Theorem nmo0 8451

Description: The operator norm of the zero operator.

Hypotheses

Ref	Expression
nmo0.3	|- N = (UnormOpW)
nmo0.0	|- Z = (U 0op W)

Assertion

Ref	Expression
nmo0	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = 0)

Proof of Theorem nmo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . . . 5 |- (Base` U) = (Base` U)
2		eqid 1475	. . . . 5 |- (Base` W) = (Base` W)
3		nmo0.0	. . . . 5 |- Z = (U 0op W)
4	1, 2, 3	0oo 8449	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> Z:(Base` U)-->(Base` W))
5		eqid 1475	. . . . 5 |- (norm` U) = (norm` U)
6		eqid 1475	. . . . 5 |- (norm` W) = (norm` W)
7		nmo0.3	. . . . 5 |- N = (UnormOpW)
8	1, 2, 5, 6, 7	nmoval 8426	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ Z:(Base` U)-->(Base` W)) -> (N` Z) = sup({x | E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ))
9	4, 8	mpd3an3 917	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = sup({x | E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ))
10		fveq2 3724	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = (0v` U) -> ((norm` U)` z) = ((norm` U)` (0v` U)))
11	10	breq1d 2629	. . . . . . . . . . 11 |- (z = (0v` U) -> (((norm` U)` z) <_ 1 <-> ((norm` U)` (0v` U)) <_ 1))
12	11	rcla4ev 1877	. . . . . . . . . 10 |- (((0v` U) e. (Base` U) /\ ((norm` U)` (0v` U)) <_ 1) -> E.z e. (Base` U)((norm` U)` z) <_ 1)
13		eqid 1475	. . . . . . . . . . 11 |- (0v` U) = (0v` U)
14	1, 13	nvzcl 8255	. . . . . . . . . 10 |- (U e. NrmCVec -> (0v` U) e. (Base` U))
15	13, 5	nvz0 8296	. . . . . . . . . . 11 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` U)` (0v` U)) = 0)
16		0re 5440	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
17		1re 5435	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
18		lt01 5680	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
19	16, 17, 18	ltlei 5581	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
20	15, 19	syl6eqbr 2652	. . . . . . . . . 10 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` U)` (0v` U)) <_ 1)
21	12, 14, 20	sylanc 471	. . . . . . . . 9 |- (U e. NrmCVec -> E.z e. (Base` U)((norm` U)` z) <_ 1)
22	21	biantrurd 727	. . . . . . . 8 |- (U e. NrmCVec -> (x = 0 <-> (E.z e. (Base` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
23	22	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (x = 0 <-> (E.z e. (Base` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
24		eqid 1475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (0v` W) = (0v` W)
25	1, 24, 3	0oval 8448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ z e. (Base` U)) -> (Z` z) = (0v` W))
26	25	3expa 833	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (Base` U)) -> (Z` z) = (0v` W))
27	26	fveq2d 3728	. . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (Base` U)) -> ((norm` W)` (Z` z)) = ((norm` W)` (0v` W)))
28	24, 6	nvz0 8296	. . . . . . . . . . . . 13 |- (W e. NrmCVec -> ((norm` W)` (0v` W)) = 0)
29	28	ad2antlr 405	. . . . . . . . . . . 12 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (Base` U)) -> ((norm` W)` (0v` W)) = 0)
30	27, 29	eqtrd 1507	. . . . . . . . . . 11 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (Base` U)) -> ((norm` W)` (Z` z)) = 0)
31	30	eqeq2d 1486	. . . . . . . . . 10 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (Base` U)) -> (x = ((norm` W)` (Z` z)) <-> x = 0))
32	31	anbi2d 616	. . . . . . . . 9 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ z e. (Base` U)) -> ((((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z))) <-> (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
33	32	rexbidva 1660	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z))) <-> E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0)))
34		r19.41v 1763	. . . . . . . 8 |- (E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0) <-> (E.z e. (Base` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0))
35	33, 34	syl6rbb 537	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> ((E.z e. (Base` U)((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = 0) <-> E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))))
36	23, 35	bitrd 528	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (x = 0 <-> E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))))
37	36	abbidv 1577	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> {x | x = 0} = {x | E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))})
38		df-sn 2412	. . . . 5 |- {0} = {x | x = 0}
39	37, 38	syl5req 1520	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> {x | E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))} = {0})
40		supeq1 4575	. . . 4 |- ({x | E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))} = {0} -> sup({x | E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ) = sup({0}, RR*, < ))
41	39, 40	syl 10	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> sup({x | E.z e. (Base` U)(((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (Z` z)))}, RR*, < ) = sup({0}, RR*, < ))
42	9, 41	eqtrd 1507	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = sup({0}, RR*, < ))
43		rexrt 5499	. . . 4 |- (0 e. RR -> 0 e. RR*)
44	16, 43	ax-mp 7	. . 3 |- 0 e. RR*
45		xrltso 5554	. . . 4 |- < Or RR*
46	45	supsn 4591	. . 3 |- (0 e. RR* -> sup({0}, RR*, < ) = 0)
47	44, 46	ax-mp 7	. 2 |- sup({0}, RR*, < ) = 0
48	42, 47	syl6eq 1523	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (N` Z) = 0)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  E.wrex 1646  {csn 2409   class class class wbr 2619  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   <_ cle 5295  RR*cxr 5485   < clt 5486  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  0vcn0v 8207  normcnm 8209  normOpcnmo 8402   0op c0o 8404

This theorem is referenced by:  0blo 8452  nmlno0lem 8453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219  df-nmo 8406  df-0o 8408

Copyright terms: Public domain