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Theorem nmoleub2lem2 19124
Description: Lemma for nmoleub2a 19125 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoleub2.v  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoleub2.l  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoleub2.m  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmoleub2.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmoleub2.w  |-  K  =  ( Base `  G
)
nmoleub2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
nmoleub2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
nmoleub2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nmoleub2a.5  |-  ( ph  ->  QQ  C_  K )
nmoleub2lem2.6  |-  ( ( ( L `  x
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( L `  x ) O R  ->  ( L `  x )  <_  R
) )
nmoleub2lem2.7  |-  ( ( ( L `  x
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( L `  x
) O R ) )
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ( L `  x
) O R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, L    x, N    x, M    ph, x    x, S    x, V    x, R
Allowed substitution hints:    T( x)    G( x)    K( x)    O( x)

Proof of Theorem nmoleub2lem2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2  |-  N  =  ( S normOp T )
2 nmoleub2.v . 2  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 nmoleub2.l . 2  |-  L  =  ( norm `  S
)
4 nmoleub2.m . 2  |-  M  =  ( norm `  T
)
5 nmoleub2.g . 2  |-  G  =  (Scalar `  S )
6 nmoleub2.w . 2  |-  K  =  ( Base `  G
)
7 nmoleub2.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
8 nmoleub2.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
9 nmoleub2.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
10 nmoleub2.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
11 nmoleub2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
12 lmghm 16107 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
13 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
14 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
1513, 14ghmid 15012 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
169, 12, 153syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T ) )
1716fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  ( M `  ( 0g `  T ) ) )
18 inss1 3561 . . . . . . . . 9  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ NrmMod
1918, 8sseldi 3346 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e. NrmMod )
20 nlmngp 18713 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
214, 14nm0 18673 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. NrmGrp  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
2219, 20, 213syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( 0g `  T ) )  =  0 )
2317, 22eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  0 )
2423adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  0 )
2524oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( 0g
`  S ) ) )  /  R )  =  ( 0  /  R ) )
2611adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  R  e.  RR+ )
2726rpcnd 10650 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  R  e.  CC )
2826rpne0d 10653 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  R  =/=  0 )
2927, 28div0d 9789 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( 0  /  R
)  =  0 )
3025, 29eqtrd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( 0g
`  S ) ) )  /  R )  =  0 )
3118, 7sseldi 3346 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e. NrmMod )
32 nlmngp 18713 . . . . . . 7  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
3331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
34 ngpgrp 18646 . . . . . 6  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  S  e.  Grp )
352, 13grpidcl 14833 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Grp  ->  ( 0g `  S )  e.  V )
3633, 34, 353syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  S
)  e.  V )
3736adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( 0g `  S
)  e.  V )
382, 3nmcl 18662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  x )  e.  RR )
3933, 38sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( L `  x )  e.  RR )
4011adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  e.  RR+ )
4140rpred 10648 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  e.  RR )
42 nmoleub2lem2.7 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L `  x
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( L `  x
) O R ) )
4339, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( L `  x
)  <  R  ->  ( L `  x ) O R ) )
4443imim1d 71 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
)  ->  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) ) )
4544ralimdva 2784 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  V  ( ( L `
 x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
)  ->  A. x  e.  V  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) ) )
4645imp 419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  ->  A. x  e.  V  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )
473, 13nm0 18673 . . . . . . 7  |-  ( S  e. NrmGrp  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
4831, 32, 473syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
4948adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( L `  ( 0g `  S ) )  =  0 )
5026rpgt0d 10651 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
0  <  R )
5149, 50eqbrtrd 4232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( L `  ( 0g `  S ) )  <  R )
52 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  ( L `  x )  =  ( L `  ( 0g `  S ) ) )
5352breq1d 4222 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  (
( L `  x
)  <  R  <->  ( L `  ( 0g `  S
) )  <  R
) )
54 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
5554fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  =  ( M `  ( F `  ( 0g `  S ) ) ) )
5655oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  /  R )  =  ( ( M `
 ( F `  ( 0g `  S ) ) )  /  R
) )
5756breq1d 4222 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  (
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A  <->  ( ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  /  R )  <_  A
) )
5853, 57imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  S )  ->  (
( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A )  <->  ( ( L `  ( 0g `  S ) )  < 
R  ->  ( ( M `  ( F `  ( 0g `  S
) ) )  /  R )  <_  A
) ) )
5958rspcv 3048 . . . 4  |-  ( ( 0g `  S )  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A )  -> 
( ( L `  ( 0g `  S ) )  <  R  -> 
( ( M `  ( F `  ( 0g
`  S ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
6037, 46, 51, 59syl3c 59 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( 0g
`  S ) ) )  /  R )  <_  A )
6130, 60eqbrtrrd 4234 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
0  <_  A )
62 simp-4l 743 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  ph )
6362, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
6462, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
6562, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
6662, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  A  e.  RR* )
6762, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  R  e.  RR+ )
68 nmoleub2a.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  QQ  C_  K )
6962, 68syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  QQ  C_  K )
70 eqid 2436 . . . 4  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
71 simpllr 736 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  A  e.  RR )
7261ad3antrrr 711 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  0  <_  A )
73 simplrl 737 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  y  e.  V )
74 simplrr 738 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  y  =/=  ( 0g `  S
) )
7546ad3antrrr 711 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  A. x  e.  V  ( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )
76 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  ( L `  x )  =  ( L `  ( z ( .s
`  S ) y ) ) )
7776breq1d 4222 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  (
( L `  x
)  <  R  <->  ( L `  ( z ( .s
`  S ) y ) )  <  R
) )
78 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( z ( .s
`  S ) y ) ) )
7978fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  =  ( M `  ( F `  ( z
( .s `  S
) y ) ) ) )
8079oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  /  R )  =  ( ( M `
 ( F `  ( z ( .s
`  S ) y ) ) )  /  R ) )
8180breq1d 4222 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  (
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A  <->  ( ( M `  ( F `  ( z ( .s
`  S ) y ) ) )  /  R )  <_  A
) )
8277, 81imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z ( .s `  S ) y )  ->  (
( ( L `  x )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A )  <->  ( ( L `  ( z
( .s `  S
) y ) )  <  R  ->  (
( M `  ( F `  ( z
( .s `  S
) y ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
8382rspccv 3049 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  V  (
( L `  x
)  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  x )
)  /  R )  <_  A )  -> 
( ( z ( .s `  S ) y )  e.  V  ->  ( ( L `  ( z ( .s
`  S ) y ) )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( z ( .s `  S
) y ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
8475, 83syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  (
( z ( .s
`  S ) y )  e.  V  -> 
( ( L `  ( z ( .s
`  S ) y ) )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( z ( .s `  S
) y ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
85 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )  ->  -.  ( M `  ( F `
 y ) )  <_  ( A  x.  ( L `  y ) ) )
861, 2, 3, 4, 5, 6, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 84, 85nmoleub2lem3 19123 . . 3  |-  -.  (
( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) )
87 iman 414 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
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 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  ->  ( M `  ( F `  y ) )  <_  ( A  x.  ( L `  y
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( ( ( ph  /\ 
A. x  e.  V  ( ( L `  x ) O R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S ) ) )  /\  -.  ( M `
 ( F `  y ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  y )
) ) )
8886, 87mpbir 201 . 2  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
) O R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  ( F `  y )
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) ) )
89 nmoleub2lem2.6 . . 3  |-  ( ( ( L `  x
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( L `  x ) O R  ->  ( L `  x )  <_  R
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9039, 41, 89syl2anc 643 . 2  |-  ( (
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( L `  x
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)
911, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 61, 88, 90nmoleub2lem 19122 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ( L `  x
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( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705    i^i cin 3319    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    x. cmul 8995   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   QQcq 10574   RR+crp 10612   Basecbs 13469  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685    GrpHom cghm 15003   LMHom clmhm 16095   normcnm 18624  NrmGrpcngp 18625  NrmModcnlm 18628   normOpcnmo 18739  CModcclm 19087
This theorem is referenced by:  nmoleub2a  19125  nmoleub2b  19126
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cmn 15414  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lmhm 16098  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-xms 18350  df-ms 18351  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-nlm 18634  df-nmo 18742  df-nghm 18743  df-clm 19088
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