Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmods Unicode version

Theorem nmods 18305
 Description: Upper bound for the distance between the values of a bounded linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmods.n
nmods.v
nmods.c
nmods.d
Assertion
Ref Expression
nmods NGHom

Proof of Theorem nmods
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3 NGHom NGHom
2 nghmrcl1 18293 . . . . 5 NGHom NrmGrp
3 ngpgrp 18173 . . . . 5 NrmGrp
42, 3syl 15 . . . 4 NGHom
5 nmods.v . . . . 5
6 eqid 2316 . . . . 5
75, 6grpsubcl 14595 . . . 4
84, 7syl3an1 1215 . . 3 NGHom
9 nmods.n . . . 4
10 eqid 2316 . . . 4
11 eqid 2316 . . . 4
129, 5, 10, 11nmoi 18289 . . 3 NGHom
131, 8, 12syl2anc 642 . 2 NGHom
14 nghmrcl2 18294 . . . . 5 NGHom NrmGrp
15143ad2ant1 976 . . . 4 NGHom NrmGrp
16 nghmghm 18295 . . . . . . 7 NGHom
17163ad2ant1 976 . . . . . 6 NGHom
18 eqid 2316 . . . . . . 7
195, 18ghmf 14736 . . . . . 6
2017, 19syl 15 . . . . 5 NGHom
21 simp2 956 . . . . 5 NGHom
22 ffvelrn 5701 . . . . 5
2320, 21, 22syl2anc 642 . . . 4 NGHom
24 simp3 957 . . . . 5 NGHom
25 ffvelrn 5701 . . . . 5
2620, 24, 25syl2anc 642 . . . 4 NGHom
27 eqid 2316 . . . . 5
28 nmods.d . . . . 5
2911, 18, 27, 28ngpds 18177 . . . 4 NrmGrp
3015, 23, 26, 29syl3anc 1182 . . 3 NGHom
315, 6, 27ghmsub 14740 . . . . 5
3216, 31syl3an1 1215 . . . 4 NGHom
3332fveq2d 5567 . . 3 NGHom
3430, 33eqtr4d 2351 . 2 NGHom
35 nmods.c . . . . 5
3610, 5, 6, 35ngpds 18177 . . . 4 NrmGrp
372, 36syl3an1 1215 . . 3 NGHom
3837oveq2d 5916 . 2 NGHom
3913, 34, 383brtr4d 4090 1 NGHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   w3a 934   wceq 1633   wcel 1701   class class class wbr 4060  wf 5288  cfv 5292  (class class class)co 5900   cmul 8787   cle 8913  cbs 13195  cds 13264  cgrp 14411  csg 14414   cghm 14729  cnm 18151  NrmGrpcngp 18152  cnmo 18266   NGHom cnghm 18267 This theorem is referenced by:  nghmcn  18306 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ico 10709  df-topgen 13393  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-ghm 14730  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-xms 17937  df-ms 17938  df-nm 18157  df-ngp 18158  df-nmo 18269  df-nghm 18270
 Copyright terms: Public domain W3C validator