Theorem nmoge0 8430

Description: The norm of an operator is nonnegative.

Hypotheses

Ref	Expression
nmoxr.1	|- X = (Base` U)
nmoxr.2	|- Y = (Base` W)
nmoxr.3	|- N = (UnormOpW)

Assertion

Ref	Expression
nmoge0	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> 0 <_ (N` T))

Proof of Theorem nmoge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoxr.2	. . . 4 |- Y = (Base` W)
2		eqid 1475	. . . 4 |- (norm` W) = (norm` W)
3	1, 2	nvge0 8302	. . 3 |- ((W e. NrmCVec /\ (T` (0v` U)) e. Y) -> 0 <_ ((norm` W)` (T` (0v` U))))
4		3simp2 789	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> W e. NrmCVec)
5		ffvelrn 3814	. . . . . 6 |- ((T:X-->Y /\ (0v` U) e. X) -> (T` (0v` U)) e. Y)
6		nmoxr.1	. . . . . . 7 |- X = (Base` U)
7		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (0v` U) = (0v` U)
8	6, 7	nvzcl 8255	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> (0v` U) e. X)
9	5, 8	sylan2 451	. . . . 5 |- ((T:X-->Y /\ U e. NrmCVec) -> (T` (0v` U)) e. Y)
10	9	ancoms 436	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (T` (0v` U)) e. Y)
11	10	3adant2 798	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (T` (0v` U)) e. Y)
12	3, 4, 11	sylanc 471	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> 0 <_ ((norm` W)` (T` (0v` U))))
13		supxrub 6098	. . . . . 6 |- (({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} (_ RR* /\ ((norm` W)` (T` (0v` U))) e. {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) <_ sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ))
14	1, 2	nmosetre 8427	. . . . . . 7 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} (_ RR)
15		ressxr 5498	. . . . . . . 8 |- RR (_ RR*
16		sstr 2072	. . . . . . . 8 |- (({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} (_ RR /\ RR (_ RR*) -> {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} (_ RR*)
17	15, 16	mpan2 696	. . . . . . 7 |- ({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} (_ RR -> {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} (_ RR*)
18	14, 17	syl 10	. . . . . 6 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))} (_ RR*)
19		eqid 1475	. . . . . . 7 |- (norm` U) = (norm` U)
20	6, 7, 19	nmosetn0 8428	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) e. {x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))})
21	13, 18, 20	syl2an 454	. . . . 5 |- (((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) /\ U e. NrmCVec) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) <_ sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ))
22	21	3impa 828	. . . 4 |- ((W e. NrmCVec /\ T:X-->Y /\ U e. NrmCVec) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) <_ sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ))
23	22	3comr 841	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) <_ sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ))
24		nmoxr.3	. . . 4 |- N = (UnormOpW)
25	6, 1, 19, 2, 24	nmoval 8426	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (N` T) = sup({x | E.z e. X (((norm` U)` z) <_ 1 /\ x = ((norm` W)` (T` z)))}, RR*, < ))
26	23, 25	breqtrrd 2641	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) <_ (N` T))
27		xrletrt 5564	. . 3 |- ((0 e. RR* /\ ((norm` W)` (T` (0v` U))) e. RR* /\ (N` T) e. RR*) -> ((0 <_ ((norm` W)` (T` (0v` U))) /\ ((norm` W)` (T` (0v` U))) <_ (N` T)) -> 0 <_ (N` T)))
28		0re 5440	. . . . 5 |- 0 e. RR
29		rexrt 5499	. . . . 5 |- (0 e. RR -> 0 e. RR*)
30	28, 29	ax-mp 7	. . . 4 |- 0 e. RR*
31	30	a1i 8	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> 0 e. RR*)
32	1, 2	nvcl 8287	. . . . 5 |- ((W e. NrmCVec /\ (T` (0v` U)) e. Y) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) e. RR)
33	32, 4, 11	sylanc 471	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) e. RR)
34		rexrt 5499	. . . 4 |- (((norm` W)` (T` (0v` U))) e. RR -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) e. RR*)
35	33, 34	syl 10	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((norm` W)` (T` (0v` U))) e. RR*)
36	6, 1, 24	nmoxr 8429	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> (N` T) e. RR*)
37	27, 31, 35, 36	syl3anc 858	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> ((0 <_ ((norm` W)` (T` (0v` U))) /\ ((norm` W)` (T` (0v` U))) <_ (N` T)) -> 0 <_ (N` T)))
38	12, 26, 37	mp2and 703	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T:X-->Y) -> 0 <_ (N` T))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  E.wrex 1646   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   <_ cle 5295  RR*cxr 5485   < clt 5486  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  0vcn0v 8207  normcnm 8209  normOpcnmo 8402

This theorem is referenced by:  nmlnogt0 8457  htthlem10 8629

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-2 5970  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219  df-nmo 8406

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