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Theorem nmoix 18765
Description: The operator norm is a bound on the size of an operator, even when it is infinite (using extended real multiplication). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoi.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoi.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoi.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmoix  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
( N `  F
) x e ( L `  X ) ) )

Proof of Theorem nmoix
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . . . . 7  |-  N  =  ( S normOp T )
21isnghm2 18760 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  e.  ( S NGHom  T )  <-> 
( N `  F
)  e.  RR ) )
32biimpar 473 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
4 nmoi.2 . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  S
)
5 nmoi.3 . . . . . 6  |-  L  =  ( norm `  S
)
6 nmoi.4 . . . . . 6  |-  M  =  ( norm `  T
)
71, 4, 5, 6nmoi 18764 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
83, 7sylan 459 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( N `
 F )  e.  RR )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
98an32s 781 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
10 id 21 . . . 4  |-  ( ( N `  F )  e.  RR  ->  ( N `  F )  e.  RR )
114, 5nmcl 18664 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  ( L `  X )  e.  RR )
12113ad2antl1 1120 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( L `  X )  e.  RR )
13 rexmul 10852 . . . 4  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  RR  /\  ( L `  X )  e.  RR )  -> 
( ( N `  F ) x e ( L `  X
) )  =  ( ( N `  F
)  x.  ( L `
 X ) ) )
1410, 12, 13syl2anr 466 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  (
( N `  F
) x e ( L `  X ) )  =  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X ) ) )
159, 14breqtrrd 4240 . 2  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F ) x e ( L `  X
) ) )
16 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  X )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
1716fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  =  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) ) )
18 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( L `  X )  =  ( L `  ( 0g `  S ) ) )
1918oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  (  +oo x e ( L `
 X ) )  =  (  +oo x e ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
2017, 19breq12d 4227 . . . . 5  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  <_  (  +oo x e ( L `  X ) )  <->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  <_  (  +oo x e ( L `  ( 0g `  S ) ) ) ) )
21 simpl2 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  T  e. NrmGrp )
22 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
234, 22ghmf 15012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
2423ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )
25243ad2antl3 1122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  X )  e.  (
Base `  T )
)
2622, 6nmcl 18664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
2721, 25, 26syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  e.  RR )
2827adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
2928rexrd 9136 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e. 
RR* )
30 pnfge 10729 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  ( F `
 X ) )  e.  RR*  ->  ( M `
 ( F `  X ) )  <_  +oo )
3129, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_  +oo )
32 simp1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
33 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
344, 5, 33nmrpcl 18668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
35343expa 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
3632, 35sylanl1 633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
37 rpxr 10621 . . . . . . . 8  |-  ( ( L `  X )  e.  RR+  ->  ( L `
 X )  e. 
RR* )
38 rpgt0 10625 . . . . . . . 8  |-  ( ( L `  X )  e.  RR+  ->  0  < 
( L `  X
) )
39 xmulpnf2 10856 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L `  X
)  e.  RR*  /\  0  <  ( L `  X
) )  ->  (  +oo x e ( L `
 X ) )  =  +oo )
4037, 38, 39syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( L `  X )  e.  RR+  ->  (  +oo x e ( L `  X ) )  = 
+oo )
4136, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  (  +oo x e ( L `
 X ) )  =  +oo )
4231, 41breqtrrd 4240 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
(  +oo x e ( L `  X ) ) )
43 0le0 10083 . . . . . 6  |-  0  <_  0
44 simpl3 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
45 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
4633, 45ghmid 15014 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
4744, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
4847fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  ( M `
 ( 0g `  T ) ) )
496, 45nm0 18675 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
5021, 49syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( 0g `  T
) )  =  0 )
5148, 50eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  0 )
52 simpl1 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  S  e. NrmGrp )
535, 33nm0 18675 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( L `  ( 0g `  S
) )  =  0 )
5554oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  (  +oo x e ( L `  ( 0g `  S ) ) )  =  ( 
+oo x e 0 ) )
56 pnfxr 10715 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  RR*
57 xmul01 10848 . . . . . . . . 9  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  (  +oo x e 0 )  =  0 )
5856, 57ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (  +oo x e 0 )  =  0
5955, 58syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  (  +oo x e ( L `  ( 0g `  S ) ) )  =  0 )
6051, 59breq12d 4227 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  <_ 
(  +oo x e ( L `  ( 0g
`  S ) ) )  <->  0  <_  0
) )
6143, 60mpbiri 226 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  <_  (  +oo x e ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
6220, 42, 61pm2.61ne 2681 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (  +oo x e ( L `
 X ) ) )
6362adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  =  +oo )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
(  +oo x e ( L `  X ) ) )
64 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  =  +oo )  ->  ( N `  F )  =  +oo )
6564oveq1d 6098 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  =  +oo )  ->  (
( N `  F
) x e ( L `  X ) )  =  (  +oo x e ( L `  X ) ) )
6663, 65breqtrrd 4240 . 2  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  =  +oo )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F ) x e ( L `  X
) ) )
671nmocl 18756 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
681nmoge0 18757 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
69 ge0nemnf 10763 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  F
) )  ->  ( N `  F )  =/=  -oo )
7067, 68, 69syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  =/=  -oo )
7167, 70jca 520 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  e. 
RR*  /\  ( N `  F )  =/=  -oo ) )
72 xrnemnf 10720 . . . 4  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  RR*  /\  ( N `  F )  =/=  -oo )  <->  ( ( N `  F )  e.  RR  \/  ( N `
 F )  = 
+oo ) )
7371, 72sylib 190 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  e.  RR  \/  ( N `
 F )  = 
+oo ) )
7473adantr 453 . 2  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( ( N `  F )  e.  RR  \/  ( N `
 F )  = 
+oo ) )
7515, 66, 74mpjaodan 763 1  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
( N `  F
) x e ( L `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992    x. cmul 8997    +oocpnf 9119    -oocmnf 9120   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   RR+crp 10614   x ecxmu 10711   Basecbs 13471   0gc0g 13725    GrpHom cghm 15005   normcnm 18626  NrmGrpcngp 18627   normOpcnmo 18741   NGHom cnghm 18742
This theorem is referenced by:  nmoi2  18766  nmoleub2lem  19124
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-topgen 13669  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-ghm 15006  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-xms 18352  df-ms 18353  df-nm 18632  df-ngp 18633  df-nmo 18744  df-nghm 18745
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