Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmolb Structured version   Unicode version

Theorem nmolb 18752
 Description: Any upper bound on the values of a linear operator translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1
nmofval.2
nmofval.3
nmofval.4
Assertion
Ref Expression
nmolb NrmGrp NrmGrp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem nmolb
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrege0 11008 . . 3
2 nmofval.1 . . . . . . . 8
3 nmofval.2 . . . . . . . 8
4 nmofval.3 . . . . . . . 8
5 nmofval.4 . . . . . . . 8
62, 3, 4, 5nmoval 18750 . . . . . . 7 NrmGrp NrmGrp
7 ssrab2 3429 . . . . . . . . 9
8 icossxr 10996 . . . . . . . . 9
97, 8sstri 3358 . . . . . . . 8
10 infmxrcl 10896 . . . . . . . 8
119, 10mp1i 12 . . . . . . 7 NrmGrp NrmGrp
126, 11eqeltrd 2511 . . . . . 6 NrmGrp NrmGrp
13 xrleid 10744 . . . . . 6
1412, 13syl 16 . . . . 5 NrmGrp NrmGrp
152, 3, 4, 5nmogelb 18751 . . . . . 6 NrmGrp NrmGrp
1612, 15mpdan 651 . . . . 5 NrmGrp NrmGrp
1714, 16mpbid 203 . . . 4 NrmGrp NrmGrp
18 oveq1 6089 . . . . . . . 8
1918breq2d 4225 . . . . . . 7
2019ralbidv 2726 . . . . . 6
21 breq2 4217 . . . . . 6
2220, 21imbi12d 313 . . . . 5
2322rspccv 3050 . . . 4
2417, 23syl 16 . . 3 NrmGrp NrmGrp
251, 24syl5bir 211 . 2 NrmGrp NrmGrp
26253impib 1152 1 NrmGrp NrmGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706  crab 2710   wss 3321   class class class wbr 4213  ccnv 4878  cfv 5455  (class class class)co 6082  csup 7446  cr 8990  cc0 8991   cmul 8996   cpnf 9118  cxr 9120   clt 9121   cle 9122  cico 10919  cbs 13470   cghm 15004  cnm 18625  NrmGrpcngp 18626  cnmo 18740 This theorem is referenced by:  nmolb2d  18753  nmoleub  18766 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-ico 10923  df-nmo 18743
 Copyright terms: Public domain W3C validator