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Theorem nmobndseqiOLD 21413
Description: A bounded sequence determines a bounded operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
nmoubi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
nmoubi.l  |-  L  =  ( normCV `  U )
nmoubi.m  |-  M  =  ( normCV `  W )
nmoubi.3  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
nmoubi.u  |-  U  e.  NrmCVec
nmoubi.w  |-  W  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndseqiOLD  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR )
Distinct variable groups:    f, k, L    k, Y    f, M, k    T, f, k    f, X, k    k, N
Allowed substitution hints:    U( f, k)    N( f)    W( f, k)    Y( f)

Proof of Theorem nmobndseqiOLD
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 impexp 433 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
)  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  <->  ( f : NN --> X  -> 
( A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
2 r19.35 2721 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  (
( L `  (
f `  k )
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k )  <->  ( A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )
)
32imbi2i 303 . . . . . 6  |-  ( ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) )  <-> 
( f : NN --> X  ->  ( A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
41, 3bitr4i 243 . . . . 5  |-  ( ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
)  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  <->  ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `  ( f `  k
) )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
54albii 1557 . . . 4  |-  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) ) )
6 nnex 9797 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
7 fveq2 5563 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( L `  y )  =  ( L `  ( f `  k
) ) )
87breq1d 4070 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( L `  y
)  <_  1  <->  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
) )
9 fveq2 5563 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( T `  y )  =  ( T `  ( f `  k
) ) )
109fveq2d 5567 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  ( M `  ( T `  y ) )  =  ( M `  ( T `  ( f `  k ) ) ) )
1110breq1d 4070 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( M `  ( T `  y )
)  <_  k  <->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )
128, 11imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  k )  ->  (
( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y )
)  <_  k )  <->  ( ( L `  (
f `  k )
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 ( f `  k ) ) )  <_  k ) ) )
136, 12ac6n 8157 . . . . 5  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  ->  E. k  e.  NN  A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  k
) )
14 nnre 9798 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
1514anim1i 551 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )  ->  ( k  e.  RR  /\  A. y  e.  X  ( ( L `  y )  <_  1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  k
) ) )
1615reximi2 2683 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  NN  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k )  ->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
1713, 16syl 15 . . . 4  |-  ( A. f ( f : NN --> X  ->  E. k  e.  NN  ( ( L `
 ( f `  k ) )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  (
f `  k )
) )  <_  k
) )  ->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `
 y )  <_ 
1  ->  ( M `  ( T `  y
) )  <_  k
) )
185, 17sylbi 187 . . 3  |-  ( A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  ->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  ( ( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) )
19 nmoubi.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
20 nmoubi.y . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
21 nmoubi.l . . . 4  |-  L  =  ( normCV `  U )
22 nmoubi.m . . . 4  |-  M  =  ( normCV `  W )
23 nmoubi.3 . . . 4  |-  N  =  ( U normOp OLD W
)
24 nmoubi.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
25 nmoubi.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
2619, 20, 21, 22, 23, 24, 25nmobndi 21408 . . 3  |-  ( T : X --> Y  -> 
( ( N `  T )  e.  RR  <->  E. k  e.  RR  A. y  e.  X  (
( L `  y
)  <_  1  ->  ( M `  ( T `
 y ) )  <_  k ) ) )
2718, 26syl5ibr 212 . 2  |-  ( T : X --> Y  -> 
( A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k
) )  <_  1
)  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )  ->  ( N `  T
)  e.  RR ) )
2827imp 418 1  |-  ( ( T : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( L `  ( f `  k ) )  <_ 
1 )  ->  E. k  e.  NN  ( M `  ( T `  ( f `
 k ) ) )  <_  k )
)  ->  ( N `  T )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1531    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578   class class class wbr 4060   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   RRcr 8781   1c1 8783    <_ cle 8913   NNcn 9791   NrmCVeccnv 21195   BaseSetcba 21197   normCVcnmcv 21201   normOp OLDcnmoo 21374
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-reg 7351  ax-inf2 7387  ax-ac2 8134  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-r1 7481  df-rank 7482  df-card 7617  df-ac 7788  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-grpo 20911  df-gid 20912  df-ginv 20913  df-ablo 21002  df-vc 21157  df-nv 21203  df-va 21206  df-ba 21207  df-sm 21208  df-0v 21209  df-nmcv 21211  df-nmoo 21378
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