MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmobndi Structured version   Unicode version

Theorem nmobndi 22278
Description: Two ways to express that an operator is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndi  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
Distinct variable groups:    y, r, L    y, U    y, W    Y, r, y    M, r, y    T, r, y    X, r, y    N, r, y
Allowed substitution hints:    U( r)    W( r)

Proof of Theorem nmobndi
StepHypRef Expression
1 leid 9171 . . . 4  |-  ( ( N `  T )  e.  RR  ->  ( N `  T )  <_  ( N `  T
) )
2 breq2 4218 . . . . 5  |-  ( r  =  ( N `  T )  ->  (
( N `  T
)  <_  r  <->  ( N `  T )  <_  ( N `  T )
) )
32rspcev 3054 . . . 4  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR  /\  ( N `  T )  <_  ( N `  T ) )  ->  E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r )
41, 3mpdan 651 . . 3  |-  ( ( N `  T )  e.  RR  ->  E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r
)
5 nmoubi.u . . . . . . 7  |-  U  e.  NrmCVec
6 nmoubi.w . . . . . . 7  |-  W  e.  NrmCVec
7 nmoubi.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 nmoubi.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
9 nmoubi.3 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
107, 8, 9nmoxr 22269 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
115, 6, 10mp3an12 1270 . . . . . 6  |-  ( T : X --> Y  -> 
( N `  T
)  e.  RR* )
1211adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
13 simprl 734 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  r  e.  RR )
147, 8, 9nmogtmnf 22273 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  -oo  <  ( N `  T ) )
155, 6, 14mp3an12 1270 . . . . . 6  |-  ( T : X --> Y  ->  -oo  <  ( N `  T ) )
1615adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  -oo  <  ( N `  T )
)
17 simprr 735 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  ( N `  T )  <_  r
)
18 xrre 10759 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N `  T )  e.  RR*  /\  r  e.  RR )  /\  (  -oo  <  ( N `  T )  /\  ( N `  T )  <_  r
) )  ->  ( N `  T )  e.  RR )
1912, 13, 16, 17, 18syl22anc 1186 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR )
2019rexlimdvaa 2833 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r  ->  ( N `  T
)  e.  RR ) )
214, 20impbid2 197 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r ) )
22 rexr 9132 . . . 4  |-  ( r  e.  RR  ->  r  e.  RR* )
23 nmoubi.l . . . . 5  |-  L  =  ( normCV `  U )
24 nmoubi.m . . . . 5  |-  M  =  ( normCV `  W )
257, 8, 23, 24, 9, 5, 6nmoubi 22275 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR* )  -> 
( ( N `  T )  <_  r  <->  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
2622, 25sylan2 462 . . 3  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( N `  T )  <_  r  <->  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
2726rexbidva 2724 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
2821, 27bitrd 246 1  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   class class class wbr 4214   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   1c1 8993    -oocmnf 9120   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   NrmCVeccnv 22065   BaseSetcba 22067   normCVcnmcv 22071   normOp OLDcnmoo 22244
This theorem is referenced by:  nmounbi  22279  nmobndseqi  22282  nmobndseqiOLD  22283  htthlem  22422
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-grpo 21781  df-gid 21782  df-ginv 21783  df-ablo 21872  df-vc 22027  df-nv 22073  df-va 22076  df-ba 22077  df-sm 22078  df-0v 22079  df-nmcv 22081  df-nmoo 22248
  Copyright terms: Public domain W3C validator