MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoge0 Unicode version

Theorem nmoge0 18230
Description: The operator norm of an operator is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
Assertion
Ref Expression
nmoge0  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)

Proof of Theorem nmoge0
Dummy variables  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrege0 10746 . . . . . 6  |-  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( r  e.  RR  /\  0  <_ 
r ) )
21simprbi 450 . . . . 5  |-  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  r )
32adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  0  <_  r )
43a1d 22 . . 3  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo )
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  S ) ( (
norm `  T ) `  ( F `  x
) )  <_  (
r  x.  ( (
norm `  S ) `  x ) )  -> 
0  <_  r )
)
54ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  ( Base `  S
) ( ( norm `  T ) `  ( F `  x )
)  <_  ( r  x.  ( ( norm `  S
) `  x )
)  ->  0  <_  r ) )
6 0xr 8878 . . 3  |-  0  e.  RR*
7 nmofval.1 . . . 4  |-  N  =  ( S normOp T )
8 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
9 eqid 2283 . . . 4  |-  ( norm `  S )  =  (
norm `  S )
10 eqid 2283 . . . 4  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
117, 8, 9, 10nmogelb 18225 . . 3  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  0  e.  RR* )  ->  ( 0  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  ( Base `  S
) ( ( norm `  T ) `  ( F `  x )
)  <_  ( r  x.  ( ( norm `  S
) `  x )
)  ->  0  <_  r ) ) )
126, 11mpan2 652 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( 0  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  ( Base `  S
) ( ( norm `  T ) `  ( F `  x )
)  <_  ( r  x.  ( ( norm `  S
) `  x )
)  ->  0  <_  r ) ) )
135, 12mpbird 223 1  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   [,)cico 10658   Basecbs 13148    GrpHom cghm 14680   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100   normOpcnmo 18214
This theorem is referenced by:  isnghm3  18234  bddnghm  18235  nmoi  18237  nmoix  18238  nmo0  18244  nmoco  18246  nmotri  18248  nmoid  18251  nghmcn  18254  nmoleub2lem  18595
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-ico 10662  df-nmo 18217
  Copyright terms: Public domain W3C validator