MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nminvr Unicode version

Theorem nminvr 18276
Description: The norm of an inverse in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nminvr.n  |-  N  =  ( norm `  R
)
nminvr.u  |-  U  =  (Unit `  R )
nminvr.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
Assertion
Ref Expression
nminvr  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  =  ( 1  /  ( N `
 A ) ) )

Proof of Theorem nminvr
StepHypRef Expression
1 nzrrng 16106 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
213ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  R  e.  Ring )
3 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  A  e.  U )
4 nminvr.u . . . . . . 7  |-  U  =  (Unit `  R )
5 nminvr.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( invr `  R
)
6 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
7 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
84, 5, 6, 7unitrinv 15553 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  ( A ( .r `  R ) ( I `
 A ) )  =  ( 1r `  R ) )
92, 3, 8syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( A
( .r `  R
) ( I `  A ) )  =  ( 1r `  R
) )
109fveq2d 5609 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( A ( .r
`  R ) ( I `  A ) ) )  =  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )
11 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  R  e. NrmRing )
12 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1312, 4unitcl 15534 . . . . . 6  |-  ( A  e.  U  ->  A  e.  ( Base `  R
) )
14133ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  A  e.  ( Base `  R )
)
154, 5, 12rnginvcl 15551 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  (
I `  A )  e.  ( Base `  R
) )
162, 3, 15syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( I `  A )  e.  (
Base `  R )
)
17 nminvr.n . . . . . 6  |-  N  =  ( norm `  R
)
1812, 17, 6nmmul 18271 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  A  e.  ( Base `  R
)  /\  ( I `  A )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( N `  ( A ( .r
`  R ) ( I `  A ) ) )  =  ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 ( I `  A ) ) ) )
1911, 14, 16, 18syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( A ( .r
`  R ) ( I `  A ) ) )  =  ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 ( I `  A ) ) ) )
2017, 7nm1 18274 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing
)  ->  ( N `  ( 1r `  R
) )  =  1 )
21203adant3 975 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( 1r `  R
) )  =  1 )
2210, 19, 213eqtr3d 2398 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( ( N `  A )  x.  ( N `  (
I `  A )
) )  =  1 )
23 ax-1cn 8882 . . . . 5  |-  1  e.  CC
2423a1i 10 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  1  e.  CC )
25 nrgngp 18269 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e. NrmGrp )
26253ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  R  e. NrmGrp )
2712, 17nmcl 18233 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
2826, 14, 27syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  e.  RR )
2928recnd 8948 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  e.  CC )
3012, 17nmcl 18233 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  (
I `  A )  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( N `  ( I `  A ) )  e.  RR )
3126, 16, 30syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  e.  RR )
3231recnd 8948 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  e.  CC )
3317, 4unitnmn0 18275 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  =/=  0
)
3424, 29, 32, 33divmuld 9645 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
1  /  ( N `
 A ) )  =  ( N `  ( I `  A
) )  <->  ( ( N `  A )  x.  ( N `  (
I `  A )
) )  =  1 ) )
3522, 34mpbird 223 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( 1  /  ( N `  A ) )  =  ( N `  (
I `  A )
) )
3635eqcomd 2363 1  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  =  ( 1  /  ( N `
 A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   CCcc 8822   RRcr 8823   1c1 8825    x. cmul 8829    / cdiv 9510   Basecbs 13239   .rcmulr 13300   Ringcrg 15430   1rcur 15432  Unitcui 15514   invrcinvr 15546  NzRingcnzr 16102   normcnm 18195  NrmGrpcngp 18196  NrmRingcnrg 18198
This theorem is referenced by:  nmdvr  18277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-tpos 6318  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ico 10751  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-topgen 13437  df-0g 13497  df-mnd 14460  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-ur 15435  df-oppr 15498  df-dvdsr 15516  df-unit 15517  df-invr 15547  df-abv 15675  df-nzr 16103  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-xms 17981  df-ms 17982  df-nm 18201  df-ngp 18202  df-nrg 18204
  Copyright terms: Public domain W3C validator