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Theorem nmoleub 18722
Description: The operator norm, defined as an infimum of upper bounds, can also be defined as a supremum of norms of  F ( x ) away from zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoi.2  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoi.3  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoi.4  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmoleub.z  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
nmoleub.1  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
nmoleub.2  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
nmoleub.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S 
GrpHom  T ) )
nmoleub.4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
nmoleub.5  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
nmoleub  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, L    x, M    x, S    x, T    x, A    x, F    ph, x    x, V    x, N
Allowed substitution hint:    .0. ( x)

Proof of Theorem nmoleub
StepHypRef Expression
1 nmoleub.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
21ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  T  e. NrmGrp )
3 nmoleub.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S 
GrpHom  T ) )
4 nmoi.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  ( Base `  S
)
5 eqid 2408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
64, 5ghmf 14969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
73, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : V --> ( Base `  T ) )
87ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  F : V --> ( Base `  T )
)
9 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  x  e.  V
)
10 ffvelrn 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : V --> ( Base `  T )  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )
118, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( F `  x )  e.  (
Base `  T )
)
12 nmoi.4 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( norm `  T
)
135, 12nmcl 18619 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR )
142, 11, 13syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR )
15 nmoleub.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
1615adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N `  F )  <_  A
)  ->  S  e. NrmGrp )
17 nmoi.3 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( norm `  S
)
18 nmoleub.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  S )
194, 17, 18nmrpcl 18623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( L `  x )  e.  RR+ )
20193expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( L `  x )  e.  RR+ )
2116, 20sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( L `  x )  e.  RR+ )
2214, 21rerpdivcld 10635 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  e.  RR )
2322rexrd 9094 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  e.  RR* )
24 nmofval.1 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( S normOp T )
2524nmocl 18711 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
2615, 1, 3, 25syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  F
)  e.  RR* )
2726ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
28 nmoleub.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
2928ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  A  e.  RR* )
3015, 1, 33jca 1134 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) ) )
3130adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( N `  F )  <_  A
)  ->  ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) ) )
3224, 4, 17, 12, 18nmoi2 18721 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  ( x  e.  V  /\  x  =/= 
.0.  ) )  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  ( L `
 x ) )  <_  ( N `  F ) )
3331, 32sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  <_  ( N `  F )
)
34 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
3523, 27, 29, 33, 34xrletrd 10712 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  x  =/=  .0.  ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  <_  A
)
3635expr 599 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  x  e.  V )  ->  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )
3736ralrimiva 2753 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( N `  F )  <_  A
)  ->  A. x  e.  V  ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  <_  A
) )
38 0le0 10041 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
39 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  A  e.  RR )
4039recnd 9074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  A  e.  CC )
4140mul01d 9225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
4238, 41syl5breqr 4212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  0  <_ 
( A  x.  0 ) )
43 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  .0.  ->  ( F `  x )  =  ( F `  .0.  ) )
443ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
45 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
4618, 45ghmid 14971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  T ) )
4744, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  T
) )
4843, 47sylan9eqr 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( F `
 x )  =  ( 0g `  T
) )
4948fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( F `  x ) )  =  ( M `  ( 0g `  T ) ) )
501ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  T  e. NrmGrp
)
5112, 45nm0 18630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( 0g `  T ) )  =  0 )
5349, 52eqtrd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( F `  x ) )  =  0 )
54 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  .0.  ->  ( L `  x )  =  ( L `  .0.  ) )
5515ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  S  e. NrmGrp )
5617, 18nm0 18630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( L `  .0.  )  =  0
)
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  .0.  )  =  0 )
5854, 57sylan9eqr 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( L `
 x )  =  0 )
5958oveq2d 6060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( A  x.  ( L `  x ) )  =  ( A  x.  0 ) )
6042, 53, 593brtr4d 4206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( F `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
) )
6160a1d 23 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =  .0.  )  ->  ( ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A )  -> 
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) ) )
62 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  x  =/= 
.0.  )
631ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  T  e. NrmGrp )
647adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
6564, 10sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )
6663, 65, 13syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR )
6766adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( M `
 ( F `  x ) )  e.  RR )
68 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  A  e.  RR )
6915adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  S  e. NrmGrp
)
70193expa 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  V )  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( L `  x )  e.  RR+ )
7169, 70sylanl1 632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( L `
 x )  e.  RR+ )
7267, 68, 71ledivmul2d 10658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A  <->  ( M `  ( F `  x
) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) ) ) )
7372biimpd 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A  ->  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
) ) )
7462, 73embantd 52 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V
)  /\  x  =/=  .0.  )  ->  ( ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A )  -> 
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) ) )
7561, 74pm2.61dane 2649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  x  e.  V )  ->  (
( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  ( L `
 x ) )  <_  A )  -> 
( M `  ( F `  x )
)  <_  ( A  x.  ( L `  x
) ) ) )
7675ralimdva 2748 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A )  ->  A. x  e.  V  ( M `  ( F `
 x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x ) ) ) )
771adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  T  e. NrmGrp
)
783adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
79 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
80 nmoleub.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
8180adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  A )
8224, 4, 17, 12nmolb 18708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( A  x.  ( L `  x
) )  ->  ( N `  F )  <_  A ) )
8369, 77, 78, 79, 81, 82syl311anc 1198 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  V  ( M `  ( F `  x ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  x )
)  ->  ( N `  F )  <_  A
) )
8476, 83syld 42 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A )  -> 
( N `  F
)  <_  A )
)
8584imp 419 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  RR )  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
8685an32s 780 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
8726ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  /\  A  =  +oo )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
88 pnfge 10687 . . . . 5  |-  ( ( N `  F )  e.  RR*  ->  ( N `
 F )  <_  +oo )
8987, 88syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  /\  A  =  +oo )  ->  ( N `  F )  <_  +oo )
90 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  /\  A  =  +oo )  ->  A  =  +oo )
9189, 90breqtrrd 4202 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  (
x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) )  /\  A  =  +oo )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
92 ge0nemnf 10721 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  =/=  -oo )
9328, 80, 92syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  -oo )
9428, 93jca 519 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  A  =/=  -oo )
)
95 xrnemnf 10678 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/=  -oo )  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = 
+oo ) )
9694, 95sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  \/  A  =  +oo ) )
9796adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  <_  A
) )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  =  +oo ) )
9886, 91, 97mpjaodan 762 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  / 
( L `  x
) )  <_  A
) )  ->  ( N `  F )  <_  A )
9937, 98impbida 806 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( x  =/=  .0.  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  ( L `
 x ) )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   class class class wbr 4176   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949   0cc0 8950    x. cmul 8955    +oocpnf 9077    -oocmnf 9078   RR*cxr 9079    <_ cle 9081    / cdiv 9637   RR+crp 10572   Basecbs 13428   0gc0g 13682    GrpHom cghm 14962   normcnm 18581  NrmGrpcngp 18582   normOpcnmo 18696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ico 10882  df-topgen 13626  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-grp 14771  df-ghm 14963  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-xms 18307  df-ms 18308  df-nm 18587  df-ngp 18588  df-nmo 18699  df-nghm 18700
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