Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoleub2lem2 Unicode version

Theorem nmoleub2lem2 18597
 Description: Lemma for nmoleub2a 18598 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n
nmoleub2.v
nmoleub2.l
nmoleub2.m
nmoleub2.g Scalar
nmoleub2.w
nmoleub2.s NrmMod CMod
nmoleub2.t NrmMod CMod
nmoleub2.f LMHom
nmoleub2.a
nmoleub2.r
nmoleub2a.5
nmoleub2lem2.6
nmoleub2lem2.7
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem nmoleub2lem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2
2 nmoleub2.v . 2
3 nmoleub2.l . 2
4 nmoleub2.m . 2
5 nmoleub2.g . 2 Scalar
6 nmoleub2.w . 2
7 nmoleub2.s . 2 NrmMod CMod
8 nmoleub2.t . 2 NrmMod CMod
9 nmoleub2.f . 2 LMHom
10 nmoleub2.a . 2
11 nmoleub2.r . 2
12 lmghm 15788 . . . . . . . . 9 LMHom
13 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
14 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
1513, 14ghmid 14689 . . . . . . . . 9
169, 12, 153syl 18 . . . . . . . 8
1716fveq2d 5529 . . . . . . 7
18 inss1 3389 . . . . . . . . 9 NrmMod CMod NrmMod
1918, 8sseldi 3178 . . . . . . . 8 NrmMod
20 nlmngp 18188 . . . . . . . 8 NrmMod NrmGrp
214, 14nm0 18148 . . . . . . . 8 NrmGrp
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . 7
2317, 22eqtrd 2315 . . . . . 6
2423adantr 451 . . . . 5
2524oveq1d 5873 . . . 4
2611adantr 451 . . . . . 6
2726rpcnd 10392 . . . . 5
2826rpne0d 10395 . . . . 5
2927, 28div0d 9535 . . . 4
3025, 29eqtrd 2315 . . 3
3118, 7sseldi 3178 . . . . . . 7 NrmMod
32 nlmngp 18188 . . . . . . 7 NrmMod NrmGrp
3331, 32syl 15 . . . . . 6 NrmGrp
34 ngpgrp 18121 . . . . . 6 NrmGrp
352, 13grpidcl 14510 . . . . . 6
3633, 34, 353syl 18 . . . . 5
3736adantr 451 . . . 4
382, 3nmcl 18137 . . . . . . . . 9 NrmGrp
3933, 38sylan 457 . . . . . . . 8
4011adantr 451 . . . . . . . . 9
4140rpred 10390 . . . . . . . 8
42 nmoleub2lem2.7 . . . . . . . 8
4339, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . 7
4443imim1d 69 . . . . . 6
4544ralimdva 2621 . . . . 5
4645imp 418 . . . 4
473, 13nm0 18148 . . . . . . 7 NrmGrp
4831, 32, 473syl 18 . . . . . 6
4948adantr 451 . . . . 5
5026rpgt0d 10393 . . . . 5
5149, 50eqbrtrd 4043 . . . 4
52 fveq2 5525 . . . . . . 7
5352breq1d 4033 . . . . . 6
54 fveq2 5525 . . . . . . . . 9
5554fveq2d 5529 . . . . . . . 8
5655oveq1d 5873 . . . . . . 7
5756breq1d 4033 . . . . . 6
5853, 57imbi12d 311 . . . . 5
5958rspcv 2880 . . . 4
6037, 46, 51, 59syl3c 57 . . 3
6130, 60eqbrtrrd 4045 . 2
62 simpll 730 . . . . . 6
6362ad2antrr 706 . . . . 5
6463, 7syl 15 . . . 4 NrmMod CMod
6563, 8syl 15 . . . 4 NrmMod CMod
6663, 9syl 15 . . . 4 LMHom
6763, 10syl 15 . . . 4
6863, 11syl 15 . . . 4
69 nmoleub2a.5 . . . . 5
7063, 69syl 15 . . . 4
71 eqid 2283 . . . 4
72 simpllr 735 . . . 4
7361ad3antrrr 710 . . . 4
74 simplrl 736 . . . 4
75 simplrr 737 . . . 4
7646ad3antrrr 710 . . . . 5
77 fveq2 5525 . . . . . . . 8
7877breq1d 4033 . . . . . . 7
79 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
8079fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
8180oveq1d 5873 . . . . . . . 8
8281breq1d 4033 . . . . . . 7
8378, 82imbi12d 311 . . . . . 6
8483rspccv 2881 . . . . 5
8576, 84syl 15 . . . 4
86 simpr 447 . . . 4
871, 2, 3, 4, 5, 6, 64, 65, 66, 67, 68, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 85, 86nmoleub2lem3 18596 . . 3
88 iman 413 . . 3
8987, 88mpbir 200 . 2
90 nmoleub2lem2.6 . . 3
9139, 41, 90syl2anc 642 . 2
921, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 61, 89, 91nmoleub2lem 18595 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543   cin 3151   wss 3152   class class class wbr 4023  cfv 5255  (class class class)co 5858  cr 8736  cc0 8737   cmul 8742  cxr 8866   clt 8867   cle 8868   cdiv 9423  cq 10316  crp 10354  cbs 13148  Scalarcsca 13211  cvsca 13212  c0g 13400  cgrp 14362   cghm 14680   LMHom clmhm 15776  cnm 18099  NrmGrpcngp 18100  NrmModcnlm 18103  cnmo 18214  CModcclm 18560 This theorem is referenced by:  nmoleub2a  18598  nmoleub2b  18599 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nlm 18109  df-nmo 18217  df-nghm 18218  df-clm 18561
 Copyright terms: Public domain W3C validator