Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmolb2d Structured version   Unicode version

Theorem nmolb2d 18754
 Description: Any upper bound on the values of a linear operator at nonzero vectors translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1
nmofval.2
nmofval.3
nmofval.4
nmolb2d.z
nmolb2d.1 NrmGrp
nmolb2d.2 NrmGrp
nmolb2d.3
nmolb2d.4
nmolb2d.5
nmolb2d.6
Assertion
Ref Expression
nmolb2d
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem nmolb2d
StepHypRef Expression
1 fveq2 5730 . . . . . 6
21fveq2d 5734 . . . . 5
3 fveq2 5730 . . . . . 6
43oveq2d 6099 . . . . 5
52, 4breq12d 4227 . . . 4
6 nmolb2d.6 . . . . 5
76anassrs 631 . . . 4
8 0le0 10083 . . . . . . 7
9 nmolb2d.4 . . . . . . . . 9
109recnd 9116 . . . . . . . 8
1110mul01d 9267 . . . . . . 7
128, 11syl5breqr 4250 . . . . . 6
13 nmolb2d.3 . . . . . . . . 9
14 nmolb2d.z . . . . . . . . . 10
15 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
1614, 15ghmid 15014 . . . . . . . . 9
1713, 16syl 16 . . . . . . . 8
1817fveq2d 5734 . . . . . . 7
19 nmolb2d.2 . . . . . . . 8 NrmGrp
20 nmofval.4 . . . . . . . . 9
2120, 15nm0 18675 . . . . . . . 8 NrmGrp
2219, 21syl 16 . . . . . . 7
2318, 22eqtrd 2470 . . . . . 6
24 nmolb2d.1 . . . . . . . 8 NrmGrp
25 nmofval.3 . . . . . . . . 9
2625, 14nm0 18675 . . . . . . . 8 NrmGrp
2724, 26syl 16 . . . . . . 7
2827oveq2d 6099 . . . . . 6
2912, 23, 283brtr4d 4244 . . . . 5
3029adantr 453 . . . 4
315, 7, 30pm2.61ne 2681 . . 3
3231ralrimiva 2791 . 2
33 nmolb2d.5 . . 3
34 nmofval.1 . . . 4
35 nmofval.2 . . . 4
3634, 35, 25, 20nmolb 18753 . . 3 NrmGrp NrmGrp
3724, 19, 13, 9, 33, 36syl311anc 1199 . 2
3832, 37mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707   class class class wbr 4214  cfv 5456  (class class class)co 6083  cr 8991  cc0 8992   cmul 8997   cle 9123  cbs 13471  c0g 13725   cghm 15005  cnm 18626  NrmGrpcngp 18627  cnmo 18741 This theorem is referenced by:  nmo0  18771  nmoco  18773  nmotri  18775  nmoid  18778  nmoleub2lem  19124 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-topgen 13669  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-ghm 15006  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-xms 18352  df-ms 18353  df-nm 18632  df-ngp 18633  df-nmo 18744
 Copyright terms: Public domain W3C validator