MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlno0 Unicode version

Theorem nmlno0 21487
Description: The norm of a linear operator is zero iff the operator is zero. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlno0.3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmlno0.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
nmlno0.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
nmlno0  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =  0  <->  T  =  Z ) )

Proof of Theorem nmlno0
StepHypRef Expression
1 nmlno0.7 . . . . . 6  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
2 oveq1 5952 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  LnOp  W
)  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
LnOp  W ) )
31, 2syl5eq 2402 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  L  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
LnOp  W ) )
43eleq2d 2425 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  e.  L  <->  T  e.  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  W ) ) )
5 nmlno0.3 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
6 oveq1 5952 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U normOp OLD W
)  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD W ) )
75, 6syl5eq 2402 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  N  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD W ) )
87fveq1d 5610 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( N `  T
)  =  ( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) normOp OLD W ) `  T ) )
98eqeq1d 2366 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( N `  T )  =  0  <-> 
( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  T )  =  0 ) )
10 nmlno0.0 . . . . . . 7  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
11 oveq1 5952 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( U  0op  W
)  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W ) )
1210, 11syl5eq 2402 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  Z  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W ) )
1312eqeq2d 2369 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  =  Z  <-> 
T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W ) ) )
149, 13bibi12d 312 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( N `
 T )  =  0  <->  T  =  Z
)  <->  ( ( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) normOp OLD W ) `  T )  =  0  <-> 
T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W ) ) ) )
154, 14imbi12d 311 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  e.  L  ->  ( ( N `  T )  =  0  <->  T  =  Z ) )  <->  ( T  e.  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  W )  ->  (
( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  T )  =  0  <-> 
T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W ) ) ) ) )
16 oveq2 5953 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  W )  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
1716eleq2d 2425 . . . 4  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  e.  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  W )  <->  T  e.  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ) )
18 oveq2 5953 . . . . . . 7  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W )  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
1918fveq1d 5610 . . . . . 6  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  T )  =  ( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  T )
)
2019eqeq1d 2366 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD W ) `  T )  =  0  <-> 
( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  T )  =  0 ) )
21 oveq2 5953 . . . . . 6  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W )  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  0op  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
2221eqeq2d 2369 . . . . 5  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  0op  W )  <->  T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ) )
2320, 22bibi12d 312 . . . 4  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( ( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) normOp OLD W ) `  T )  =  0  <-> 
T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W ) )  <-> 
( ( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  T )  =  0  <->  T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  0op  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) ) )
2417, 23imbi12d 311 . . 3  |-  ( W  =  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( T  e.  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  W )  ->  (
( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD W ) `  T )  =  0  <-> 
T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  W ) ) )  <->  ( T  e.  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  (
( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  T )  =  0  <->  T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  0op  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) ) ) )
25 eqid 2358 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
26 eqid 2358 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  0op  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
27 eqid 2358 . . . 4  |-  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) 
LnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  LnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
28 elimnvu 21367 . . . 4  |-  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  NrmCVec
29 elimnvu 21367 . . . 4  |-  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  NrmCVec
3025, 26, 27, 28, 29nmlno0i 21486 . . 3  |-  ( T  e.  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  LnOp  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  ->  (
( ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) normOp OLD if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  T )  =  0  <->  T  =  ( if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
)  0op  if ( W  e.  NrmCVec ,  W ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
3115, 24, 30dedth2h 3683 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  L  ->  ( ( N `  T
)  =  0  <->  T  =  Z ) ) )
32313impia 1148 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =  0  <->  T  =  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   ifcif 3641   <.cop 3719   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   0cc0 8827    + caddc 8830    x. cmul 8832   abscabs 11815   NrmCVeccnv 21254    LnOp clno 21432   normOp OLDcnmoo 21433    0op c0o 21435
This theorem is referenced by:  nmlnogt0  21489
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-grpo 20970  df-gid 20971  df-ginv 20972  df-ablo 21061  df-vc 21216  df-nv 21262  df-va 21265  df-ba 21266  df-sm 21267  df-0v 21268  df-nmcv 21270  df-lno 21436  df-nmoo 21437  df-0o 21439
  Copyright terms: Public domain W3C validator