MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoix Unicode version

Theorem nmoix 18254
Description: The operator norm is a bound on the size of an operator, even when it is infinite (using extended real multiplication). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoi.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoi.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoi.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmoix  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
( N `  F
) x e ( L `  X ) ) )

Proof of Theorem nmoix
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . . . . 7  |-  N  =  ( S normOp T )
21isnghm2 18249 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( F  e.  ( S NGHom  T )  <-> 
( N `  F
)  e.  RR ) )
32biimpar 471 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  F  e.  ( S NGHom  T ) )
4 nmoi.2 . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  S
)
5 nmoi.3 . . . . . 6  |-  L  =  ( norm `  S
)
6 nmoi.4 . . . . . 6  |-  M  =  ( norm `  T
)
71, 4, 5, 6nmoi 18253 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S NGHom 
T )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
83, 7sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( N `
 F )  e.  RR )  /\  X  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
98an32s 779 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F )  x.  ( L `  X )
) )
10 id 19 . . . 4  |-  ( ( N `  F )  e.  RR  ->  ( N `  F )  e.  RR )
114, 5nmcl 18153 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  ->  ( L `  X )  e.  RR )
12113ad2antl1 1117 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( L `  X )  e.  RR )
13 rexmul 10607 . . . 4  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  RR  /\  ( L `  X )  e.  RR )  -> 
( ( N `  F ) x e ( L `  X
) )  =  ( ( N `  F
)  x.  ( L `
 X ) ) )
1410, 12, 13syl2anr 464 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  (
( N `  F
) x e ( L `  X ) )  =  ( ( N `  F )  x.  ( L `  X ) ) )
159, 14breqtrrd 4065 . 2  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  e.  RR )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F ) x e ( L `  X
) ) )
16 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  X )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
1716fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  =  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) ) )
18 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  ( L `  X )  =  ( L `  ( 0g `  S ) ) )
1918oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  (  +oo x e ( L `
 X ) )  =  (  +oo x e ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
2017, 19breq12d 4052 . . . . 5  |-  ( X  =  ( 0g `  S )  ->  (
( M `  ( F `  X )
)  <_  (  +oo x e ( L `  X ) )  <->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  <_  (  +oo x e ( L `  ( 0g `  S ) ) ) ) )
21 simpl2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  T  e. NrmGrp )
22 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
234, 22ghmf 14703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
24 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : V --> ( Base `  T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )
2523, 24sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  X  e.  V )  ->  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )
26253ad2antl3 1119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  X )  e.  (
Base `  T )
)
2722, 6nmcl 18153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  X )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
2821, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  e.  RR )
2928adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e.  RR )
3029rexrd 8897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  e. 
RR* )
31 pnfge 10485 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  ( F `
 X ) )  e.  RR*  ->  ( M `
 ( F `  X ) )  <_  +oo )
3230, 31syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_  +oo )
33 simp1 955 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  S  e. NrmGrp )
34 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
354, 5, 34nmrpcl 18157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
36353expa 1151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
3733, 36sylanl1 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  X )  e.  RR+ )
38 rpxr 10377 . . . . . . . 8  |-  ( ( L `  X )  e.  RR+  ->  ( L `
 X )  e. 
RR* )
39 rpgt0 10381 . . . . . . . 8  |-  ( ( L `  X )  e.  RR+  ->  0  < 
( L `  X
) )
40 xmulpnf2 10611 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L `  X
)  e.  RR*  /\  0  <  ( L `  X
) )  ->  (  +oo x e ( L `
 X ) )  =  +oo )
4138, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( L `  X )  e.  RR+  ->  (  +oo x e ( L `  X ) )  = 
+oo )
4237, 41syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  (  +oo x e ( L `
 X ) )  =  +oo )
4332, 42breqtrrd 4065 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  X  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
(  +oo x e ( L `  X ) ) )
44 0le0 9843 . . . . . 6  |-  0  <_  0
45 simpl3 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
46 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
4734, 46ghmid 14705 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
4845, 47syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
4948fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  ( M `
 ( 0g `  T ) ) )
506, 46nm0 18164 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
5121, 50syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( 0g `  T
) )  =  0 )
5249, 51eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  0 )
53 simpl1 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  S  e. NrmGrp )
545, 34nm0 18164 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
5553, 54syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( L `  ( 0g `  S
) )  =  0 )
5655oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  (  +oo x e ( L `  ( 0g `  S ) ) )  =  ( 
+oo x e 0 ) )
57 pnfxr 10471 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  RR*
58 xmul01 10603 . . . . . . . . 9  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  (  +oo x e 0 )  =  0 )
5957, 58ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (  +oo x e 0 )  =  0
6056, 59syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  (  +oo x e ( L `  ( 0g `  S ) ) )  =  0 )
6152, 60breq12d 4052 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  <_ 
(  +oo x e ( L `  ( 0g
`  S ) ) )  <->  0  <_  0
) )
6244, 61mpbiri 224 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  <_  (  +oo x e ( L `  ( 0g `  S ) ) ) )
6320, 43, 62pm2.61ne 2534 . . . 4  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (  +oo x e ( L `
 X ) ) )
6463adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  =  +oo )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
(  +oo x e ( L `  X ) ) )
65 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  =  +oo )  ->  ( N `  F )  =  +oo )
6665oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  =  +oo )  ->  (
( N `  F
) x e ( L `  X ) )  =  (  +oo x e ( L `  X ) ) )
6764, 66breqtrrd 4065 . 2  |-  ( ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V )  /\  ( N `  F )  =  +oo )  ->  ( M `  ( F `  X ) )  <_ 
( ( N `  F ) x e ( L `  X
) ) )
681nmocl 18245 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
691nmoge0 18246 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
70 ge0nemnf 10518 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  F
) )  ->  ( N `  F )  =/=  -oo )
7168, 69, 70syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  =/=  -oo )
7268, 71jca 518 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  e. 
RR*  /\  ( N `  F )  =/=  -oo ) )
73 xrnemnf 10476 . . . 4  |-  ( ( ( N `  F
)  e.  RR*  /\  ( N `  F )  =/=  -oo )  <->  ( ( N `  F )  e.  RR  \/  ( N `
 F )  = 
+oo ) )
7472, 73sylib 188 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  e.  RR  \/  ( N `
 F )  = 
+oo ) )
7574adantr 451 . 2  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( ( N `  F )  e.  RR  \/  ( N `
 F )  = 
+oo ) )
7615, 67, 75mpjaodan 761 1  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  X  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  X
) )  <_  (
( N `  F
) x e ( L `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   RR+crp 10370   x ecxmu 10467   Basecbs 13164   0gc0g 13416    GrpHom cghm 14696   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116   normOpcnmo 18230   NGHom cnghm 18231
This theorem is referenced by:  nmoi2  18255  nmoleub2lem  18611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-ghm 14697  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nmo 18233  df-nghm 18234
  Copyright terms: Public domain W3C validator