMHom clmhm 15792  NrmModcnlm 18119   NGHom cnghm 18231   NMHom cnmhm 18232
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-ghm 14697  df-lmod 15645  df-lmhm 15795  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nmo 18233  df-nghm 18234  df-nmhm 18235
  Copyright terms: Public domain W3C validator