MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmogelb Unicode version

Theorem nmogelb 18711
Description: Property of the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmofval.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmofval.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmofval.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmogelb  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR* )  ->  ( A  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  A  <_  r ) ) )
Distinct variable groups:    x, r, L    M, r, x    S, r, x    T, r, x    A, r, x    F, r, x    V, r, x    N, r, x

Proof of Theorem nmogelb
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . 4  |-  N  =  ( S normOp T )
2 nmofval.2 . . . 4  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 nmofval.3 . . . 4  |-  L  =  ( norm `  S
)
4 nmofval.4 . . . 4  |-  M  =  ( norm `  T
)
51, 2, 3, 4nmoval 18710 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  =  sup ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) } ,  RR* ,  `'  <  )
)
65breq2d 4192 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( A  <_ 
( N `  F
)  <->  A  <_  sup ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) } ,  RR* ,  `'  <  )
) )
7 ssrab2 3396 . . . . 5  |-  { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  (
0 [,)  +oo )
8 icossxr 10959 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
97, 8sstri 3325 . . . 4  |-  { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  RR*
10 infmxrgelb 10877 . . . 4  |-  ( ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) }  C_  RR* 
/\  A  e.  RR* )  ->  ( A  <_  sup ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 x ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. s  e.  {
r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) } A  <_ 
s ) )
119, 10mpan 652 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <_  sup ( { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) } ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. s  e.  { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) } A  <_  s ) )
12 breq2 4184 . . . 4  |-  ( s  =  r  ->  ( A  <_  s  <->  A  <_  r ) )
1312ralrab2 3068 . . 3  |-  ( A. s  e.  { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 x ) ) } A  <_  s  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo ) ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
)  ->  A  <_  r ) )
1411, 13syl6bb 253 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <_  sup ( { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) } ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo ) ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 x ) )  ->  A  <_  r
) ) )
156, 14sylan9bb 681 1  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR* )  ->  ( A  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  A  <_  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   {crab 2678    C_ wss 3288   class class class wbr 4180   `'ccnv 4844   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   supcsup 7411   0cc0 8954    x. cmul 8959    +oocpnf 9081   RR*cxr 9083    < clt 9084    <_ cle 9085   [,)cico 10882   Basecbs 13432    GrpHom cghm 14966   normcnm 18585  NrmGrpcngp 18586   normOpcnmo 18700
This theorem is referenced by:  nmolb  18712  nmoge0  18716  nmoi  18723
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-ico 10886  df-nmo 18703
  Copyright terms: Public domain W3C validator