MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmolb2d Structured version   Unicode version

Theorem nmolb2d 18754
Description: Any upper bound on the values of a linear operator at nonzero vectors translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmofval.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmofval.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmofval.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmolb2d.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
nmolb2d.1  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
nmolb2d.2  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
nmolb2d.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S 
GrpHom  T ) )
nmolb2d.4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nmolb2d.5  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
nmolb2d.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  -> 
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
nmolb2d  |-  ( ph  ->  ( N `  F
)  <_  A )
Distinct variable groups:    x, L    x, M    x, S    x, T    x, A    x, F    ph, x    x, V    x, N
Allowed substitution hint:    .0. ( x)

Proof of Theorem nmolb2d
StepHypRef Expression
1 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( x  =  .0.  ->  ( F `  x )  =  ( F `  .0.  ) )
21fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( x  =  .0.  ->  ( M `  ( F `  x ) )  =  ( M `  ( F `  .0.  ) ) )
3 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( x  =  .0.  ->  ( L `  x )  =  ( L `  .0.  ) )
43oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( x  =  .0.  ->  ( A  x.  ( L `  x ) )  =  ( A  x.  ( L `  .0.  ) ) )
52, 4breq12d 4227 . . . 4  |-  ( x  =  .0.  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  <->  ( M `  ( F `  .0.  ) )  <_  ( A  x.  ( L `  .0.  ) ) ) )
6 nmolb2d.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  -> 
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) )
76anassrs 631 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  V )  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
) )
8 0le0 10083 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
9 nmolb2d.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
109recnd 9116 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1110mul01d 9267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
128, 11syl5breqr 4250 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  0 ) )
13 nmolb2d.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S 
GrpHom  T ) )
14 nmolb2d.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
15 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
1614, 15ghmid 15014 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  T ) )
1713, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  T ) )
1817fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  .0.  ) )  =  ( M `  ( 0g `  T ) ) )
19 nmolb2d.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
20 nmofval.4 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( norm `  T
)
2120, 15nm0 18675 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
2219, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
2318, 22eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  .0.  ) )  =  0 )
24 nmolb2d.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
25 nmofval.3 . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( norm `  S
)
2625, 14nm0 18675 . . . . . . . 8  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( L `  .0.  )  =  0
)
2724, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  .0.  )  =  0 )
2827oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( L `  .0.  ) )  =  ( A  x.  0 ) )
2912, 23, 283brtr4d 4244 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  .0.  ) )  <_  ( A  x.  ( L `  .0.  )
) )
3029adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  .0.  ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  .0.  ) ) )
315, 7, 30pm2.61ne 2681 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
) )
3231ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) ) )
33 nmolb2d.5 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
34 nmofval.1 . . . 4  |-  N  =  ( S normOp T )
35 nmofval.2 . . . 4  |-  V  =  ( Base `  S
)
3634, 35, 25, 20nmolb 18753 . . 3  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  A ) )
3724, 19, 13, 9, 33, 36syl311anc 1199 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  A ) )
3832, 37mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( N `  F
)  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992    x. cmul 8997    <_ cle 9123   Basecbs 13471   0gc0g 13725    GrpHom cghm 15005   normcnm 18626  NrmGrpcngp 18627   normOpcnmo 18741
This theorem is referenced by:  nmo0  18771  nmoco  18773  nmotri  18775  nmoid  18778  nmoleub2lem  19124
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ico 10924  df-topgen 13669  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-ghm 15006  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-xms 18352  df-ms 18353  df-nm 18632  df-ngp 18633  df-nmo 18744
  Copyright terms: Public domain W3C validator