MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nminvr Unicode version

Theorem nminvr 18666
Description: The norm of an inverse in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nminvr.n  |-  N  =  ( norm `  R
)
nminvr.u  |-  U  =  (Unit `  R )
nminvr.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
Assertion
Ref Expression
nminvr  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  =  ( 1  /  ( N `
 A ) ) )

Proof of Theorem nminvr
StepHypRef Expression
1 nzrrng 16295 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
213ad2ant2 979 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  R  e.  Ring )
3 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  A  e.  U )
4 nminvr.u . . . . . . 7  |-  U  =  (Unit `  R )
5 nminvr.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( invr `  R
)
6 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
7 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
84, 5, 6, 7unitrinv 15746 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  ( A ( .r `  R ) ( I `
 A ) )  =  ( 1r `  R ) )
92, 3, 8syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( A
( .r `  R
) ( I `  A ) )  =  ( 1r `  R
) )
109fveq2d 5699 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( A ( .r
`  R ) ( I `  A ) ) )  =  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )
11 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  R  e. NrmRing )
12 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1312, 4unitcl 15727 . . . . . 6  |-  ( A  e.  U  ->  A  e.  ( Base `  R
) )
14133ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  A  e.  ( Base `  R )
)
154, 5, 12rnginvcl 15744 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  (
I `  A )  e.  ( Base `  R
) )
162, 3, 15syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( I `  A )  e.  (
Base `  R )
)
17 nminvr.n . . . . . 6  |-  N  =  ( norm `  R
)
1812, 17, 6nmmul 18661 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  A  e.  ( Base `  R
)  /\  ( I `  A )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( N `  ( A ( .r
`  R ) ( I `  A ) ) )  =  ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 ( I `  A ) ) ) )
1911, 14, 16, 18syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( A ( .r
`  R ) ( I `  A ) ) )  =  ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 ( I `  A ) ) ) )
2017, 7nm1 18664 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing
)  ->  ( N `  ( 1r `  R
) )  =  1 )
21203adant3 977 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( 1r `  R
) )  =  1 )
2210, 19, 213eqtr3d 2452 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( ( N `  A )  x.  ( N `  (
I `  A )
) )  =  1 )
23 ax-1cn 9012 . . . . 5  |-  1  e.  CC
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  1  e.  CC )
25 nrgngp 18659 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e. NrmGrp )
26253ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  R  e. NrmGrp )
2712, 17nmcl 18623 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
2826, 14, 27syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  e.  RR )
2928recnd 9078 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  e.  CC )
3012, 17nmcl 18623 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  (
I `  A )  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( N `  ( I `  A ) )  e.  RR )
3126, 16, 30syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  e.  RR )
3231recnd 9078 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  e.  CC )
3317, 4unitnmn0 18665 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  =/=  0
)
3424, 29, 32, 33divmuld 9776 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
1  /  ( N `
 A ) )  =  ( N `  ( I `  A
) )  <->  ( ( N `  A )  x.  ( N `  (
I `  A )
) )  =  1 ) )
3522, 34mpbird 224 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( 1  /  ( N `  A ) )  =  ( N `  (
I `  A )
) )
3635eqcomd 2417 1  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  =  ( 1  /  ( N `
 A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   1c1 8955    x. cmul 8959    / cdiv 9641   Basecbs 13432   .rcmulr 13493   Ringcrg 15623   1rcur 15625  Unitcui 15707   invrcinvr 15739  NzRingcnzr 16291   normcnm 18585  NrmGrpcngp 18586  NrmRingcnrg 18588
This theorem is referenced by:  nmdvr  18667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ico 10886  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-topgen 13630  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-oppr 15691  df-dvdsr 15709  df-unit 15710  df-invr 15740  df-abv 15868  df-nzr 16292  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-xms 18311  df-ms 18312  df-nm 18591  df-ngp 18592  df-nrg 18594
  Copyright terms: Public domain W3C validator