MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoi Unicode version

Theorem nmoi 18237
Description: The operator norm achieves the minimum of the set of upper bounds, if the operator is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoi.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoi.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoi.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmoi  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )

Proof of Theorem nmoi
Dummy variables  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  X )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
21fveq2d 5529 . . 3  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  =  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) ) )
3 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( L `  X )  =  ( L `  ( 0g `  S ) ) )
43oveq2d 5874 . . 3  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  (
( N `  F
)  x.  ( L `
 X ) )  =  ( ( N `
 F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
52, 4breq12d 4036 . 2  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X
) )  <->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) ) )
6 simpllr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  X  e.  V )
7 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
87fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( M `  ( F `  x ) )  =  ( M `  ( F `  X )
) )
9 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( L `  x )  =  ( L `  X ) )
109oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
r  x.  ( L `
 x ) )  =  ( r  x.  ( L `  X
) ) )
118, 10breq12d 4036 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  <->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 X ) ) ) )
1211rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  X )
) ) )
136, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  X )
) ) )
14 nmofval.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( S normOp T )
1514isnghm 18232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  <->  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )  /\  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  ( N `  F )  e.  RR ) ) )
1615simplbi 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp )
)
1716adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp
) )
1817simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  T  e. NrmGrp )
1915simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( S NGHom  T
)  ->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  ( N `  F )  e.  RR ) )
2019adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  ( N `  F )  e.  RR ) )
2120simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
22 nmoi.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  =  ( Base `  S
)
23 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
2422, 23ghmf 14687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
2521, 24syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  F : V --> ( Base `  T
) )
26 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : V --> ( Base `  T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )
2725, 26sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )
28 nmoi.4 . . . . . . . . . . 11  |-  M  =  ( norm `  T
)
2923, 28nmcl 18137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
3018, 27, 29syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
3130adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
3231adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
33 elrege0 10746 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( r  e.  RR  /\  0  <_ 
r ) )
3433simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  r  e.  RR )
3534adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  r  e.  RR )
3617simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  S  e. NrmGrp )
37 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
3836, 37jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V ) )
39 nmoi.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( norm `  S
)
40 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
4122, 39, 40nmrpcl 18141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
42413expa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
4338, 42sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
4443rpregt0d 10396 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( L `
 X )  e.  RR  /\  0  < 
( L `  X
) ) )
4544adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
( L `  X
)  e.  RR  /\  0  <  ( L `  X ) ) )
46 ledivmul2 9633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M `  ( F `  X )
)  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  (
( L `  X
)  e.  RR  /\  0  <  ( L `  X ) ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
r  <->  ( M `  ( F `  X ) )  <_  ( r  x.  ( L `  X
) ) ) )
4732, 35, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( M `  ( F `  X ) )  /  ( L `
 X ) )  <_  r  <->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 X ) ) ) )
4813, 47sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V
)  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  /\  r  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) )
4948ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) )
5036adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  S  e. NrmGrp )
5118adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  T  e. NrmGrp )
5221adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
5331, 43rerpdivcld 10417 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  e.  RR )
5453rexrd 8881 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  e.  RR* )
5514, 22, 39, 28nmogelb 18225 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  e.  RR* )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) ) )
5650, 51, 52, 54, 55syl31anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  /  ( L `
 X ) )  <_  r ) ) )
5749, 56mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  X ) )  / 
( L `  X
) )  <_  ( N `  F )
)
5820simprd 449 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
5958adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR )
6031, 59, 43ledivmul2d 10440 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 X ) )  /  ( L `  X ) )  <_ 
( N `  F
)  <->  ( M `  ( F `  X ) )  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X
) ) ) )
6157, 60mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( F  e.  ( S NGHom  T )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S ) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X
) ) )
62 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
6340, 62ghmid 14689 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
6421, 63syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) )
6564fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  =  ( M `  ( 0g `  T ) ) )
6628, 62nm0 18148 . . . . 5  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
6718, 66syl 15 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
6865, 67eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  =  0 )
6939, 40nm0 18148 . . . . . 6  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
7036, 69syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
71 0re 8838 . . . . 5  |-  0  e.  RR
7270, 71syl6eqel 2371 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  e.  RR )
7314nmoge0 18230 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
7436, 18, 21, 73syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  F
) )
75 0le0 9827 . . . . 5  |-  0  <_  0
7675, 70syl5breqr 4059 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( L `  ( 0g `  S ) ) )
7758, 72, 74, 76mulge0d 9349 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( ( N `  F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
7868, 77eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
795, 61, 78pm2.61ne 2521 1  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   RR+crp 10354   [,)cico 10658   Basecbs 13148   0gc0g 13400    GrpHom cghm 14680   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100   normOpcnmo 18214   NGHom cnghm 18215
This theorem is referenced by:  nmoix  18238  nmoeq0  18245  nmoco  18246  nmotri  18248  nmoid  18251  nmods  18253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-ghm 14681  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nmo 18217  df-nghm 18218
  Copyright terms: Public domain W3C validator