MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoge0 Structured version   Unicode version

Theorem nmoge0 18757
Description: The operator norm of an operator is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
Assertion
Ref Expression
nmoge0  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)

Proof of Theorem nmoge0
Dummy variables  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrege0 11009 . . . . . 6  |-  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( r  e.  RR  /\  0  <_ 
r ) )
21simprbi 452 . . . . 5  |-  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  r )
32adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  0  <_  r )
43a1d 24 . . 3  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  S ) ( (
norm `  T ) `  ( F `  x
) )  <_  (
r  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) )  -> 
0  <_  r )
)
54ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  ( Base `  S
) ( ( norm `  T ) `  ( F `  x )
)  <_  ( r  x.  ( ( norm `  S
) `  x )
)  ->  0  <_  r ) )
6 0xr 9133 . . 3  |-  0  e.  RR*
7 nmofval.1 . . . 4  |-  N  =  ( S normOp T )
8 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
9 eqid 2438 . . . 4  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
10 eqid 2438 . . . 4  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
117, 8, 9, 10nmogelb 18752 . . 3  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  0  e.  RR* )  ->  ( 0  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  ( Base `  S
) ( ( norm `  T ) `  ( F `  x )
)  <_  ( r  x.  ( ( norm `  S
) `  x )
)  ->  0  <_  r ) ) )
126, 11mpan2 654 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( 0  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  ( Base `  S
) ( ( norm `  T ) `  ( F `  x )
)  <_  ( r  x.  ( ( norm `  S
) `  x )
)  ->  0  <_  r ) ) )
135, 12mpbird 225 1  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992    x. cmul 8997    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    <_ cle 9123   [,)cico 10920   Basecbs 13471    GrpHom cghm 15005   normcnm 18626  NrmGrpcngp 18627   normOpcnmo 18741
This theorem is referenced by:  isnghm3  18761  bddnghm  18762  nmoi  18764  nmoix  18765  nmo0  18771  nmoco  18773  nmotri  18775  nmoid  18778  nghmcn  18781  nmoleub2lem  19124
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-ico 10924  df-nmo 18744
  Copyright terms: Public domain W3C validator