Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmofval Structured version   Unicode version

Theorem nmofval 18740
 Description: Value of the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1
nmofval.2
nmofval.3
nmofval.4
Assertion
Ref Expression
nmofval NrmGrp NrmGrp
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem nmofval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . 2
2 oveq12 6082 . . . 4
3 simpl 444 . . . . . . . . 9
43fveq2d 5724 . . . . . . . 8
5 nmofval.2 . . . . . . . 8
64, 5syl6eqr 2485 . . . . . . 7
7 simpr 448 . . . . . . . . . . 11
87fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
9 nmofval.4 . . . . . . . . . 10
108, 9syl6eqr 2485 . . . . . . . . 9
1110fveq1d 5722 . . . . . . . 8
123fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11
13 nmofval.3 . . . . . . . . . . 11
1412, 13syl6eqr 2485 . . . . . . . . . 10
1514fveq1d 5722 . . . . . . . . 9
1615oveq2d 6089 . . . . . . . 8
1711, 16breq12d 4217 . . . . . . 7
186, 17raleqbidv 2908 . . . . . 6
1918rabbidv 2940 . . . . 5
2019supeq1d 7443 . . . 4
212, 20mpteq12dv 4279 . . 3
22 df-nmo 18734 . . 3 NrmGrp NrmGrp
23 eqid 2435 . . . . 5
24 ssrab2 3420 . . . . . . 7
25 icossxr 10987 . . . . . . 7
2624, 25sstri 3349 . . . . . 6
27 infmxrcl 10887 . . . . . 6
2826, 27mp1i 12 . . . . 5
2923, 28fmpti 5884 . . . 4
30 ovex 6098 . . . 4
31 xrex 10601 . . . 4
32 fex2 5595 . . . 4
3329, 30, 31, 32mp3an 1279 . . 3
3421, 22, 33ovmpt2a 6196 . 2 NrmGrp NrmGrp
351, 34syl5eq 2479 1 NrmGrp NrmGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  crab 2701  cvv 2948   wss 3312   class class class wbr 4204   cmpt 4258  ccnv 4869  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  csup 7437  cc0 8982   cmul 8987   cpnf 9109  cxr 9111   clt 9112   cle 9113  cico 10910  cbs 13461   cghm 14995  cnm 18616  NrmGrpcngp 18617  cnmo 18731 This theorem is referenced by:  nmoval  18741  nmof  18745 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-ico 10914  df-nmo 18734
 Copyright terms: Public domain W3C validator