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Theorem nmoleub2lem 18611
Description: Lemma for nmoleub2a 18614 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoleub2.v  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoleub2.l  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoleub2.m  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmoleub2.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmoleub2.w  |-  K  =  ( Base `  G
)
nmoleub2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
nmoleub2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
nmoleub2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nmoleub2lem.5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  0  <_  A
)
nmoleub2lem.6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( M `  ( F `  y ) )  <_  ( A  x.  ( L `  y
) ) )
nmoleub2lem.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( ps  ->  ( L `  x )  <_  R
) )
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    x, L, y    x, N, y   
x, M, y    ph, x, y    ps, y    x, S, y    x, V, y   
x, R, y    y, T
Allowed substitution hints:    ps( x)    T( x)    G( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem nmoleub2lem
StepHypRef Expression
1 nmoleub2lem.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( ps  ->  ( L `  x )  <_  R
) )
21adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  x  e.  V )  ->  ( ps  ->  ( L `  x )  <_  R
) )
3 inss1 3402 . . . . . . . . . . . 12  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ NrmMod
4 nmoleub2.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
53, 4sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e. NrmMod )
6 nlmngp 18204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
75, 6syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
87ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  T  e. NrmGrp )
9 nmoleub2.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
10 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  =  ( Base `  S
)
11 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
1210, 11lmhmf 15807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
139, 12syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : V --> ( Base `  T ) )
1413ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  F : V --> ( Base `  T )
)
15 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  x  e.  V
)
16 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : V --> ( Base `  T )  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )
1714, 15, 16syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( F `  x )  e.  (
Base `  T )
)
18 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( norm `  T
)
1911, 18nmcl 18153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR )
208, 17, 19syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR )
21 nmoleub2.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
2221ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  R  e.  RR+ )
2320, 22rerpdivcld 10433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  e.  RR )
2423rexrd 8897 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  e.  RR* )
25 nmoleub2.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
263, 25sseldi 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e. NrmMod )
27 nlmngp 18204 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
2826, 27syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
29 lmghm 15804 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
309, 29syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S 
GrpHom  T ) )
31 nmoleub2.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( S normOp T )
3231nmocl 18245 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
3328, 7, 30, 32syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  F
)  e.  RR* )
3433ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
35 nmoleub2.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3635ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  A  e.  RR* )
3722rpred 10406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  R  e.  RR )
38 rexmul 10607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  (
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R ) x e R )  =  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  x.  R ) )
3923, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R ) x e R )  =  ( ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  x.  R
) )
4020recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  CC )
4137recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  R  e.  CC )
4222rpne0d 10411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  R  =/=  0
)
4340, 41, 42divcan1d 9553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  x.  R )  =  ( M `  ( F `
 x ) ) )
4439, 43eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R ) x e R )  =  ( M `  ( F `  x )
) )
4520rexrd 8897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR* )
4628ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  S  e. NrmGrp )
47 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  ( norm `  S
)
4810, 47nmcl 18153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  x )  e.  RR )
4946, 15, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( L `  x )  e.  RR )
5049rexrd 8897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( L `  x )  e.  RR* )
5134, 50xmulcld 10638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( N `
 F ) x e ( L `  x ) )  e. 
RR* )
5222rpxrd 10407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  R  e.  RR* )
5334, 52xmulcld 10638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( N `
 F ) x e R )  e. 
RR* )
5430ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
5531, 10, 47, 18nmoix 18254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  x
) )  <_  (
( N `  F
) x e ( L `  x ) ) )
5646, 8, 54, 15, 55syl31anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( ( N `  F ) x e ( L `  x ) ) )
5731nmoge0 18246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
5828, 7, 30, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  F ) )
5933, 58jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  F ) ) )
6059ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( N `
 F )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( N `  F ) ) )
61 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( L `  x )  <_  R
)
62 xlemul2a 10625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L `  x )  e.  RR*  /\  R  e.  RR*  /\  (
( N `  F
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  F
) ) )  /\  ( L `  x )  <_  R )  -> 
( ( N `  F ) x e ( L `  x
) )  <_  (
( N `  F
) x e R ) )
6350, 52, 60, 61, 62syl31anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( N `
 F ) x e ( L `  x ) )  <_ 
( ( N `  F ) x e R ) )
6445, 51, 53, 56, 63xrletrd 10509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( ( N `  F ) x e R ) )
6544, 64eqbrtrd 4059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R ) x e R )  <_ 
( ( N `  F ) x e R ) )
66 xlemul1 10626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  e.  RR*  /\  ( N `  F )  e.  RR*  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( ( ( M `  ( F `  x )
)  /  R )  <_  ( N `  F )  <->  ( (
( M `  ( F `  x )
)  /  R ) x e R )  <_  ( ( N `
 F ) x e R ) ) )
6724, 34, 22, 66syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_ 
( N `  F
)  <->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R ) x e R )  <_ 
( ( N `  F ) x e R ) ) )
6865, 67mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  ( N `  F )
)
69 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
7024, 34, 36, 68, 69xrletrd 10509 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
)
7170expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  x  e.  V )  ->  (
( L `  x
)  <_  R  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  R )  <_  A ) )
722, 71syld 40 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  x  e.  V )  ->  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )
7372ralrimiva 2639 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( N `  F )  <_  A
)  ->  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )
74 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
7528ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  S  e. NrmGrp )
767ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  T  e. NrmGrp )
7730ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
78 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
79 nmoleub2lem.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  0  <_  A
)
8079adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  A )
81 nmoleub2lem.6 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( M `  ( F `  y ) )  <_  ( A  x.  ( L `  y
) ) )
8231, 10, 47, 18, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81nmolb2d 18243 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( N `  F )  <_  A )
8333ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  =  +oo )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
84 pnfge 10485 . . . . 5  |-  ( ( N `  F )  e.  RR*  ->  ( N `
 F )  <_  +oo )
8583, 84syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  =  +oo )  ->  ( N `  F )  <_  +oo )
86 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  =  +oo )  ->  A  =  +oo )
8785, 86breqtrrd 4065 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  =  +oo )  ->  ( N `  F )  <_  A )
8835adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  A  e.  RR* )
89 ge0nemnf 10518 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  =/=  -oo )
9088, 79, 89syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  A  =/=  -oo )
9188, 90jca 518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  ( A  e. 
RR*  /\  A  =/=  -oo ) )
92 xrnemnf 10476 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/=  -oo )  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = 
+oo ) )
9391, 92sylib 188 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = 
+oo ) )
9482, 87, 93mpjaodan 761 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
9573, 94impbida 805 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    i^i cin 3164   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    <_ cle 8884    / cdiv 9439   RR+crp 10370   x ecxmu 10467   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   0gc0g 13416    GrpHom cghm 14696   LMHom clmhm 15792   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116  NrmModcnlm 18119   normOpcnmo 18230  CModcclm 18576
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  18613  nmoleub3  18616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-ghm 14697  df-lmhm 15795  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nlm 18125  df-nmo 18233  df-nghm 18234
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