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Theorem nmoi 18253
Description: The operator norm achieves the minimum of the set of upper bounds, if the operator is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoi.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoi.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoi.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmoi  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )

Proof of Theorem nmoi
Dummy variables  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  X )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
21fveq2d 5545 . . 3  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  =  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) ) )
3 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( L `  X )  =  ( L `  ( 0g `  S ) ) )
43oveq2d 5890 . . 3  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  (
( N `  F
)  x.  ( L `
 X ) )  =  ( ( N `
 F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
52, 4breq12d 4052 . 2  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X
) )  <->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) ) )
6 simpllr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  X  e.  V )
7 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
87fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M `  ( F `  x ) )  =  ( M `  ( F `  X )
) )
9 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( L `  x )  =  ( L `  X ) )
109oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
r  x.  ( L `
 x ) )  =  ( r  x.  ( L `  X
) ) )
118, 10breq12d 4052 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  <->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 X ) ) ) )
1211rspcv 2893 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  X )
) ) )
136, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  X )
) ) )
14 nmofval.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( S normOp T )
1514isnghm 18248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  <->  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  ( N `  F )  e.  RR ) ) )
1615simplbi 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )
)
1716adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
) )
1817simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  T  e. NrmGrp )
1915simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  ( N `  F )  e.  RR ) )
2019adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  ( N `  F )  e.  RR ) )
2120simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
22 nmoi.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  =  ( Base `  S
)
23 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
2422, 23ghmf 14703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
2521, 24syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  F : V --> ( Base `  T
) )
26 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : V --> ( Base `  T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )
2725, 26sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )
28 nmoi.4 . . . . . . . . . . 11  |-  M  =  ( norm `  T
)
2923, 28nmcl 18153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
3018, 27, 29syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
3130adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
3231adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
33 elrege0 10762 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( r  e.  RR  /\  0  <_ 
r ) )
3433simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  r  e.  RR )
3534adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  r  e.  RR )
3617simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  S  e. NrmGrp )
37 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
3836, 37jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V ) )
39 nmoi.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( norm `  S
)
40 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
4122, 39, 40nmrpcl 18157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
42413expa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
4338, 42sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
4443rpregt0d 10412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( L `
 X )  e.  RR  /\  0  < 
( L `  X
) ) )
4544adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
( L `  X
)  e.  RR  /\  0  <  ( L `  X ) ) )
46 ledivmul2 9649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M `  ( F `  X )
)  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  (
( L `  X
)  e.  RR  /\  0  <  ( L `  X ) ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
r  <->  ( M `  ( F `  X ) )  <_  ( r  x.  ( L `  X
) ) ) )
4732, 35, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( M `  ( F `  X ) )  /  ( L `
 X ) )  <_  r  <->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 X ) ) ) )
4813, 47sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) )
4948ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) )
5036adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  S  e. NrmGrp )
5118adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  T  e. NrmGrp )
5221adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
5331, 43rerpdivcld 10433 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  e.  RR )
5453rexrd 8897 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  e.  RR* )
5514, 22, 39, 28nmogelb 18241 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  e.  RR* )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) ) )
5650, 51, 52, 54, 55syl31anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) ) )
5749, 56mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  <_  ( N `  F )
)
5820simprd 449 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
5958adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
6031, 59, 43ledivmul2d 10456 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
( N `  F
)  <->  ( M `  ( F `  X ) )  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X
) ) ) )
6157, 60mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X
) ) )
62 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
6340, 62ghmid 14705 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
6421, 63syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) )
6564fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  =  ( M `  ( 0g `  T ) ) )
6628, 62nm0 18164 . . . . 5  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
6718, 66syl 15 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
6865, 67eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  =  0 )
6939, 40nm0 18164 . . . . . 6  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
7036, 69syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
71 0re 8854 . . . . 5  |-  0  e.  RR
7270, 71syl6eqel 2384 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  e.  RR )
7314nmoge0 18246 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
7436, 18, 21, 73syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  F
) )
75 0le0 9843 . . . . 5  |-  0  <_  0
7675, 70syl5breqr 4075 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( L `  ( 0g `  S ) ) )
7758, 72, 74, 76mulge0d 9365 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
7868, 77eqbrtrd 4059 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
795, 61, 78pm2.61ne 2534 1  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   RR+crp 10370   [,)cico 10674   Basecbs 13164   0gc0g 13416    GrpHom cghm 14696   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116   normOpcnmo 18230   NGHom cnghm 18231
This theorem is referenced by:  nmoix  18254  nmoeq0  18261  nmoco  18262  nmotri  18264  nmoid  18267  nmods  18269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-ghm 14697  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nmo 18233  df-nghm 18234
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