MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlno0i Unicode version

Theorem nmlno0i 21486
Description: The norm of a linear operator is zero iff the operator is zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlno0.3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmlno0.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
nmlno0.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
nmlno0i.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmlno0i.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmlno0i  |-  ( T  e.  L  ->  (
( N `  T
)  =  0  <->  T  =  Z ) )

Proof of Theorem nmlno0i
StepHypRef Expression
1 fveq2 5608 . . . 4  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  Z )  ->  ( N `  T )  =  ( N `  if ( T  e.  L ,  T ,  Z ) ) )
21eqeq1d 2366 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  Z )  ->  (
( N `  T
)  =  0  <->  ( N `  if ( T  e.  L ,  T ,  Z )
)  =  0 ) )
3 eqeq1 2364 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  Z )  ->  ( T  =  Z  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  Z )  =  Z ) )
42, 3bibi12d 312 . 2  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  Z )  ->  (
( ( N `  T )  =  0  <-> 
T  =  Z )  <-> 
( ( N `  if ( T  e.  L ,  T ,  Z ) )  =  0  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  Z )  =  Z ) ) )
5 nmlno0.3 . . 3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
6 nmlno0.0 . . 3  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
7 nmlno0.7 . . 3  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
8 nmlno0i.u . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
9 nmlno0i.w . . 3  |-  W  e.  NrmCVec
106, 70lno 21482 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  Z  e.  L )
118, 9, 10mp2an 653 . . . 4  |-  Z  e.  L
1211elimel 3693 . . 3  |-  if ( T  e.  L ,  T ,  Z )  e.  L
13 eqid 2358 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
14 eqid 2358 . . 3  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
15 eqid 2358 . . 3  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
16 eqid 2358 . . 3  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
17 eqid 2358 . . 3  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
18 eqid 2358 . . 3  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
19 eqid 2358 . . 3  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
20 eqid 2358 . . 3  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
215, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20nmlno0lem 21485 . 2  |-  ( ( N `  if ( T  e.  L ,  T ,  Z )
)  =  0  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  Z )  =  Z )
224, 21dedth 3682 1  |-  ( T  e.  L  ->  (
( N `  T
)  =  0  <->  T  =  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1642    e. wcel 1710   ifcif 3641   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   0cc0 8827   NrmCVeccnv 21254   BaseSetcba 21256   .s
OLDcns 21257   0veccn0v 21258   normCVcnmcv 21260    LnOp clno 21432   normOp OLDcnmoo 21433    0op c0o 21435
This theorem is referenced by:  nmlno0  21487  nmlnop0iHIL  22690
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-grpo 20970  df-gid 20971  df-ginv 20972  df-ablo 21061  df-vc 21216  df-nv 21262  df-va 21265  df-ba 21266  df-sm 21267  df-0v 21268  df-nmcv 21270  df-lno 21436  df-nmoo 21437  df-0o 21439
  Copyright terms: Public domain W3C validator