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Theorem nmoleub2lem3 18987
Description: Lemma for nmoleub2a 18989 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoleub2.v  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoleub2.l  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoleub2.m  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmoleub2.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmoleub2.w  |-  K  =  ( Base `  G
)
nmoleub2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
nmoleub2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
nmoleub2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nmoleub2a.5  |-  ( ph  ->  QQ  C_  K )
nmoleub2lem3.p  |-  .x.  =  ( .s `  S )
nmoleub2lem3.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nmoleub2lem3.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
nmoleub2lem3.3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
nmoleub2lem3.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  ( 0g
`  S ) )
nmoleub2lem3.5  |-  ( ph  ->  ( ( r  .x.  B )  e.  V  ->  ( ( L `  ( r  .x.  B
) )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( r 
.x.  B ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
nmoleub2lem3.6  |-  ( ph  ->  -.  ( M `  ( F `  B ) )  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem3  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    A, r    F, r    L, r    M, r    ph, r    B, r    R, r
Allowed substitution hints:    S( r)    T( r)    .x. ( r)    G( r)    K( r)    N( r)    V( r)

Proof of Theorem nmoleub2lem3
StepHypRef Expression
1 nmoleub2lem3.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 nmoleub2.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
32rpred 10573 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
41, 3remulcld 9042 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  x.  R
)  e.  RR )
5 inss1 3497 . . . . . . . . 9  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ NrmMod
6 nmoleub2.t . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
75, 6sseldi 3282 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e. NrmMod )
8 nlmngp 18577 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
10 nmoleub2.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
11 nmoleub2.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  S
)
12 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
1311, 12lmhmf 16030 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
1410, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : V --> ( Base `  T ) )
15 nmoleub2lem3.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
1614, 15ffvelrnd 5803 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  ( Base `  T ) )
17 nmoleub2.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( norm `  T
)
1812, 17nmcl 18526 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  B )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  B ) )  e.  RR )
199, 16, 18syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  B )
)  e.  RR )
20 0re 9017 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
22 nmoleub2.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
235, 22sseldi 3282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e. NrmMod )
24 nlmngp 18577 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
26 nmoleub2.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( norm `  S
)
2711, 26nmcl 18526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  ( L `  B )  e.  RR )
2825, 15, 27syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L `  B
)  e.  RR )
291, 28remulcld 9042 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( L `  B )
)  e.  RR )
30 nmoleub2lem3.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3111, 26nmge0 18527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  0  <_  ( L `  B
) )
3225, 15, 31syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( L `  B ) )
331, 28, 30, 32mulge0d 9528 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) )
34 nmoleub2lem3.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( M `  ( F `  B ) )  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) )
3529, 19ltnled 9145 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( L `  B ) )  <  ( M `
 ( F `  B ) )  <->  -.  ( M `  ( F `  B ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  B )
) ) )
3634, 35mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( L `  B )
)  <  ( M `  ( F `  B
) ) )
3721, 29, 19, 33, 36lelttrd 9153 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( M `
 ( F `  B ) ) )
3819, 37elrpd 10571 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  B )
)  e.  RR+ )
394, 38rerpdivcld 10600 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  e.  RR )
40 nmoleub2lem3.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =/=  ( 0g
`  S ) )
41 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
4211, 26, 41nmrpcl 18530 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  B  e.  V  /\  B  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  B )  e.  RR+ )
4325, 15, 40, 42syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L `  B
)  e.  RR+ )
443, 43rerpdivcld 10600 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  /  ( L `  B )
)  e.  RR )
451recnd 9040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
463recnd 9040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
4728recnd 9040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  B
)  e.  CC )
48 mulass 9004 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  R  e.  CC  /\  ( L `  B )  e.  CC )  ->  (
( A  x.  R
)  x.  ( L `
 B ) )  =  ( A  x.  ( R  x.  ( L `  B )
) ) )
49 mul12 9157 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  R  e.  CC  /\  ( L `  B )  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( R  x.  ( L `  B
) ) )  =  ( R  x.  ( A  x.  ( L `  B ) ) ) )
5048, 49eqtrd 2412 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  R  e.  CC  /\  ( L `  B )  e.  CC )  ->  (
( A  x.  R
)  x.  ( L `
 B ) )  =  ( R  x.  ( A  x.  ( L `  B )
) ) )
5145, 46, 47, 50syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  R )  x.  ( L `  B )
)  =  ( R  x.  ( A  x.  ( L `  B ) ) ) )
5229, 19, 2, 36ltmul2dd 10625 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( A  x.  ( L `  B ) ) )  <  ( R  x.  ( M `  ( F `
 B ) ) ) )
5351, 52eqbrtrd 4166 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  R )  x.  ( L `  B )
)  <  ( R  x.  ( M `  ( F `  B )
) ) )
5443rpregt0d 10579 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( L `  B )  e.  RR  /\  0  <  ( L `
 B ) ) )
5519, 37jca 519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
56 lt2mul2div 9811 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  x.  R )  e.  RR  /\  ( ( L `  B )  e.  RR  /\  0  <  ( L `
 B ) ) )  /\  ( R  e.  RR  /\  (
( M `  ( F `  B )
)  e.  RR  /\  0  <  ( M `  ( F `  B ) ) ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  R )  x.  ( L `  B ) )  < 
( R  x.  ( M `  ( F `  B ) ) )  <-> 
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  ( R  / 
( L `  B
) ) ) )
574, 54, 3, 55, 56syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  R )  x.  ( L `  B
) )  <  ( R  x.  ( M `  ( F `  B
) ) )  <->  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  ( R  /  ( L `  B ) ) ) )
5853, 57mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  ( R  / 
( L `  B
) ) )
59 qbtwnre 10710 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  e.  RR  /\  ( R  /  ( L `  B ) )  e.  RR  /\  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  ( R  /  ( L `  B ) ) )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( ( A  x.  R )  / 
( M `  ( F `  B )
) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B ) ) ) )
6039, 44, 58, 59syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  QQ  ( ( ( A  x.  R )  / 
( M `  ( F `  B )
) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B ) ) ) )
61 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r )
6210ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
63 nmoleub2a.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  QQ  C_  K )
6463sselda 3284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  r  e.  QQ )  ->  r  e.  K )
6564adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
r  e.  K )
6615ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  B  e.  V )
67 nmoleub2.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  G  =  (Scalar `  S )
68 nmoleub2.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  =  ( Base `  G
)
69 nmoleub2lem3.p . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  ( .s `  S )
70 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .s
`  T )  =  ( .s `  T
)
7167, 68, 11, 69, 70lmhmlin 16031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  r  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  ( F `  ( r  .x.  B ) )  =  ( r ( .s
`  T ) ( F `  B ) ) )
7262, 65, 66, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( F `  (
r  .x.  B )
)  =  ( r ( .s `  T
) ( F `  B ) ) )
7372fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( M `  ( F `  ( r  .x.  B ) ) )  =  ( M `  ( r ( .s
`  T ) ( F `  B ) ) ) )
747ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  T  e. NrmMod )
75 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
7667, 75lmhmsca 16026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  (Scalar `  T
)  =  G )
7762, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
(Scalar `  T )  =  G )
7877fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( Base `  (Scalar `  T
) )  =  (
Base `  G )
)
7978, 68syl6eqr 2430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( Base `  (Scalar `  T
) )  =  K )
8065, 79eleqtrrd 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
r  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
8116ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( F `  B
)  e.  ( Base `  T ) )
82 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
)
83 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( norm `  (Scalar `  T )
)  =  ( norm `  (Scalar `  T )
)
8412, 17, 70, 75, 82, 83nmvs 18576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e. NrmMod  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) )  /\  ( F `  B )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( r
( .s `  T
) ( F `  B ) ) )  =  ( ( (
norm `  (Scalar `  T
) ) `  r
)  x.  ( M `
 ( F `  B ) ) ) )
8574, 80, 81, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( M `  (
r ( .s `  T ) ( F `
 B ) ) )  =  ( ( ( norm `  (Scalar `  T ) ) `  r )  x.  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
8677fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( norm `  (Scalar `  T
) )  =  (
norm `  G )
)
8786fveq1d 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( norm `  (Scalar `  T ) ) `  r )  =  ( ( norm `  G
) `  r )
)
88 inss2 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ CMod
8988, 22sseldi 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  S  e. CMod )
9089ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  S  e. CMod )
9167, 68clmabs 18971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e. CMod  /\  r  e.  K )  ->  ( abs `  r )  =  ( ( norm `  G
) `  r )
)
9290, 65, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( abs `  r
)  =  ( (
norm `  G ) `  r ) )
93 qre 10504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e.  QQ  ->  r  e.  RR )
9493ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
r  e.  RR )
9520a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
0  e.  RR )
9639ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  e.  RR )
972rpge0d 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
981, 3, 30, 97mulge0d 9528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  R ) )
99 divge0 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  x.  R )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  R ) )  /\  ( ( M `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M `  ( F `  B ) ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
1004, 98, 19, 37, 99syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
101100ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
10295, 96, 94, 101, 61lelttrd 9153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
0  <  r )
10395, 94, 102ltled 9146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
0  <_  r )
10494, 103absidd 12145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( abs `  r
)  =  r )
10592, 104eqtr3d 2414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( norm `  G
) `  r )  =  r )
10687, 105eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( norm `  (Scalar `  T ) ) `  r )  =  r )
107106oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( ( norm `  (Scalar `  T )
) `  r )  x.  ( M `  ( F `  B )
) )  =  ( r  x.  ( M `
 ( F `  B ) ) ) )
10873, 85, 1073eqtrd 2416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( M `  ( F `  ( r  .x.  B ) ) )  =  ( r  x.  ( M `  ( F `  B )
) ) )
109108oveq1d 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( r 
.x.  B ) ) )  /  R )  =  ( ( r  x.  ( M `  ( F `  B ) ) )  /  R
) )
11023ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  S  e. NrmMod )
111 nlmlmod 18578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e.  LMod )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  S  e.  LMod )
11311, 67, 69, 68lmodvscl 15887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  r  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
r  .x.  B )  e.  V )
114112, 65, 66, 113syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( r  .x.  B
)  e.  V )
115 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
11611, 26, 69, 67, 68, 115nmvs 18576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  r  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  ( L `  ( r  .x.  B ) )  =  ( ( ( norm `  G ) `  r
)  x.  ( L `
 B ) ) )
117110, 65, 66, 116syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( L `  (
r  .x.  B )
)  =  ( ( ( norm `  G
) `  r )  x.  ( L `  B
) ) )
118105oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( ( norm `  G ) `  r
)  x.  ( L `
 B ) )  =  ( r  x.  ( L `  B
) ) )
119117, 118eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( L `  (
r  .x.  B )
)  =  ( r  x.  ( L `  B ) ) )
120 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
r  <  ( R  /  ( L `  B ) ) )
1213ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  R  e.  RR )
12254ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( L `  B )  e.  RR  /\  0  <  ( L `
 B ) ) )
123 ltmuldiv 9805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  (
( L `  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( L `  B ) ) )  ->  ( ( r  x.  ( L `  B ) )  < 
R  <->  r  <  ( R  /  ( L `  B ) ) ) )
12494, 121, 122, 123syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( r  x.  ( L `  B
) )  <  R  <->  r  <  ( R  / 
( L `  B
) ) ) )
125120, 124mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( r  x.  ( L `  B )
)  <  R )
126119, 125eqbrtrd 4166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( L `  (
r  .x.  B )
)  <  R )
127 nmoleub2lem3.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( r  .x.  B )  e.  V  ->  ( ( L `  ( r  .x.  B
) )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( r 
.x.  B ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
128127ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( r  .x.  B )  e.  V  ->  ( ( L `  ( r  .x.  B
) )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( r 
.x.  B ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
129114, 126, 128mp2d 43 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( r 
.x.  B ) ) )  /  R )  <_  A )
130109, 129eqbrtrrd 4168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( r  x.  ( M `  ( F `  B )
) )  /  R
)  <_  A )
13119ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( M `  ( F `  B )
)  e.  RR )
13294, 131remulcld 9042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( r  x.  ( M `  ( F `  B ) ) )  e.  RR )
1331ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  A  e.  RR )
1342ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
135132, 133, 134ledivmul2d 10623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( ( r  x.  ( M `  ( F `  B ) ) )  /  R
)  <_  A  <->  ( r  x.  ( M `  ( F `  B )
) )  <_  ( A  x.  R )
) )
136130, 135mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( r  x.  ( M `  ( F `  B ) ) )  <_  ( A  x.  R ) )
137133, 121remulcld 9042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( A  x.  R
)  e.  RR )
13855ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
139 lemuldiv 9814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e.  RR  /\  ( A  x.  R
)  e.  RR  /\  ( ( M `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M `  ( F `  B ) ) ) )  -> 
( ( r  x.  ( M `  ( F `  B )
) )  <_  ( A  x.  R )  <->  r  <_  ( ( A  x.  R )  / 
( M `  ( F `  B )
) ) ) )
14094, 137, 138, 139syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( r  x.  ( M `  ( F `  B )
) )  <_  ( A  x.  R )  <->  r  <_  ( ( A  x.  R )  / 
( M `  ( F `  B )
) ) ) )
141136, 140mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
r  <_  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
14294, 96lenltd 9144 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( r  <_  (
( A  x.  R
)  /  ( M `
 ( F `  B ) ) )  <->  -.  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r ) )
143141, 142mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  -.  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r )
14461, 143pm2.21dd 101 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( M `  ( F `  B )
)  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) )
145144ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) )  ->  ( M `  ( F `  B ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  B )
) ) )
146145rexlimdva 2766 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B ) ) )  ->  ( M `  ( F `  B ) )  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) ) )
14760, 146mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  B )
)  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) )
148147, 34pm2.65i 167 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   E.wrex 2643    i^i cin 3255    C_ wss 3256   class class class wbr 4146   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916    x. cmul 8921   RR*cxr 9045    < clt 9046    <_ cle 9047    / cdiv 9602   QQcq 10499   RR+crp 10537   abscabs 11959   Basecbs 13389  Scalarcsca 13452   .scvsca 13453   0gc0g 13643   LModclmod 15870   LMHom clmhm 16015   normcnm 18488  NrmGrpcngp 18489  NrmModcnlm 18492   normOpcnmo 18603  CModcclm 18951
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-fz 10969  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-topgen 13587  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-grp 14732  df-subg 14861  df-ghm 14924  df-cmn 15334  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-cring 15584  df-subrg 15786  df-lmod 15872  df-lmhm 16018  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-xms 18252  df-ms 18253  df-nm 18494  df-ngp 18495  df-nlm 18498  df-clm 18952
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