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Mirrors > Home > HSE Home > Th. List > nmlnop0iALT | Unicode version |
Description: A linear operator with a zero norm is identically zero. (Contributed by NM, 8-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
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nmlnop0.1 |
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nmlnop0iALT |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | normcl 22580 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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2 | 1 | recnd 9070 |
. . . . . . . . . . . . 13
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3 | 2 | adantr 452 |
. . . . . . . . . . . 12
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4 | norm-i 22584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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5 | fveq2 5687 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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6 | nmlnop0.1 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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7 | 6 | lnop0i 23426 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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8 | 5, 7 | syl6eq 2452 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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9 | 4, 8 | syl6bi 220 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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10 | 9 | necon3d 2605 |
. . . . . . . . . . . . 13
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11 | 10 | imp 419 |
. . . . . . . . . . . 12
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12 | 3, 11 | recne0d 9740 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | simpr 448 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | 3, 11 | reccld 9739 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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15 | 6 | lnopfi 23425 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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16 | 15 | ffvelrni 5828 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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17 | 16 | adantr 452 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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18 | hvmul0or 22480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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19 | 14, 17, 18 | syl2anc 643 |
. . . . . . . . . . . . 13
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20 | 19 | necon3abid 2600 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | neanior 2652 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 20, 21 | syl6bbr 255 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 12, 13, 22 | mpbir2and 889 |
. . . . . . . . . 10
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24 | hvmulcl 22469 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 14, 17, 24 | syl2anc 643 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | normgt0 22582 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 25, 26 | syl 16 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 23, 27 | mpbid 202 |
. . . . . . . . 9
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29 | 28 | ex 424 |
. . . . . . . 8
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30 | 29 | adantl 453 |
. . . . . . 7
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31 | nmopsetretHIL 23320 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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32 | 15, 31 | ax-mp 8 |
. . . . . . . . . . . . 13
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33 | ressxr 9085 |
. . . . . . . . . . . . 13
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34 | 32, 33 | sstri 3317 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | simpl 444 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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36 | hvmulcl 22469 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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37 | 14, 35, 36 | syl2anc 643 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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38 | 8 | necon3i 2606 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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39 | norm1 22704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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40 | 38, 39 | sylan2 461 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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41 | 1re 9046 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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42 | 40, 41 | syl6eqel 2492 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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43 | eqle 9132 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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44 | 42, 40, 43 | syl2anc 643 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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45 | 6 | lnopmuli 23428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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46 | 14, 35, 45 | syl2anc 643 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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47 | 46 | eqcomd 2409 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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48 | 47 | fveq2d 5691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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49 | fveq2 5687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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50 | 49 | breq1d 4182 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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51 | fveq2 5687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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52 | 51 | fveq2d 5691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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53 | 52 | eqeq2d 2415 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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54 | 50, 53 | anbi12d 692 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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55 | 54 | rspcev 3012 |
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56 | 37, 44, 48, 55 | syl12anc 1182 |
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57 | fvex 5701 |
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58 | eqeq1 2410 |
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59 | 58 | anbi2d 685 |
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60 | 59 | rexbidv 2687 |
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61 | 57, 60 | elab 3042 |
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62 | 56, 61 | sylibr 204 |
. . . . . . . . . . . 12
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63 | supxrub 10859 |
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64 | 34, 62, 63 | sylancr 645 |
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65 | 64 | adantll 695 |
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66 | nmopval 23312 |
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67 | 15, 66 | ax-mp 8 |
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68 | 67 | eqeq1i 2411 |
. . . . . . . . . . . 12
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69 | 68 | biimpi 187 |
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70 | 69 | ad2antrr 707 |
. . . . . . . . . 10
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71 | 65, 70 | breqtrd 4196 |
. . . . . . . . 9
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72 | normcl 22580 |
. . . . . . . . . . . 12
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73 | 25, 72 | syl 16 |
. . . . . . . . . . 11
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74 | 0re 9047 |
. . . . . . . . . . 11
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75 | lenlt 9110 |
. . . . . . . . . . 11
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76 | 73, 74, 75 | sylancl 644 |
. . . . . . . . . 10
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77 | 76 | adantll 695 |
. . . . . . . . 9
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78 | 71, 77 | mpbid 202 |
. . . . . . . 8
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79 | 78 | ex 424 |
. . . . . . 7
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80 | 30, 79 | pm2.65d 168 |
. . . . . 6
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81 | nne 2571 |
. . . . . 6
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82 | 80, 81 | sylib 189 |
. . . . 5
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83 | ho0val 23206 |
. . . . . 6
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84 | 83 | adantl 453 |
. . . . 5
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85 | 82, 84 | eqtr4d 2439 |
. . . 4
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86 | 85 | ralrimiva 2749 |
. . 3
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87 | ffn 5550 |
. . . . 5
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88 | 15, 87 | ax-mp 8 |
. . . 4
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89 | ho0f 23207 |
. . . . 5
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90 | ffn 5550 |
. . . . 5
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91 | 89, 90 | ax-mp 8 |
. . . 4
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92 | eqfnfv 5786 |
. . . 4
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93 | 88, 91, 92 | mp2an 654 |
. . 3
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94 | 86, 93 | sylibr 204 |
. 2
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95 | fveq2 5687 |
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96 | nmop0 23442 |
. . 3
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97 | 95, 96 | syl6eq 2452 |
. 2
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98 | 94, 97 | impbii 181 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-3 7 ax-mp 8 ax-gen 1552 ax-5 1563 ax-17 1623 ax-9 1662 ax-8 1683 ax-13 1723 ax-14 1725 ax-6 1740 ax-7 1745 ax-11 1757 ax-12 1946 ax-ext 2385 ax-rep 4280 ax-sep 4290 ax-nul 4298 ax-pow 4337 ax-pr 4363 ax-un 4660 ax-inf2 7552 ax-cc 8271 ax-cnex 9002 ax-resscn 9003 ax-1cn 9004 ax-icn 9005 ax-addcl 9006 ax-addrcl 9007 ax-mulcl 9008 ax-mulrcl 9009 ax-mulcom 9010 ax-addass 9011 ax-mulass 9012 ax-distr 9013 ax-i2m1 9014 ax-1ne0 9015 ax-1rid 9016 ax-rnegex 9017 ax-rrecex 9018 ax-cnre 9019 ax-pre-lttri 9020 ax-pre-lttrn 9021 ax-pre-ltadd 9022 ax-pre-mulgt0 9023 ax-pre-sup 9024 ax-addf 9025 ax-mulf 9026 ax-hilex 22455 ax-hfvadd 22456 ax-hvcom 22457 ax-hvass 22458 ax-hv0cl 22459 ax-hvaddid 22460 ax-hfvmul 22461 ax-hvmulid 22462 ax-hvmulass 22463 ax-hvdistr1 22464 ax-hvdistr2 22465 ax-hvmul0 22466 ax-hfi 22534 ax-his1 22537 ax-his2 22538 ax-his3 22539 ax-his4 22540 ax-hcompl 22657 |
This theorem depends on definitions: df-bi 178 df-or 360 df-an 361 df-3or 937 df-3an 938 df-tru 1325 df-ex 1548 df-nf 1551 df-sb 1656 df-eu 2258 df-mo 2259 df-clab 2391 df-cleq 2397 df-clel 2400 df-nfc 2529 df-ne 2569 df-nel 2570 df-ral 2671 df-rex 2672 df-reu 2673 df-rmo 2674 df-rab 2675 df-v 2918 df-sbc 3122 df-csb 3212 df-dif 3283 df-un 3285 df-in 3287 df-ss 3294 df-pss 3296 df-nul 3589 df-if 3700 df-pw 3761 df-sn 3780 df-pr 3781 df-tp 3782 df-op 3783 df-uni 3976 df-int 4011 df-iun 4055 df-iin 4056 df-br 4173 df-opab 4227 df-mpt 4228 df-tr 4263 df-eprel 4454 df-id 4458 df-po 4463 df-so 4464 df-fr 4501 df-se 4502 df-we 4503 df-ord 4544 df-on 4545 df-lim 4546 df-suc 4547 df-om 4805 df-xp 4843 df-rel 4844 df-cnv 4845 df-co 4846 df-dm 4847 df-rn 4848 df-res 4849 df-ima 4850 df-iota 5377 df-fun 5415 df-fn 5416 df-f 5417 df-f1 5418 df-fo 5419 df-f1o 5420 df-fv 5421 df-isom 5422 df-ov 6043 df-oprab 6044 df-mpt2 6045 df-of 6264 df-1st 6308 df-2nd 6309 df-riota 6508 df-recs 6592 df-rdg 6627 df-1o 6683 df-2o 6684 df-oadd 6687 df-omul 6688 df-er 6864 df-map 6979 df-pm 6980 df-ixp 7023 df-en 7069 df-dom 7070 df-sdom 7071 df-fin 7072 df-fi 7374 df-sup 7404 df-oi 7435 df-card 7782 df-acn 7785 df-cda 8004 df-pnf 9078 df-mnf 9079 df-xr 9080 df-ltxr 9081 df-le 9082 df-sub 9249 df-neg 9250 df-div 9634 df-nn 9957 df-2 10014 df-3 10015 df-4 10016 df-5 10017 df-6 10018 df-7 10019 df-8 10020 df-9 10021 df-10 10022 df-n0 10178 df-z 10239 df-dec 10339 df-uz 10445 df-q 10531 df-rp 10569 df-xneg 10666 df-xadd 10667 df-xmul 10668 df-ioo 10876 df-ico 10878 df-icc 10879 df-fz 11000 df-fzo 11091 df-fl 11157 df-seq 11279 df-exp 11338 df-hash 11574 df-cj 11859 df-re 11860 df-im 11861 df-sqr 11995 df-abs 11996 df-clim 12237 df-rlim 12238 df-sum 12435 df-struct 13426 df-ndx 13427 df-slot 13428 df-base 13429 df-sets 13430 df-ress 13431 df-plusg 13497 df-mulr 13498 df-starv 13499 df-sca 13500 df-vsca 13501 df-tset 13503 df-ple 13504 df-ds 13506 df-unif 13507 df-hom 13508 df-cco 13509 df-rest 13605 df-topn 13606 df-topgen 13622 df-pt 13623 df-prds 13626 df-xrs 13681 df-0g 13682 df-gsum 13683 df-qtop 13688 df-imas 13689 df-xps 13691 df-mre 13766 df-mrc 13767 df-acs 13769 df-mnd 14645 df-submnd 14694 df-mulg 14770 df-cntz 15071 df-cmn 15369 df-psmet 16649 df-xmet 16650 df-met 16651 df-bl 16652 df-mopn 16653 df-fbas 16654 df-fg 16655 df-cnfld 16659 df-top 16918 df-bases 16920 df-topon 16921 df-topsp 16922 df-cld 17038 df-ntr 17039 df-cls 17040 df-nei 17117 df-cn 17245 df-cnp 17246 df-lm 17247 df-haus 17333 df-tx 17547 df-hmeo 17740 df-fil 17831 df-fm 17923 df-flim 17924 df-flf 17925 df-xms 18303 df-ms 18304 df-tms 18305 df-cfil 19161 df-cau 19162 df-cmet 19163 df-grpo 21732 df-gid 21733 df-ginv 21734 df-gdiv 21735 df-ablo 21823 df-subgo 21843 df-vc 21978 df-nv 22024 df-va 22027 df-ba 22028 df-sm 22029 df-0v 22030 df-vs 22031 df-nmcv 22032 df-ims 22033 df-dip 22150 df-ssp 22174 df-ph 22267 df-cbn 22318 df-hnorm 22424 df-hba 22425 df-hvsub 22427 df-hlim 22428 df-hcau 22429 df-sh 22662 df-ch 22677 df-oc 22707 df-ch0 22708 df-shs 22763 df-pjh 22850 df-h0op 23204 df-nmop 23295 df-lnop 23297 |
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