MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nminv Structured version   Unicode version

Theorem nminv 18667
Description: The norm of a negated element is the same as the norm of the original element. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmf.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmf.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
nminv.i  |-  I  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
nminv  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( I `  A ) )  =  ( N `  A
) )

Proof of Theorem nminv
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 18646 . . . . 5  |-  ( G  e. NrmGrp  ->  G  e.  Grp )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
3 nmf.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
53, 4grpidcl 14833 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
62, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
7 nmf.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  G
)
8 eqid 2436 . . . 4  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
9 eqid 2436 . . . 4  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  G )
107, 3, 8, 9ngpdsr 18651 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X  /\  ( 0g
`  G )  e.  X )  ->  ( A ( dist `  G
) ( 0g `  G ) )  =  ( N `  (
( 0g `  G
) ( -g `  G
) A ) ) )
116, 10mpd3an3 1280 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( dist `  G
) ( 0g `  G ) )  =  ( N `  (
( 0g `  G
) ( -g `  G
) A ) ) )
127, 3, 4, 9nmval 18637 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  ( N `  A )  =  ( A (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
1312adantl 453 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  =  ( A (
dist `  G )
( 0g `  G
) ) )
14 nminv.i . . . . 5  |-  I  =  ( inv g `  G )
153, 8, 14, 4grpinvval2 14872 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( I `  A
)  =  ( ( 0g `  G ) ( -g `  G
) A ) )
161, 15sylan 458 . . 3  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
I `  A )  =  ( ( 0g
`  G ) (
-g `  G ) A ) )
1716fveq2d 5732 . 2  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( I `  A ) )  =  ( N `  (
( 0g `  G
) ( -g `  G
) A ) ) )
1811, 13, 173eqtr4rd 2479 1  |-  ( ( G  e. NrmGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( I `  A ) )  =  ( N `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   distcds 13538   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   inv gcminusg 14686   -gcsg 14688   normcnm 18624  NrmGrpcngp 18625
This theorem is referenced by:  nmsub  18669  nmtri  18672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-xms 18350  df-ms 18351  df-nm 18630  df-ngp 18631
  Copyright terms: Public domain W3C validator