MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmobndi Unicode version

Theorem nmobndi 21369
Description: Two ways to express that an operator is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndi  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
Distinct variable groups:    y, r, L    y, U    y, W    Y, r, y    M, r, y    T, r, y    X, r, y    N, r, y
Allowed substitution hints:    U( r)    W( r)

Proof of Theorem nmobndi
StepHypRef Expression
1 leid 8932 . . . 4  |-  ( ( N `  T )  e.  RR  ->  ( N `  T )  <_  ( N `  T
) )
2 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( r  =  ( N `  T )  ->  (
( N `  T
)  <_  r  <->  ( N `  T )  <_  ( N `  T )
) )
32rspcev 2897 . . . 4  |-  ( ( ( N `  T
)  e.  RR  /\  ( N `  T )  <_  ( N `  T ) )  ->  E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r )
41, 3mpdan 649 . . 3  |-  ( ( N `  T )  e.  RR  ->  E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r
)
5 nmoubi.u . . . . . . . 8  |-  U  e.  NrmCVec
6 nmoubi.w . . . . . . . 8  |-  W  e.  NrmCVec
7 nmoubi.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
8 nmoubi.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
9 nmoubi.3 . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
107, 8, 9nmoxr 21360 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
115, 6, 10mp3an12 1267 . . . . . . 7  |-  ( T : X --> Y  -> 
( N `  T
)  e.  RR* )
1211adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR* )
13 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  r  e.  RR )
147, 8, 9nmogtmnf 21364 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T : X
--> Y )  ->  -oo  <  ( N `  T ) )
155, 6, 14mp3an12 1267 . . . . . . 7  |-  ( T : X --> Y  ->  -oo  <  ( N `  T ) )
1615adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  -oo  <  ( N `  T )
)
17 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  ( N `  T )  <_  r
)
18 xrre 10514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  T )  e.  RR*  /\  r  e.  RR )  /\  (  -oo  <  ( N `  T )  /\  ( N `  T )  <_  r
) )  ->  ( N `  T )  e.  RR )
1912, 13, 16, 17, 18syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( T : X --> Y  /\  ( r  e.  RR  /\  ( N `  T
)  <_  r )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR )
2019expr 598 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( N `  T )  <_  r  ->  ( N `  T
)  e.  RR ) )
2120rexlimdva 2680 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r  ->  ( N `  T
)  e.  RR ) )
224, 21impbid2 195 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r ) )
23 rexr 8893 . . . 4  |-  ( r  e.  RR  ->  r  e.  RR* )
24 nmoubi.l . . . . 5  |-  L  =  ( normCV `  U )
25 nmoubi.m . . . . 5  |-  M  =  ( normCV `  W )
267, 8, 24, 25, 9, 5, 6nmoubi 21366 . . . 4  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR* )  -> 
( ( N `  T )  <_  r  <->  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
2723, 26sylan2 460 . . 3  |-  ( ( T : X --> Y  /\  r  e.  RR )  ->  ( ( N `  T )  <_  r  <->  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
2827rexbidva 2573 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( E. r  e.  RR  ( N `  T )  <_  r  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
2922, 28bitrd 244 1  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. r  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   1c1 8754    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   NrmCVeccnv 21156   BaseSetcba 21158   normCVcnmcv 21162   normOp OLDcnmoo 21335
This theorem is referenced by:  nmounbi  21370  nmobndseqi  21373  nmobndseqiOLD  21374  htthlem  21513
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-nmcv 21172  df-nmoo 21339
  Copyright terms: Public domain W3C validator