MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmobndi Unicode version

Theorem nmobndi 21353
Description: Two ways to express that an operator is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndi  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
Distinct variable groups:    y, r, L    y, U    y, W    Y, r, y    M, r, y    T, r, y    X, r, y    N, r, y
Allowed substitution hints:    U( r)    W( r)

Proof of Theorem nmobndi
StepHypRef Expression
1 leid 8916 . . . 4  |-  ( ( N `  T )  e.  RR  ->  ( N `  T )  <_  ( N `  T
) )
2 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( r  =  ( N `  T )  ->  (
( N `  T
)  <_  r  <->  ( N `  T )  <_  ( N `  T )
) )
32rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR  /\  ( N `  T )  <_  ( N `  T ) )  ->  E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r )
41, 3mpdan 649 . . 3  |-  ( ( N `  T )  e.  RR  ->  E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r
)
5 nmoubi.u . . . . . . . 8  |-  U  e.  NrmCVec
6 nmoubi.w . . . . . . . 8  |-  W  e.  NrmCVec
7 nmoubi.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 nmoubi.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
9 nmoubi.3 . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
107, 8, 9nmoxr 21344 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
115, 6, 10mp3an12 1267 . . . . . . 7  |-  ( T : X --> Y  -> 
( N `  T
)  e.  RR* )
1211adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
13 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  r  e.  RR )
147, 8, 9nmogtmnf 21348 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  -oo  <  ( N `  T ) )
155, 6, 14mp3an12 1267 . . . . . . 7  |-  ( T : X --> Y  ->  -oo  <  ( N `  T ) )
1615adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  -oo  <  ( N `  T )
)
17 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  ( N `  T )  <_  r
)
18 xrre 10498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  T )  e.  RR*  /\  r  e.  RR )  /\  (  -oo  <  ( N `  T )  /\  ( N `  T )  <_  r
) )  ->  ( N `  T )  e.  RR )
1912, 13, 16, 17, 18syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR )
2019expr 598 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( N `  T )  <_  r  ->  ( N `  T
)  e.  RR ) )
2120rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r  ->  ( N `  T
)  e.  RR ) )
224, 21impbid2 195 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r ) )
23 rexr 8877 . . . 4  |-  ( r  e.  RR  ->  r  e.  RR* )
24 nmoubi.l . . . . 5  |-  L  =  ( normCV `  U )
25 nmoubi.m . . . . 5  |-  M  =  ( normCV `  W )
267, 8, 24, 25, 9, 5, 6nmoubi 21350 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR* )  -> 
( ( N `  T )  <_  r  <->  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
2723, 26sylan2 460 . . 3  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( N `  T )  <_  r  <->  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
2827rexbidva 2560 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
2922, 28bitrd 244 1  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   NrmCVeccnv 21140   BaseSetcba 21142   normCVcnmcv 21146   normOp OLDcnmoo 21319
This theorem is referenced by:  nmounbi  21354  nmobndseqi  21357  nmobndseqiOLD  21358  htthlem  21497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-nmcv 21156  df-nmoo 21323
  Copyright terms: Public domain W3C validator