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Theorem nmoco 18771
Description: An upper bound on the operator norm of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoco.1  |-  N  =  ( S normOp U )
nmoco.2  |-  L  =  ( T normOp U )
nmoco.3  |-  M  =  ( S normOp T )
Assertion
Ref Expression
nmoco  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  o.  G
) )  <_  (
( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )

Proof of Theorem nmoco
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoco.1 . 2  |-  N  =  ( S normOp U )
2 eqid 2436 . 2  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2436 . 2  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
4 eqid 2436 . 2  |-  ( norm `  U )  =  (
norm `  U )
5 eqid 2436 . 2  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
6 nghmrcl1 18766 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
76adantl 453 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
8 nghmrcl2 18767 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  U  e. NrmGrp )
98adantr 452 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  U  e. NrmGrp )
10 nghmghm 18768 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )
11 nghmghm 18768 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
12 ghmco 15025 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T 
GrpHom  U )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
1310, 11, 12syl2an 464 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
14 nmoco.2 . . . 4  |-  L  =  ( T normOp U )
1514nghmcl 18761 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  ( L `  F )  e.  RR )
16 nmoco.3 . . . 4  |-  M  =  ( S normOp T )
1716nghmcl 18761 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( M `  G )  e.  RR )
18 remulcl 9075 . . 3  |-  ( ( ( L `  F
)  e.  RR  /\  ( M `  G )  e.  RR )  -> 
( ( L `  F )  x.  ( M `  G )
)  e.  RR )
1915, 17, 18syl2an 464 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( L `  F )  x.  ( M `  G
) )  e.  RR )
20 nghmrcl1 18766 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  T  e. NrmGrp )
2114nmoge0 18755 . . . . 5  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  U  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )  ->  0  <_  ( L `  F )
)
2220, 8, 10, 21syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  0  <_  ( L `  F ) )
2315, 22jca 519 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  ( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_ 
( L `  F
) ) )
24 nghmrcl2 18767 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e. NrmGrp )
2516nmoge0 18755 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( M `  G )
)
266, 24, 11, 25syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  0  <_  ( M `  G ) )
2717, 26jca 519 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( M `  G )  e.  RR  /\  0  <_ 
( M `  G
) ) )
28 mulge0 9545 . . 3  |-  ( ( ( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  F ) )  /\  ( ( M `  G )  e.  RR  /\  0  <_  ( M `  G ) ) )  ->  0  <_  (
( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )
2923, 27, 28syl2an 464 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  ( ( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )
308ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  U  e. NrmGrp )
3110ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )
32 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
33 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3432, 33ghmf 15010 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( T  GrpHom  U )  ->  F :
( Base `  T ) --> ( Base `  U )
)
3531, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F : ( Base `  T
) --> ( Base `  U
) )
3611ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
372, 32ghmf 15010 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
3836, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
39 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
4038, 39ffvelrnd 5871 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( G `  x
)  e.  ( Base `  T ) )
4135, 40ffvelrnd 5871 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( F `  ( G `  x )
)  e.  ( Base `  U ) )
4233, 4nmcl 18662 . . . . 5  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( F `  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  U
) )  ->  (
( norm `  U ) `  ( F `  ( G `  x )
) )  e.  RR )
4330, 41, 42syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) )  e.  RR )
4415ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  F
)  e.  RR )
4520ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  T  e. NrmGrp )
46 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
4732, 46nmcl 18662 . . . . . 6  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  e.  RR )
4845, 40, 47syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) )  e.  RR )
4944, 48remulcld 9116 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  x.  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) ) )  e.  RR )
5017ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  G
)  e.  RR )
512, 3nmcl 18662 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
526, 51sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
5352ad2ant2lr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  x )  e.  RR )
5450, 53remulcld 9116 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  e.  RR )
5544, 54remulcld 9116 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )  e.  RR )
56 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F  e.  ( T NGHom  U ) )
5714, 32, 46, 4nmoi 18762 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  U ) `  ( F `  ( G `  x )
) )  <_  (
( L `  F
)  x.  ( (
norm `  T ) `  ( G `  x
) ) ) )
5856, 40, 57syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( ( L `  F )  x.  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) ) ) )
5923ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  F ) ) )
6016, 2, 3, 46nmoi 18762 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  <_  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6160ad2ant2lr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) )  <_ 
( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )
62 lemul2a 9865 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( norm `  T ) `  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  e.  RR  /\  ( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  F
) ) )  /\  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) )  <_ 
( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )  ->  ( ( L `
 F )  x.  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) )  <_  ( ( L `
 F )  x.  ( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) ) )
6348, 54, 59, 61, 62syl31anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  x.  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
6443, 49, 55, 58, 63letrd 9227 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
65 fvco3 5800 . . . . 5  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
6638, 39, 65syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  x
)  =  ( F `
 ( G `  x ) ) )
6766fveq2d 5732 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( ( F  o.  G ) `  x ) )  =  ( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) ) )
6844recnd 9114 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  F
)  e.  CC )
6950recnd 9114 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  G
)  e.  CC )
7053recnd 9114 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  x )  e.  CC )
7168, 69, 70mulassd 9111 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( ( L `
 F )  x.  ( M `  G
) )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  =  ( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
7264, 67, 713brtr4d 4242 . 2  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( ( F  o.  G ) `  x ) )  <_ 
( ( ( L `
 F )  x.  ( M `  G
) )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )
731, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 13, 19, 29, 72nmolb2d 18752 1  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  o.  G
) )  <_  (
( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    x. cmul 8995    <_ cle 9121   Basecbs 13469   0gc0g 13723    GrpHom cghm 15003   normcnm 18624  NrmGrpcngp 18625   normOpcnmo 18739   NGHom cnghm 18740
This theorem is referenced by:  nghmco  18772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-ghm 15004  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-xms 18350  df-ms 18351  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-nmo 18742  df-nghm 18743
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