MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlnogt0 Unicode version

Theorem nmlnogt0 21375
Description: The norm of a nonzero linear operator is positive. (Contributed by NM, 10-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlnogt0.3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmlnogt0.0  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
nmlnogt0.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
nmlnogt0  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T  =/=  Z  <->  0  <  ( N `  T ) ) )

Proof of Theorem nmlnogt0
StepHypRef Expression
1 nmlnogt0.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
2 nmlnogt0.0 . . . 4  |-  Z  =  ( U  0op  W
)
3 nmlnogt0.7 . . . 4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
41, 2, 3nmlno0 21373 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =  0  <->  T  =  Z ) )
54necon3bid 2481 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  T  =/=  Z ) )
6 eqid 2283 . . . 4  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
7 eqid 2283 . . . 4  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
86, 7, 3lnof 21333 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
96, 7, 1nmoxr 21344 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
106, 7, 1nmooge0 21345 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
)  ->  0  <_  ( N `  T ) )
11 0xr 8878 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
12 xrlttri2 10476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  (
( N `  T
)  <  0  \/  0  <  ( N `  T ) ) ) )
1311, 12mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( ( N `  T )  e.  RR*  ->  ( ( N `  T )  =/=  0  <->  ( ( N `  T )  <  0  \/  0  < 
( N `  T
) ) ) )
1413adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  (
( N `  T
)  <  0  \/  0  <  ( N `  T ) ) ) )
15 xrlenlt 8890 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( N `  T )  e.  RR* )  ->  (
0  <_  ( N `  T )  <->  -.  ( N `  T )  <  0 ) )
1611, 15mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  T )  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( N `  T )  <->  -.  ( N `  T )  <  0 ) )
1716biimpa 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  -.  ( N `  T )  <  0 )
18 biorf 394 . . . . . 6  |-  ( -.  ( N `  T
)  <  0  ->  ( 0  <  ( N `
 T )  <->  ( ( N `  T )  <  0  \/  0  < 
( N `  T
) ) ) )
1917, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  (
0  <  ( N `  T )  <->  ( ( N `  T )  <  0  \/  0  < 
( N `  T
) ) ) )
2014, 19bitr4d 247 . . . 4  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  T
) )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  0  <  ( N `  T ) ) )
219, 10, 20syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( N `  T )  =/=  0  <->  0  <  ( N `  T )
) )
228, 21syld3an3 1227 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  (
( N `  T
)  =/=  0  <->  0  <  ( N `  T ) ) )
235, 22bitr3d 246 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T  =/=  Z  <->  0  <  ( N `  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   NrmCVeccnv 21140   BaseSetcba 21142    LnOp clno 21318   normOp OLDcnmoo 21319    0op c0o 21321
This theorem is referenced by:  blocni  21383
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-nmcv 21156  df-lno 21322  df-nmoo 21323  df-0o 21325
  Copyright terms: Public domain W3C validator