Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoco Structured version   Unicode version

Theorem nmoco 18771
 Description: An upper bound on the operator norm of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoco.1
nmoco.2
nmoco.3
Assertion
Ref Expression
nmoco NGHom NGHom

Proof of Theorem nmoco
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoco.1 . 2
2 eqid 2436 . 2
3 eqid 2436 . 2
4 eqid 2436 . 2
5 eqid 2436 . 2
6 nghmrcl1 18766 . . 3 NGHom NrmGrp
76adantl 453 . 2 NGHom NGHom NrmGrp
8 nghmrcl2 18767 . . 3 NGHom NrmGrp
98adantr 452 . 2 NGHom NGHom NrmGrp
10 nghmghm 18768 . . 3 NGHom
11 nghmghm 18768 . . 3 NGHom
12 ghmco 15025 . . 3
1310, 11, 12syl2an 464 . 2 NGHom NGHom
14 nmoco.2 . . . 4
1514nghmcl 18761 . . 3 NGHom
16 nmoco.3 . . . 4
1716nghmcl 18761 . . 3 NGHom
18 remulcl 9075 . . 3
1915, 17, 18syl2an 464 . 2 NGHom NGHom
20 nghmrcl1 18766 . . . . 5 NGHom NrmGrp
2114nmoge0 18755 . . . . 5 NrmGrp NrmGrp
2220, 8, 10, 21syl3anc 1184 . . . 4 NGHom
2315, 22jca 519 . . 3 NGHom
24 nghmrcl2 18767 . . . . 5 NGHom NrmGrp
2516nmoge0 18755 . . . . 5 NrmGrp NrmGrp
266, 24, 11, 25syl3anc 1184 . . . 4 NGHom
2717, 26jca 519 . . 3 NGHom
28 mulge0 9545 . . 3
2923, 27, 28syl2an 464 . 2 NGHom NGHom
308ad2antrr 707 . . . . 5 NGHom NGHom NrmGrp
3110ad2antrr 707 . . . . . . 7 NGHom NGHom
32 eqid 2436 . . . . . . . 8
33 eqid 2436 . . . . . . . 8
3432, 33ghmf 15010 . . . . . . 7
3531, 34syl 16 . . . . . 6 NGHom NGHom
3611ad2antlr 708 . . . . . . . 8 NGHom NGHom
372, 32ghmf 15010 . . . . . . . 8
3836, 37syl 16 . . . . . . 7 NGHom NGHom
39 simprl 733 . . . . . . 7 NGHom NGHom
4038, 39ffvelrnd 5871 . . . . . 6 NGHom NGHom
4135, 40ffvelrnd 5871 . . . . 5 NGHom NGHom
4233, 4nmcl 18662 . . . . 5 NrmGrp
4330, 41, 42syl2anc 643 . . . 4 NGHom NGHom
4415ad2antrr 707 . . . . 5 NGHom NGHom
4520ad2antrr 707 . . . . . 6 NGHom NGHom NrmGrp
46 eqid 2436 . . . . . . 7
4732, 46nmcl 18662 . . . . . 6 NrmGrp
4845, 40, 47syl2anc 643 . . . . 5 NGHom NGHom
4944, 48remulcld 9116 . . . 4 NGHom NGHom
5017ad2antlr 708 . . . . . 6 NGHom NGHom
512, 3nmcl 18662 . . . . . . . 8 NrmGrp
526, 51sylan 458 . . . . . . 7 NGHom
5352ad2ant2lr 729 . . . . . 6 NGHom NGHom
5450, 53remulcld 9116 . . . . 5 NGHom NGHom
5544, 54remulcld 9116 . . . 4 NGHom NGHom
56 simpll 731 . . . . 5 NGHom NGHom NGHom
5714, 32, 46, 4nmoi 18762 . . . . 5 NGHom
5856, 40, 57syl2anc 643 . . . 4 NGHom NGHom
5923ad2antrr 707 . . . . 5 NGHom NGHom
6016, 2, 3, 46nmoi 18762 . . . . . 6 NGHom
6160ad2ant2lr 729 . . . . 5 NGHom NGHom
62 lemul2a 9865 . . . . 5
6348, 54, 59, 61, 62syl31anc 1187 . . . 4 NGHom NGHom
6443, 49, 55, 58, 63letrd 9227 . . 3 NGHom NGHom
65 fvco3 5800 . . . . 5
6638, 39, 65syl2anc 643 . . . 4 NGHom NGHom
6766fveq2d 5732 . . 3 NGHom NGHom
6844recnd 9114 . . . 4 NGHom NGHom
6950recnd 9114 . . . 4 NGHom NGHom
7053recnd 9114 . . . 4 NGHom NGHom
7168, 69, 70mulassd 9111 . . 3 NGHom NGHom
7264, 67, 713brtr4d 4242 . 2 NGHom NGHom
731, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 13, 19, 29, 72nmolb2d 18752 1 NGHom NGHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599   class class class wbr 4212   ccom 4882  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cr 8989  cc0 8990   cmul 8995   cle 9121  cbs 13469  c0g 13723   cghm 15003  cnm 18624  NrmGrpcngp 18625  cnmo 18739   NGHom cnghm 18740 This theorem is referenced by:  nghmco  18772 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-ghm 15004  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-xms 18350  df-ms 18351  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-nmo 18742  df-nghm 18743
 Copyright terms: Public domain W3C validator