MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmogelb Structured version   Unicode version

Theorem nmogelb 18755
Description: Property of the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmofval.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmofval.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmofval.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmogelb  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR* )  ->  ( A  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  A  <_  r ) ) )
Distinct variable groups:    x, r, L    M, r, x    S, r, x    T, r, x    A, r, x    F, r, x    V, r, x    N, r, x

Proof of Theorem nmogelb
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . 4  |-  N  =  ( S normOp T )
2 nmofval.2 . . . 4  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 nmofval.3 . . . 4  |-  L  =  ( norm `  S
)
4 nmofval.4 . . . 4  |-  M  =  ( norm `  T
)
51, 2, 3, 4nmoval 18754 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  =  sup ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) } ,  RR* ,  `'  <  )
)
65breq2d 4227 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( A  <_ 
( N `  F
)  <->  A  <_  sup ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) } ,  RR* ,  `'  <  )
) )
7 ssrab2 3430 . . . . 5  |-  { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  (
0 [,)  +oo )
8 icossxr 11000 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
97, 8sstri 3359 . . . 4  |-  { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  RR*
10 infmxrgelb 10918 . . . 4  |-  ( ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) }  C_  RR* 
/\  A  e.  RR* )  ->  ( A  <_  sup ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 x ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. s  e.  {
r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) } A  <_ 
s ) )
119, 10mpan 653 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <_  sup ( { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) } ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. s  e.  { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) } A  <_  s ) )
12 breq2 4219 . . . 4  |-  ( s  =  r  ->  ( A  <_  s  <->  A  <_  r ) )
1312ralrab2 3102 . . 3  |-  ( A. s  e.  { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 x ) ) } A  <_  s  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo ) ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
)  ->  A  <_  r ) )
1411, 13syl6bb 254 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <_  sup ( { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) } ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo ) ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 x ) )  ->  A  <_  r
) ) )
156, 14sylan9bb 682 1  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR* )  ->  ( A  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  A  <_  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   supcsup 7448   0cc0 8995    x. cmul 9000    +oocpnf 9122   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126   [,)cico 10923   Basecbs 13474    GrpHom cghm 15008   normcnm 18629  NrmGrpcngp 18630   normOpcnmo 18744
This theorem is referenced by:  nmolb  18756  nmoge0  18760  nmoi  18767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-ico 10927  df-nmo 18747
  Copyright terms: Public domain W3C validator