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Theorem nmoleub2lem 18993
Description: Lemma for nmoleub2a 18996 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoleub2.v  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoleub2.l  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoleub2.m  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmoleub2.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmoleub2.w  |-  K  =  ( Base `  G
)
nmoleub2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
nmoleub2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
nmoleub2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nmoleub2lem.5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  0  <_  A
)
nmoleub2lem.6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( M `  ( F `  y ) )  <_  ( A  x.  ( L `  y
) ) )
nmoleub2lem.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( ps  ->  ( L `  x )  <_  R
) )
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    x, L, y    x, N, y   
x, M, y    ph, x, y    ps, y    x, S, y    x, V, y   
x, R, y    y, T
Allowed substitution hints:    ps( x)    T( x)    G( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem nmoleub2lem
StepHypRef Expression
1 nmoleub2lem.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( ps  ->  ( L `  x )  <_  R
) )
21adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  x  e.  V )  ->  ( ps  ->  ( L `  x )  <_  R
) )
3 inss1 3504 . . . . . . . . . . . 12  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ NrmMod
4 nmoleub2.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
53, 4sseldi 3289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e. NrmMod )
6 nlmngp 18584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
87ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  T  e. NrmGrp )
9 nmoleub2.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
10 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  =  ( Base `  S
)
11 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
1210, 11lmhmf 16037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
139, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : V --> ( Base `  T ) )
1413ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  F : V --> ( Base `  T )
)
15 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  x  e.  V
)
1614, 15ffvelrnd 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( F `  x )  e.  (
Base `  T )
)
17 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( norm `  T
)
1811, 17nmcl 18533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  x )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR )
198, 16, 18syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR )
20 nmoleub2.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
2120ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  R  e.  RR+ )
2219, 21rerpdivcld 10607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  e.  RR )
2322rexrd 9067 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  e.  RR* )
24 nmoleub2.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
253, 24sseldi 3289 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e. NrmMod )
26 nlmngp 18584 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
28 lmghm 16034 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
299, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S 
GrpHom  T ) )
30 nmoleub2.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( S normOp T )
3130nmocl 18625 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
3227, 7, 29, 31syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  F
)  e.  RR* )
3332ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
34 nmoleub2.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3534ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  A  e.  RR* )
3621rpred 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  R  e.  RR )
37 rexmul 10782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  (
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R ) x e R )  =  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  x.  R ) )
3822, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R ) x e R )  =  ( ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  x.  R
) )
3919recnd 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  CC )
4036recnd 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  R  e.  CC )
4121rpne0d 10585 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  R  =/=  0
)
4239, 40, 41divcan1d 9723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  x.  R )  =  ( M `  ( F `
 x ) ) )
4338, 42eqtrd 2419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R ) x e R )  =  ( M `  ( F `  x )
) )
4419rexrd 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  e.  RR* )
4527ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  S  e. NrmGrp )
46 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  ( norm `  S
)
4710, 46nmcl 18533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  x )  e.  RR )
4845, 15, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( L `  x )  e.  RR )
4948rexrd 9067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( L `  x )  e.  RR* )
5033, 49xmulcld 10813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( N `
 F ) x e ( L `  x ) )  e. 
RR* )
5121rpxrd 10581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  R  e.  RR* )
5233, 51xmulcld 10813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( N `
 F ) x e R )  e. 
RR* )
5329ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
5430, 10, 46, 17nmoix 18634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  /\  x  e.  V
)  ->  ( M `  ( F `  x
) )  <_  (
( N `  F
) x e ( L `  x ) ) )
5545, 8, 53, 15, 54syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( ( N `  F ) x e ( L `  x ) ) )
5630nmoge0 18626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  T  e. NrmGrp  /\  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )  ->  0  <_  ( N `  F )
)
5727, 7, 29, 56syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  F ) )
5832, 57jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  F ) ) )
5958ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( N `
 F )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( N `  F ) ) )
60 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( L `  x )  <_  R
)
61 xlemul2a 10800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L `  x )  e.  RR*  /\  R  e.  RR*  /\  (
( N `  F
)  e.  RR*  /\  0  <_  ( N `  F
) ) )  /\  ( L `  x )  <_  R )  -> 
( ( N `  F ) x e ( L `  x
) )  <_  (
( N `  F
) x e R ) )
6249, 51, 59, 60, 61syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( N `
 F ) x e ( L `  x ) )  <_ 
( ( N `  F ) x e R ) )
6344, 50, 52, 55, 62xrletrd 10684 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  <_  ( ( N `  F ) x e R ) )
6443, 63eqbrtrd 4173 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R ) x e R )  <_ 
( ( N `  F ) x e R ) )
65 xlemul1 10801 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  e.  RR*  /\  ( N `  F )  e.  RR*  /\  R  e.  RR+ )  ->  ( ( ( M `  ( F `  x )
)  /  R )  <_  ( N `  F )  <->  ( (
( M `  ( F `  x )
)  /  R ) x e R )  <_  ( ( N `
 F ) x e R ) ) )
6623, 33, 21, 65syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_ 
( N `  F
)  <->  ( ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R ) x e R )  <_ 
( ( N `  F ) x e R ) ) )
6764, 66mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  ( N `  F )
)
68 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
6923, 33, 35, 67, 68xrletrd 10684 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  (
x  e.  V  /\  ( L `  x )  <_  R ) )  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
)
7069expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  x  e.  V )  ->  (
( L `  x
)  <_  R  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  R )  <_  A ) )
712, 70syld 42 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  F )  <_  A )  /\  x  e.  V )  ->  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )
7271ralrimiva 2732 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( N `  F )  <_  A
)  ->  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )
73 eqid 2387 . . . 4  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
7427ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  S  e. NrmGrp )
757ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  T  e. NrmGrp )
7629ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
77 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
78 nmoleub2lem.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  0  <_  A
)
7978adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  A )
80 nmoleub2lem.6 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( M `  ( F `  y ) )  <_  ( A  x.  ( L `  y
) ) )
8130, 10, 46, 17, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 80nmolb2d 18623 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( N `  F )  <_  A )
8232ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  =  +oo )  ->  ( N `  F )  e.  RR* )
83 pnfge 10659 . . . . 5  |-  ( ( N `  F )  e.  RR*  ->  ( N `
 F )  <_  +oo )
8482, 83syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  =  +oo )  ->  ( N `  F )  <_  +oo )
85 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  =  +oo )  ->  A  =  +oo )
8684, 85breqtrrd 4179 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  =  +oo )  ->  ( N `  F )  <_  A )
8734adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  A  e.  RR* )
88 ge0nemnf 10693 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  =/=  -oo )
8987, 78, 88syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  A  =/=  -oo )
9087, 89jca 519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  ( A  e. 
RR*  /\  A  =/=  -oo ) )
91 xrnemnf 10650 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/=  -oo )  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = 
+oo ) )
9290, 91sylib 189 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = 
+oo ) )
9381, 86, 92mpjaodan 762 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  ( N `  F )  <_  A
)
9472, 93impbida 806 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ps  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649    i^i cin 3262   class class class wbr 4153   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923    x. cmul 8928    +oocpnf 9050    -oocmnf 9051   RR*cxr 9052    <_ cle 9054    / cdiv 9609   RR+crp 10544   x ecxmu 10641   Basecbs 13396  Scalarcsca 13459   0gc0g 13650    GrpHom cghm 14930   LMHom clmhm 16022   normcnm 18495  NrmGrpcngp 18496  NrmModcnlm 18499   normOpcnmo 18610  CModcclm 18958
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  18995  nmoleub3  18998
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ico 10854  df-topgen 13594  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-ghm 14931  df-lmhm 16025  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-xms 18259  df-ms 18260  df-nm 18501  df-ngp 18502  df-nlm 18505  df-nmo 18613  df-nghm 18614
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