Theorem nmlnoubi 8456

Description: An upper bound for the operator norm of a linear operator, using only the properties of nonzero arguments.

Hypotheses

Ref	Expression
nmlnoubi.1	|- X = (Base` U)
nmlnoubi.z	|- Z = (0v` U)
nmlnoubi.k	|- K = (norm` U)
nmlnoubi.m	|- M = (norm` W)
nmlnoubi.3	|- N = (UnormOpW)
nmlnoubi.7	|- L = (U LnOp W)
nmlnoubi.u	|- U e. NrmCVec
nmlnoubi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmlnoubi	|- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. X (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) -> (N` T) <_ A)

Distinct variable groups:   x,A   x,K   x,L   x,M   x,T   x,X   x,W

Proof of Theorem nmlnoubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmlnoubi.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		eqid 1475	. . . 4 |- (Base` W) = (Base` W)
3		nmlnoubi.k	. . . 4 |- K = (norm` U)
4		nmlnoubi.m	. . . 4 |- M = (norm` W)
5		nmlnoubi.3	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
6		nmlnoubi.u	. . . 4 |- U e. NrmCVec
7		nmlnoubi.w	. . . 4 |- W e. NrmCVec
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	nmoub2i 8437	. . 3 |- ((T:X-->(Base` W) /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) -> (N` T) <_ A)
9		nmlnoubi.7	. . . . 5 |- L = (U LnOp W)
10	1, 2, 9	lnof 8416	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->(Base` W))
11	6, 7, 10	mp3an12 906	. . 3 |- (T e. L -> T:X-->(Base` W))
12	8, 11	syl3an1 859	. 2 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) -> (N` T) <_ A)
13		fveq2 3724	. . . . . . . 8 |- (x = Z -> (T` x) = (T` Z))
14	13	fveq2d 3728	. . . . . . 7 |- (x = Z -> (M` (T` x)) = (M` (T` Z)))
15		fveq2 3724	. . . . . . . 8 |- (x = Z -> (K` x) = (K` Z))
16	15	opreq2d 3976	. . . . . . 7 |- (x = Z -> (A x. (K` x)) = (A x. (K` Z)))
17	14, 16	breq12d 2631	. . . . . 6 |- (x = Z -> ((M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)) <-> (M` (T` Z)) <_ (A x. (K` Z))))
18		id 59	. . . . . . . 8 |- ((x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) -> (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))))
19	18	imp 350	. . . . . . 7 |- (((x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) /\ x =/= Z) -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))
20	19	adantll 392	. . . . . 6 |- ((((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) /\ x =/= Z) -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))
21		0re 5440	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
22	21	leid 5610	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
23	22	a1i 8	. . . . . . . 8 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> 0 <_ 0)
24		nmlnoubi.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = (0v` U)
25		eqid 1475	. . . . . . . . . . . . 13 |- (0v` W) = (0v` W)
26	1, 2, 24, 25, 9	lno0 8417	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> (T` Z) = (0v` W))
27	6, 7, 26	mp3an12 906	. . . . . . . . . . 11 |- (T e. L -> (T` Z) = (0v` W))
28	27	fveq2d 3728	. . . . . . . . . 10 |- (T e. L -> (M` (T` Z)) = (M` (0v` W)))
29	25, 4	nvz0 8296	. . . . . . . . . . 11 |- (W e. NrmCVec -> (M` (0v` W)) = 0)
30	7, 29	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (M` (0v` W)) = 0
31	28, 30	syl6eq 1523	. . . . . . . . 9 |- (T e. L -> (M` (T` Z)) = 0)
32	31	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (M` (T` Z)) = 0)
33		recnt 5313	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. RR -> A e. CC)
34		mul01t 5443	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> (A x. 0) = 0)
35	33, 34	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (A e. RR -> (A x. 0) = 0)
36	24, 3	nvz0 8296	. . . . . . . . . . . 12 |- (U e. NrmCVec -> (K` Z) = 0)
37	6, 36	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (K` Z) = 0
38	37	opreq2i 3972	. . . . . . . . . 10 |- (A x. (K` Z)) = (A x. 0)
39	35, 38	syl5eq 1519	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> (A x. (K` Z)) = 0)
40	39	ad2antrl 406	. . . . . . . 8 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A x. (K` Z)) = 0)
41	23, 32, 40	3brtr4d 2645	. . . . . . 7 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (M` (T` Z)) <_ (A x. (K` Z)))
42	41	adantr 389	. . . . . 6 |- (((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) -> (M` (T` Z)) <_ (A x. (K` Z)))
43	17, 20, 42	pm2.61ne 1633	. . . . 5 |- (((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) /\ (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))
44	43	ex 373	. . . 4 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> ((x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))))
45	44	r19.20sdv 1710	. . 3 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A)) -> (A.x e. X (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))) -> A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x))))
46	45	3impia 830	. 2 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. X (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) -> A.x e. X (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))
47	12, 46	syld3an3 870	1 |- ((T e. L /\ (A e. RR /\ 0 <_ A) /\ A.x e. X (x =/= Z -> (M` (T` x)) <_ (A x. (K` x)))) -> (N` T) <_ A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645   class class class wbr 2619  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   x. cmul 5239   <_ cle 5295  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  0vcn0v 8207  normcnm 8209   LnOp clno 8401  normOpcnmo 8402

This theorem is referenced by:  ubthlem13 8541

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219  df-lno 8405  df-nmo 8406

Copyright terms: Public domain