MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmhmplusg Unicode version

Theorem nmhmplusg 18266
Description: The sum of two bounded linear operators is bounded linear. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nmhmplusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  T )
Assertion
Ref Expression
nmhmplusg  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S NMHom  T
) )

Proof of Theorem nmhmplusg
StepHypRef Expression
1 nmhmrcl1 18256 . . 3  |-  ( F  e.  ( S NMHom  T
)  ->  S  e. NrmMod )
2 nmhmrcl2 18257 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  T  e. NrmMod )
31, 2anim12i 549 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod )
)
4 nmhmlmhm 18258 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S NMHom  T
)  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
5 nmhmlmhm 18258 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  G  e.  ( S LMHom  T ) )
6 nmhmplusg.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  T )
76lmhmplusg 15801 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G  e.  ( S LMHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S LMHom  T
) )
84, 5, 7syl2an 463 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S LMHom  T
) )
9 nlmlmod 18189 . . . . . 6  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e.  LMod )
10 lmodabl 15672 . . . . . 6  |-  ( T  e.  LMod  ->  T  e. 
Abel )
112, 9, 103syl 18 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  T  e.  Abel )
1211adantl 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  T  e.  Abel )
13 nmhmnghm 18259 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S NMHom  T
)  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
1413adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
15 nmhmnghm 18259 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( S NMHom  T
)  ->  G  e.  ( S NGHom  T ) )
1615adantl 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  G  e.  ( S NGHom  T ) )
176nghmplusg 18249 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Abel  /\  F  e.  ( S NGHom  T )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S NGHom  T ) )
1812, 14, 16, 17syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S NGHom  T
) )
198, 18jca 518 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( ( F  o F  .+  G
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( F  o F  .+  G
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) )
20 isnmhm 18255 . 2  |-  ( ( F  o F  .+  G )  e.  ( S NMHom  T )  <->  ( ( S  e. NrmMod  /\  T  e. NrmMod
)  /\  ( ( F  o F  .+  G
)  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( F  o F  .+  G
)  e.  ( S NGHom 
T ) ) ) )
213, 19, 20sylanbrc 645 1  |-  ( ( F  e.  ( S NMHom 
T )  /\  G  e.  ( S NMHom  T ) )  ->  ( F  o F  .+  G )  e.  ( S NMHom  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   +g cplusg 13208   Abelcabel 15090   LModclmod 15627   LMHom clmhm 15776  NrmModcnlm 18103   NGHom cnghm 18215   NMHom cnmhm 18216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nlm 18109  df-nmo 18217  df-nghm 18218  df-nmhm 18219
  Copyright terms: Public domain W3C validator