MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoleub2b Structured version   Unicode version

Theorem nmoleub2b 19157
Description: The operator norm is the supremum of the value of a linear operator in the open unit ball. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoleub2.v  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoleub2.l  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoleub2.m  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmoleub2.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmoleub2.w  |-  K  =  ( Base `  G
)
nmoleub2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
nmoleub2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
nmoleub2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nmoleub2a.5  |-  ( ph  ->  QQ  C_  K )
Assertion
Ref Expression
nmoleub2b  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  R )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, L    x, N    x, M    ph, x    x, S    x, V    x, R
Allowed substitution hints:    T( x)    G( x)    K( x)

Proof of Theorem nmoleub2b
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2  |-  N  =  ( S normOp T )
2 nmoleub2.v . 2  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 nmoleub2.l . 2  |-  L  =  ( norm `  S
)
4 nmoleub2.m . 2  |-  M  =  ( norm `  T
)
5 nmoleub2.g . 2  |-  G  =  (Scalar `  S )
6 nmoleub2.w . 2  |-  K  =  ( Base `  G
)
7 nmoleub2.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
8 nmoleub2.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
9 nmoleub2.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
10 nmoleub2.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
11 nmoleub2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
12 nmoleub2a.5 . 2  |-  ( ph  ->  QQ  C_  K )
13 ltle 9194 . 2  |-  ( ( ( L `  x
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( L `  x
)  <_  R )
)
14 idd 23 . 2  |-  ( ( ( L `  x
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( L `  x
)  <  R )
)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14nmoleub2lem2 19155 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  R )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711    i^i cin 3305    C_ wss 3306   class class class wbr 4237   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   RRcr 9020   RR*cxr 9150    < clt 9151    <_ cle 9152    / cdiv 9708   QQcq 10605   RR+crp 10643   Basecbs 13500  Scalarcsca 13563   LMHom clmhm 16126   normcnm 18655  NrmModcnlm 18659   normOpcnmo 18770  CModcclm 19118
This theorem is referenced by:  nmhmcn  19159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ico 10953  df-fz 11075  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-topgen 13698  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-grp 14843  df-subg 14972  df-ghm 15035  df-cmn 15445  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-cring 15695  df-subrg 15897  df-lmod 15983  df-lmhm 16129  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-xms 18381  df-ms 18382  df-nm 18661  df-ngp 18662  df-nlm 18665  df-nmo 18773  df-nghm 18774  df-clm 19119
  Copyright terms: Public domain W3C validator