MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoco Unicode version

Theorem nmoco 18262
Description: An upper bound on the operator norm of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoco.1  |-  N  =  ( S normOp U )
nmoco.2  |-  L  =  ( T normOp U )
nmoco.3  |-  M  =  ( S normOp T )
Assertion
Ref Expression
nmoco  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  o.  G
) )  <_  (
( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )

Proof of Theorem nmoco
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoco.1 . 2  |-  N  =  ( S normOp U )
2 eqid 2296 . 2  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 eqid 2296 . 2  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
4 eqid 2296 . 2  |-  ( norm `  U )  =  (
norm `  U )
5 eqid 2296 . 2  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
6 nghmrcl1 18257 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  S  e. NrmGrp )
76adantl 452 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
8 nghmrcl2 18258 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  U  e. NrmGrp )
98adantr 451 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  U  e. NrmGrp )
10 nghmghm 18259 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )
11 nghmghm 18259 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
12 ghmco 14718 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( T 
GrpHom  U )  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
1310, 11, 12syl2an 463 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  ( S  GrpHom  U ) )
14 nmoco.2 . . . 4  |-  L  =  ( T normOp U )
1514nghmcl 18252 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  ( L `  F )  e.  RR )
16 nmoco.3 . . . 4  |-  M  =  ( S normOp T )
1716nghmcl 18252 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( M `  G )  e.  RR )
18 remulcl 8838 . . 3  |-  ( ( ( L `  F
)  e.  RR  /\  ( M `  G )  e.  RR )  -> 
( ( L `  F )  x.  ( M `  G )
)  e.  RR )
1915, 17, 18syl2an 463 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( ( L `  F )  x.  ( M `  G
) )  e.  RR )
20 nghmrcl1 18257 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  T  e. NrmGrp )
2114nmoge0 18246 . . . . 5  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  U  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )  ->  0  <_  ( L `  F )
)
2220, 8, 10, 21syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  0  <_  ( L `  F ) )
2315, 22jca 518 . . 3  |-  ( F  e.  ( T NGHom  U
)  ->  ( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_ 
( L `  F
) ) )
24 nghmrcl2 18258 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  T  e. NrmGrp )
2516nmoge0 18246 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( M `  G )
)
266, 24, 11, 25syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  0  <_  ( M `  G ) )
2717, 26jca 518 . . 3  |-  ( G  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( ( M `  G )  e.  RR  /\  0  <_ 
( M `  G
) ) )
28 mulge0 9307 . . 3  |-  ( ( ( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  F ) )  /\  ( ( M `  G )  e.  RR  /\  0  <_  ( M `  G ) ) )  ->  0  <_  (
( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )
2923, 27, 28syl2an 463 . 2  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  0  <_  ( ( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )
308ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  U  e. NrmGrp )
3110ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F  e.  ( T  GrpHom  U ) )
32 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
33 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3432, 33ghmf 14703 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( T  GrpHom  U )  ->  F :
( Base `  T ) --> ( Base `  U )
)
3531, 34syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F : ( Base `  T
) --> ( Base `  U
) )
3611ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  G  e.  ( S  GrpHom  T ) )
372, 32ghmf 14703 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  G :
( Base `  S ) --> ( Base `  T )
)
3836, 37syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  G : ( Base `  S
) --> ( Base `  T
) )
39 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  x  e.  ( Base `  S ) )
40 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )
4138, 39, 40syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( G `  x
)  e.  ( Base `  T ) )
42 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( Base `  T ) --> ( Base `  U )  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( F `  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  U
) )
4335, 41, 42syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( F `  ( G `  x )
)  e.  ( Base `  U ) )
4433, 4nmcl 18153 . . . . 5  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( F `  ( G `  x ) )  e.  ( Base `  U
) )  ->  (
( norm `  U ) `  ( F `  ( G `  x )
) )  e.  RR )
4530, 43, 44syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) )  e.  RR )
4615ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  F
)  e.  RR )
4720ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  T  e. NrmGrp )
48 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
4932, 48nmcl 18153 . . . . . 6  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  e.  RR )
5047, 41, 49syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) )  e.  RR )
5146, 50remulcld 8879 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  x.  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) ) )  e.  RR )
5217ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  G
)  e.  RR )
532, 3nmcl 18153 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
546, 53sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  S ) `  x )  e.  RR )
5554ad2ant2lr 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  x )  e.  RR )
5652, 55remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  e.  RR )
5746, 56remulcld 8879 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )  e.  RR )
58 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F  e.  ( T NGHom  U ) )
5914, 32, 48, 4nmoi 18253 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  ( G `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( norm `  U ) `  ( F `  ( G `  x )
) )  <_  (
( L `  F
)  x.  ( (
norm `  T ) `  ( G `  x
) ) ) )
6058, 41, 59syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( ( L `  F )  x.  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) ) ) )
6123ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  F ) ) )
6216, 2, 3, 48nmoi 18253 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( S NGHom 
T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) )  <_  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) )
6362ad2ant2lr 728 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) )  <_ 
( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )
64 lemul2a 9627 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( norm `  T ) `  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  e.  RR  /\  ( ( L `  F )  e.  RR  /\  0  <_  ( L `  F
) ) )  /\  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) )  <_ 
( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )  ->  ( ( L `
 F )  x.  ( ( norm `  T
) `  ( G `  x ) ) )  <_  ( ( L `
 F )  x.  ( ( M `  G )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) ) )
6550, 56, 61, 63, 64syl31anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( L `  F )  x.  (
( norm `  T ) `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
6645, 51, 57, 60, 65letrd 8989 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) )  <_ 
( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
67 fvco3 5612 . . . . 5  |-  ( ( G : ( Base `  S ) --> ( Base `  T )  /\  x  e.  ( Base `  S
) )  ->  (
( F  o.  G
) `  x )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
6838, 39, 67syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( F  o.  G ) `  x
)  =  ( F `
 ( G `  x ) ) )
6968fveq2d 5545 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( ( F  o.  G ) `  x ) )  =  ( ( norm `  U
) `  ( F `  ( G `  x
) ) ) )
7046recnd 8877 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  F
)  e.  CC )
7152recnd 8877 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  G
)  e.  CC )
7255recnd 8877 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  S
) `  x )  e.  CC )
7370, 71, 72mulassd 8874 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( ( L `
 F )  x.  ( M `  G
) )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) )  =  ( ( L `  F )  x.  (
( M `  G
)  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) ) ) )
7466, 69, 733brtr4d 4069 . 2  |-  ( ( ( F  e.  ( T NGHom  U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  /\  (
x  e.  ( Base `  S )  /\  x  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  U
) `  ( ( F  o.  G ) `  x ) )  <_ 
( ( ( L `
 F )  x.  ( M `  G
) )  x.  (
( norm `  S ) `  x ) ) )
751, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 13, 19, 29, 74nmolb2d 18243 1  |-  ( ( F  e.  ( T NGHom 
U )  /\  G  e.  ( S NGHom  T ) )  ->  ( N `  ( F  o.  G
) )  <_  (
( L `  F
)  x.  ( M `
 G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758    <_ cle 8884   Basecbs 13164   0gc0g 13416    GrpHom cghm 14696   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116   normOpcnmo 18230   NGHom cnghm 18231
This theorem is referenced by:  nghmco  18263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-ghm 14697  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nmo 18233  df-nghm 18234
  Copyright terms: Public domain W3C validator