MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmogelb Unicode version

Theorem nmogelb 18241
Description: Property of the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmofval.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmofval.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmofval.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmogelb  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR* )  ->  ( A  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  A  <_  r ) ) )
Distinct variable groups:    x, r, L    M, r, x    S, r, x    T, r, x    A, r, x    F, r, x    V, r, x    N, r, x

Proof of Theorem nmogelb
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . 4  |-  N  =  ( S normOp T )
2 nmofval.2 . . . 4  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 nmofval.3 . . . 4  |-  L  =  ( norm `  S
)
4 nmofval.4 . . . 4  |-  M  =  ( norm `  T
)
51, 2, 3, 4nmoval 18240 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  =  sup ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) } ,  RR* ,  `'  <  )
)
65breq2d 4051 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( A  <_ 
( N `  F
)  <->  A  <_  sup ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) } ,  RR* ,  `'  <  )
) )
7 ssrab2 3271 . . . . 5  |-  { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  (
0 [,)  +oo )
8 icossxr 10750 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
97, 8sstri 3201 . . . 4  |-  { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  RR*
10 infmxrgelb 10669 . . . 4  |-  ( ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) }  C_  RR* 
/\  A  e.  RR* )  ->  ( A  <_  sup ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 x ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. s  e.  {
r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) } A  <_ 
s ) )
119, 10mpan 651 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <_  sup ( { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) } ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. s  e.  { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) } A  <_  s ) )
12 breq2 4043 . . . 4  |-  ( s  =  r  ->  ( A  <_  s  <->  A  <_  r ) )
1312ralrab2 2944 . . 3  |-  ( A. s  e.  { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 x ) ) } A  <_  s  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo ) ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
)  ->  A  <_  r ) )
1411, 13syl6bb 252 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <_  sup ( { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) } ,  RR* ,  `'  <  )  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo ) ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 x ) )  ->  A  <_  r
) ) )
156, 14sylan9bb 680 1  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR* )  ->  ( A  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  A  <_  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   0cc0 8753    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   [,)cico 10674   Basecbs 13164    GrpHom cghm 14696   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116   normOpcnmo 18230
This theorem is referenced by:  nmolb  18242  nmoge0  18246  nmoi  18253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-ico 10678  df-nmo 18233
  Copyright terms: Public domain W3C validator