MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nminvr Unicode version

Theorem nminvr 18180
Description: The norm of an inverse in a nonzero normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nminvr.n  |-  N  =  ( norm `  R
)
nminvr.u  |-  U  =  (Unit `  R )
nminvr.i  |-  I  =  ( invr `  R
)
Assertion
Ref Expression
nminvr  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  =  ( 1  /  ( N `
 A ) ) )

Proof of Theorem nminvr
StepHypRef Expression
1 nzrrng 16013 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
213ad2ant2 977 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  R  e.  Ring )
3 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  A  e.  U )
4 nminvr.u . . . . . . 7  |-  U  =  (Unit `  R )
5 nminvr.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( invr `  R
)
6 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
7 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
84, 5, 6, 7unitrinv 15460 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  ( A ( .r `  R ) ( I `
 A ) )  =  ( 1r `  R ) )
92, 3, 8syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( A
( .r `  R
) ( I `  A ) )  =  ( 1r `  R
) )
109fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( A ( .r
`  R ) ( I `  A ) ) )  =  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )
11 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  R  e. NrmRing )
12 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1312, 4unitcl 15441 . . . . . 6  |-  ( A  e.  U  ->  A  e.  ( Base `  R
) )
14133ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  A  e.  ( Base `  R )
)
154, 5, 12rnginvcl 15458 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  U )  ->  (
I `  A )  e.  ( Base `  R
) )
162, 3, 15syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( I `  A )  e.  (
Base `  R )
)
17 nminvr.n . . . . . 6  |-  N  =  ( norm `  R
)
1812, 17, 6nmmul 18175 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  A  e.  ( Base `  R
)  /\  ( I `  A )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( N `  ( A ( .r
`  R ) ( I `  A ) ) )  =  ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 ( I `  A ) ) ) )
1911, 14, 16, 18syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( A ( .r
`  R ) ( I `  A ) ) )  =  ( ( N `  A
)  x.  ( N `
 ( I `  A ) ) ) )
2017, 7nm1 18178 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing
)  ->  ( N `  ( 1r `  R
) )  =  1 )
21203adant3 975 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( 1r `  R
) )  =  1 )
2210, 19, 213eqtr3d 2323 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( ( N `  A )  x.  ( N `  (
I `  A )
) )  =  1 )
23 ax-1cn 8795 . . . . 5  |-  1  e.  CC
2423a1i 10 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  1  e.  CC )
25 nrgngp 18173 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NrmRing  ->  R  e. NrmGrp )
26253ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  R  e. NrmGrp )
2712, 17nmcl 18137 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  A  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
2826, 14, 27syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  e.  RR )
2928recnd 8861 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  e.  CC )
3012, 17nmcl 18137 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NrmGrp  /\  (
I `  A )  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( N `  ( I `  A ) )  e.  RR )
3126, 16, 30syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  e.  RR )
3231recnd 8861 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  e.  CC )
3317, 4unitnmn0 18179 . . . 4  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  A )  =/=  0
)
3424, 29, 32, 33divmuld 9558 . . 3  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( (
1  /  ( N `
 A ) )  =  ( N `  ( I `  A
) )  <->  ( ( N `  A )  x.  ( N `  (
I `  A )
) )  =  1 ) )
3522, 34mpbird 223 . 2  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( 1  /  ( N `  A ) )  =  ( N `  (
I `  A )
) )
3635eqcomd 2288 1  |-  ( ( R  e. NrmRing  /\  R  e. NzRing  /\  A  e.  U
)  ->  ( N `  ( I `  A
) )  =  ( 1  /  ( N `
 A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738    x. cmul 8742    / cdiv 9423   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   Ringcrg 15337   1rcur 15339  Unitcui 15421   invrcinvr 15453  NzRingcnzr 16009   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100  NrmRingcnrg 18102
This theorem is referenced by:  nmdvr  18181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-abv 15582  df-nzr 16010  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nrg 18108
  Copyright terms: Public domain W3C validator