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Theorem nmolb 18752
Description: Any upper bound on the values of a linear operator translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmofval.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmofval.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmofval.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmolb  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  A ) )
Distinct variable groups:    x, L    x, M    x, S    x, T    x, A    x, F    x, V    x, N

Proof of Theorem nmolb
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrege0 11008 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
2 nmofval.1 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( S normOp T )
3 nmofval.2 . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  S
)
4 nmofval.3 . . . . . . . 8  |-  L  =  ( norm `  S
)
5 nmofval.4 . . . . . . . 8  |-  M  =  ( norm `  T
)
62, 3, 4, 5nmoval 18750 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  =  sup ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) } ,  RR* ,  `'  <  )
)
7 ssrab2 3429 . . . . . . . . 9  |-  { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  (
0 [,)  +oo )
8 icossxr 10996 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
97, 8sstri 3358 . . . . . . . 8  |-  { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  RR*
10 infmxrcl 10896 . . . . . . . 8  |-  ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  RR*  ->  sup ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 x ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
119, 10mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  sup ( { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
126, 11eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
13 xrleid 10744 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  e.  RR*  ->  ( N `
 F )  <_ 
( N `  F
) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  <_  ( N `  F )
)
152, 3, 4, 5nmogelb 18751 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( N `  F )  e.  RR* )  ->  ( ( N `
 F )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r ) ) )
1612, 15mpdan 651 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r ) ) )
1714, 16mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r ) )
18 oveq1 6089 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  A  ->  (
r  x.  ( L `
 x ) )  =  ( A  x.  ( L `  x ) ) )
1918breq2d 4225 . . . . . . 7  |-  ( r  =  A  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  <->  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) ) ) )
2019ralbidv 2726 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  <->  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) ) ) )
21 breq2 4217 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  (
( N `  F
)  <_  r  <->  ( N `  F )  <_  A
) )
2220, 21imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( r  =  A  ->  (
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r )  <->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  ->  ( N `  F )  <_  A
) ) )
2322rspccv 3050 . . . 4  |-  ( A. r  e.  ( 0 [,)  +oo ) ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
)  ->  ( N `  F )  <_  r
)  ->  ( A  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) )  -> 
( N `  F
)  <_  A )
) )
2417, 23syl 16 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( A  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) )  -> 
( N `  F
)  <_  A )
) )
251, 24syl5bir 211 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
) ) )
26253impib 1152 1  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   {crab 2710    C_ wss 3321   class class class wbr 4213   `'ccnv 4878   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   supcsup 7446   RRcr 8990   0cc0 8991    x. cmul 8996    +oocpnf 9118   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122   [,)cico 10919   Basecbs 13470    GrpHom cghm 15004   normcnm 18625  NrmGrpcngp 18626   normOpcnmo 18740
This theorem is referenced by:  nmolb2d  18753  nmoleub  18766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-ico 10923  df-nmo 18743
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