MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmolb Unicode version

Theorem nmolb 18226
Description: Any upper bound on the values of a linear operator translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmofval.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmofval.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmofval.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
Assertion
Ref Expression
nmolb  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  A ) )
Distinct variable groups:    x, L    x, M    x, S    x, T    x, A    x, F    x, V    x, N

Proof of Theorem nmolb
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrege0 10746 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
2 nmofval.1 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( S normOp T )
3 nmofval.2 . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  S
)
4 nmofval.3 . . . . . . . 8  |-  L  =  ( norm `  S
)
5 nmofval.4 . . . . . . . 8  |-  M  =  ( norm `  T
)
62, 3, 4, 5nmoval 18224 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  =  sup ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) ) } ,  RR* ,  `'  <  )
)
7 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9  |-  { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  (
0 [,)  +oo )
8 icossxr 10734 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
97, 8sstri 3188 . . . . . . . 8  |-  { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  RR*
10 infmxrcl 10635 . . . . . . . 8  |-  ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) }  C_  RR*  ->  sup ( { r  e.  ( 0 [,)  +oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  (
r  x.  ( L `
 x ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
119, 10mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  sup ( { r  e.  ( 0 [,) 
+oo )  |  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
) } ,  RR* ,  `'  <  )  e.  RR* )
126, 11eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
13 xrleid 10484 . . . . . 6  |-  ( ( N `  F )  e.  RR*  ->  ( N `
 F )  <_ 
( N `  F
) )
1412, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  <_  ( N `  F )
)
152, 3, 4, 5nmogelb 18225 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( N `  F )  e.  RR* )  ->  ( ( N `
 F )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r ) ) )
1612, 15mpdan 649 . . . . 5  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( N `
 F )  <_ 
( N `  F
)  <->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r ) ) )
1714, 16mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  A. r  e.  ( 0 [,)  +oo )
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r ) )
18 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  A  ->  (
r  x.  ( L `
 x ) )  =  ( A  x.  ( L `  x ) ) )
1918breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( r  =  A  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  <->  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) ) ) )
2019ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  <->  A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) ) ) )
21 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( r  =  A  ->  (
( N `  F
)  <_  r  <->  ( N `  F )  <_  A
) )
2220, 21imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( r  =  A  ->  (
( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( r  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  r )  <->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  ->  ( N `  F )  <_  A
) ) )
2322rspccv 2881 . . . 4  |-  ( A. r  e.  ( 0 [,)  +oo ) ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( r  x.  ( L `  x )
)  ->  ( N `  F )  <_  r
)  ->  ( A  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) )  -> 
( N `  F
)  <_  A )
) )
2417, 23syl 15 . . 3  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( A  e.  ( 0 [,)  +oo )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) )  -> 
( N `  F
)  <_  A )
) )
251, 24syl5bir 209 . 2  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
) ) )
26253impib 1149 1  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   [,)cico 10658   Basecbs 13148    GrpHom cghm 14680   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100   normOpcnmo 18214
This theorem is referenced by:  nmolb2d  18227  nmoleub  18240
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-ico 10662  df-nmo 18217
  Copyright terms: Public domain W3C validator