Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nminvr Structured version   Unicode version

Theorem nminvr 18710
 Description: The norm of an inverse in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nminvr.n
nminvr.u Unit
nminvr.i
Assertion
Ref Expression
nminvr NrmRing NzRing

Proof of Theorem nminvr
StepHypRef Expression
1 nzrrng 16337 . . . . . . 7 NzRing
213ad2ant2 980 . . . . . 6 NrmRing NzRing
3 simp3 960 . . . . . 6 NrmRing NzRing
4 nminvr.u . . . . . . 7 Unit
5 nminvr.i . . . . . . 7
6 eqid 2438 . . . . . . 7
7 eqid 2438 . . . . . . 7
84, 5, 6, 7unitrinv 15788 . . . . . 6
92, 3, 8syl2anc 644 . . . . 5 NrmRing NzRing
109fveq2d 5735 . . . 4 NrmRing NzRing
11 simp1 958 . . . . 5 NrmRing NzRing NrmRing
12 eqid 2438 . . . . . . 7
1312, 4unitcl 15769 . . . . . 6
14133ad2ant3 981 . . . . 5 NrmRing NzRing
154, 5, 12rnginvcl 15786 . . . . . 6
162, 3, 15syl2anc 644 . . . . 5 NrmRing NzRing
17 nminvr.n . . . . . 6
1812, 17, 6nmmul 18705 . . . . 5 NrmRing
1911, 14, 16, 18syl3anc 1185 . . . 4 NrmRing NzRing
2017, 7nm1 18708 . . . . 5 NrmRing NzRing
21203adant3 978 . . . 4 NrmRing NzRing
2210, 19, 213eqtr3d 2478 . . 3 NrmRing NzRing
23 ax-1cn 9053 . . . . 5
2423a1i 11 . . . 4 NrmRing NzRing
25 nrgngp 18703 . . . . . . 7 NrmRing NrmGrp
26253ad2ant1 979 . . . . . 6 NrmRing NzRing NrmGrp
2712, 17nmcl 18667 . . . . . 6 NrmGrp
2826, 14, 27syl2anc 644 . . . . 5 NrmRing NzRing
2928recnd 9119 . . . 4 NrmRing NzRing
3012, 17nmcl 18667 . . . . . 6 NrmGrp
3126, 16, 30syl2anc 644 . . . . 5 NrmRing NzRing
3231recnd 9119 . . . 4 NrmRing NzRing
3317, 4unitnmn0 18709 . . . 4 NrmRing NzRing
3424, 29, 32, 33divmuld 9817 . . 3 NrmRing NzRing
3522, 34mpbird 225 . 2 NrmRing NzRing
3635eqcomd 2443 1 NrmRing NzRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cr 8994  c1 8996   cmul 9000   cdiv 9682  cbs 13474  cmulr 13535  crg 15665  cur 15667  Unitcui 15749  cinvr 15781  NzRingcnzr 16333  cnm 18629  NrmGrpcngp 18630  NrmRingcnrg 18632 This theorem is referenced by:  nmdvr  18711 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ico 10927  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-topgen 13672  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-abv 15910  df-nzr 16334  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-xms 18355  df-ms 18356  df-nm 18635  df-ngp 18636  df-nrg 18638
 Copyright terms: Public domain W3C validator