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Theorem nmoleub2lem3 18596
Description: Lemma for nmoleub2a 18598 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoleub2.v  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoleub2.l  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoleub2.m  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmoleub2.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmoleub2.w  |-  K  =  ( Base `  G
)
nmoleub2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
nmoleub2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
nmoleub2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nmoleub2a.5  |-  ( ph  ->  QQ  C_  K )
nmoleub2lem3.p  |-  .x.  =  ( .s `  S )
nmoleub2lem3.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
nmoleub2lem3.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
nmoleub2lem3.3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
nmoleub2lem3.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  ( 0g
`  S ) )
nmoleub2lem3.5  |-  ( ph  ->  ( ( r  .x.  B )  e.  V  ->  ( ( L `  ( r  .x.  B
) )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( r 
.x.  B ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
nmoleub2lem3.6  |-  ( ph  ->  -.  ( M `  ( F `  B ) )  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem3  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    A, r    F, r    L, r    M, r    ph, r    B, r    R, r
Allowed substitution hints:    S( r)    T( r)    .x. ( r)    G( r)    K( r)    N( r)    V( r)

Proof of Theorem nmoleub2lem3
StepHypRef Expression
1 nmoleub2lem3.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 nmoleub2.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
32rpred 10390 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
41, 3remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  x.  R
)  e.  RR )
5 inss1 3389 . . . . . . . . 9  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ NrmMod
6 nmoleub2.t . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
75, 6sseldi 3178 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e. NrmMod )
8 nlmngp 18188 . . . . . . . 8  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
97, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
10 nmoleub2.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
11 nmoleub2.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  S
)
12 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
1311, 12lmhmf 15791 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
1410, 13syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : V --> ( Base `  T ) )
15 nmoleub2lem3.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
16 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : V --> ( Base `  T )  /\  B  e.  V )  ->  ( F `  B )  e.  ( Base `  T
) )
1714, 15, 16syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  ( Base `  T ) )
18 nmoleub2.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( norm `  T
)
1912, 18nmcl 18137 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  B )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  B ) )  e.  RR )
209, 17, 19syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  B )
)  e.  RR )
21 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2221a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
23 nmoleub2.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
245, 23sseldi 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e. NrmMod )
25 nlmngp 18188 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e. NrmGrp )
27 nmoleub2.l . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( norm `  S
)
2811, 27nmcl 18137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  ( L `  B )  e.  RR )
2926, 15, 28syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L `  B
)  e.  RR )
301, 29remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( L `  B )
)  e.  RR )
31 nmoleub2lem3.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3211, 27nmge0 18138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  0  <_  ( L `  B
) )
3326, 15, 32syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( L `  B ) )
341, 29, 31, 33mulge0d 9349 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) )
35 nmoleub2lem3.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( M `  ( F `  B ) )  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) )
3630, 20ltnled 8966 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  ( L `  B ) )  <  ( M `
 ( F `  B ) )  <->  -.  ( M `  ( F `  B ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  B )
) ) )
3735, 36mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( L `  B )
)  <  ( M `  ( F `  B
) ) )
3822, 30, 20, 34, 37lelttrd 8974 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( M `
 ( F `  B ) ) )
3920, 38elrpd 10388 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  B )
)  e.  RR+ )
404, 39rerpdivcld 10417 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  e.  RR )
41 nmoleub2lem3.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =/=  ( 0g
`  S ) )
42 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
4311, 27, 42nmrpcl 18141 . . . . . 6  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  B  e.  V  /\  B  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  B )  e.  RR+ )
4426, 15, 41, 43syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L `  B
)  e.  RR+ )
453, 44rerpdivcld 10417 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  /  ( L `  B )
)  e.  RR )
461recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
473recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
4829recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L `  B
)  e.  CC )
49 mulass 8825 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  R  e.  CC  /\  ( L `  B )  e.  CC )  ->  (
( A  x.  R
)  x.  ( L `
 B ) )  =  ( A  x.  ( R  x.  ( L `  B )
) ) )
50 mul12 8978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  R  e.  CC  /\  ( L `  B )  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( R  x.  ( L `  B
) ) )  =  ( R  x.  ( A  x.  ( L `  B ) ) ) )
5149, 50eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  R  e.  CC  /\  ( L `  B )  e.  CC )  ->  (
( A  x.  R
)  x.  ( L `
 B ) )  =  ( R  x.  ( A  x.  ( L `  B )
) ) )
5246, 47, 48, 51syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  R )  x.  ( L `  B )
)  =  ( R  x.  ( A  x.  ( L `  B ) ) ) )
5330, 20, 2, 37ltmul2dd 10442 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  x.  ( A  x.  ( L `  B ) ) )  <  ( R  x.  ( M `  ( F `
 B ) ) ) )
5452, 53eqbrtrd 4043 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  R )  x.  ( L `  B )
)  <  ( R  x.  ( M `  ( F `  B )
) ) )
5544rpregt0d 10396 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( L `  B )  e.  RR  /\  0  <  ( L `
 B ) ) )
5620, 38jca 518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
57 lt2mul2div 9632 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  x.  R )  e.  RR  /\  ( ( L `  B )  e.  RR  /\  0  <  ( L `
 B ) ) )  /\  ( R  e.  RR  /\  (
( M `  ( F `  B )
)  e.  RR  /\  0  <  ( M `  ( F `  B ) ) ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  R )  x.  ( L `  B ) )  < 
( R  x.  ( M `  ( F `  B ) ) )  <-> 
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  ( R  / 
( L `  B
) ) ) )
584, 55, 3, 56, 57syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  R )  x.  ( L `  B
) )  <  ( R  x.  ( M `  ( F `  B
) ) )  <->  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  ( R  /  ( L `  B ) ) ) )
5954, 58mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  ( R  / 
( L `  B
) ) )
60 qbtwnre 10526 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  e.  RR  /\  ( R  /  ( L `  B ) )  e.  RR  /\  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  ( R  /  ( L `  B ) ) )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( ( A  x.  R )  / 
( M `  ( F `  B )
) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B ) ) ) )
6140, 45, 59, 60syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  E. r  e.  QQ  ( ( ( A  x.  R )  / 
( M `  ( F `  B )
) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B ) ) ) )
62 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r )
6310ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
64 nmoleub2a.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  QQ  C_  K )
6564sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  r  e.  QQ )  ->  r  e.  K )
6665adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
r  e.  K )
6715ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  B  e.  V )
68 nmoleub2.g . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  =  (Scalar `  S )
69 nmoleub2.w . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  =  ( Base `  G
)
70 nmoleub2lem3.p . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .x.  =  ( .s `  S )
71 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .s
`  T )  =  ( .s `  T
)
7268, 69, 11, 70, 71lmhmlin 15792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  r  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  ( F `  ( r  .x.  B ) )  =  ( r ( .s
`  T ) ( F `  B ) ) )
7363, 66, 67, 72syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( F `  (
r  .x.  B )
)  =  ( r ( .s `  T
) ( F `  B ) ) )
7473fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( M `  ( F `  ( r  .x.  B ) ) )  =  ( M `  ( r ( .s
`  T ) ( F `  B ) ) ) )
757ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  T  e. NrmMod )
76 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
7768, 76lmhmsca 15787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  (Scalar `  T
)  =  G )
7863, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
(Scalar `  T )  =  G )
7978fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( Base `  (Scalar `  T
) )  =  (
Base `  G )
)
8079, 69syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( Base `  (Scalar `  T
) )  =  K )
8166, 80eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
r  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
8217ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( F `  B
)  e.  ( Base `  T ) )
83 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
)
84 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( norm `  (Scalar `  T )
)  =  ( norm `  (Scalar `  T )
)
8512, 18, 71, 76, 83, 84nmvs 18187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e. NrmMod  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) )  /\  ( F `  B )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( r
( .s `  T
) ( F `  B ) ) )  =  ( ( (
norm `  (Scalar `  T
) ) `  r
)  x.  ( M `
 ( F `  B ) ) ) )
8675, 81, 82, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( M `  (
r ( .s `  T ) ( F `
 B ) ) )  =  ( ( ( norm `  (Scalar `  T ) ) `  r )  x.  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
8778fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( norm `  (Scalar `  T
) )  =  (
norm `  G )
)
8887fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( norm `  (Scalar `  T ) ) `  r )  =  ( ( norm `  G
) `  r )
)
89 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ CMod
9089, 23sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  S  e. CMod )
9190ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  S  e. CMod )
9268, 69clmabs 18580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e. CMod  /\  r  e.  K )  ->  ( abs `  r )  =  ( ( norm `  G
) `  r )
)
9391, 66, 92syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( abs `  r
)  =  ( (
norm `  G ) `  r ) )
94 qre 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  QQ  ->  r  e.  RR )
9594ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
r  e.  RR )
9621a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
0  e.  RR )
9740ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  e.  RR )
982rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
991, 3, 31, 98mulge0d 9349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  x.  R ) )
100 divge0 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  x.  R )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  x.  R ) )  /\  ( ( M `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M `  ( F `  B ) ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
1014, 99, 20, 38, 100syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
102101ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
10396, 97, 95, 102, 62lelttrd 8974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
0  <  r )
10496, 95, 103ltled 8967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
0  <_  r )
10595, 104absidd 11905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( abs `  r
)  =  r )
10693, 105eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( norm `  G
) `  r )  =  r )
10788, 106eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( norm `  (Scalar `  T ) ) `  r )  =  r )
108107oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( ( norm `  (Scalar `  T )
) `  r )  x.  ( M `  ( F `  B )
) )  =  ( r  x.  ( M `
 ( F `  B ) ) ) )
10974, 86, 1083eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( M `  ( F `  ( r  .x.  B ) ) )  =  ( r  x.  ( M `  ( F `  B )
) ) )
110109oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( r 
.x.  B ) ) )  /  R )  =  ( ( r  x.  ( M `  ( F `  B ) ) )  /  R
) )
11124ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  S  e. NrmMod )
112 nlmlmod 18189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e.  LMod )
113111, 112syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  S  e.  LMod )
11411, 68, 70, 69lmodvscl 15644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  r  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  (
r  .x.  B )  e.  V )
115113, 66, 67, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( r  .x.  B
)  e.  V )
116 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
11711, 27, 70, 68, 69, 116nmvs 18187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  r  e.  K  /\  B  e.  V )  ->  ( L `  ( r  .x.  B ) )  =  ( ( ( norm `  G ) `  r
)  x.  ( L `
 B ) ) )
118111, 66, 67, 117syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( L `  (
r  .x.  B )
)  =  ( ( ( norm `  G
) `  r )  x.  ( L `  B
) ) )
119106oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( ( norm `  G ) `  r
)  x.  ( L `
 B ) )  =  ( r  x.  ( L `  B
) ) )
120118, 119eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( L `  (
r  .x.  B )
)  =  ( r  x.  ( L `  B ) ) )
121 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
r  <  ( R  /  ( L `  B ) ) )
1223ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  R  e.  RR )
12355ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( L `  B )  e.  RR  /\  0  <  ( L `
 B ) ) )
124 ltmuldiv 9626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  (
( L `  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( L `  B ) ) )  ->  ( ( r  x.  ( L `  B ) )  < 
R  <->  r  <  ( R  /  ( L `  B ) ) ) )
12595, 122, 123, 124syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( r  x.  ( L `  B
) )  <  R  <->  r  <  ( R  / 
( L `  B
) ) ) )
126121, 125mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( r  x.  ( L `  B )
)  <  R )
127120, 126eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( L `  (
r  .x.  B )
)  <  R )
128 nmoleub2lem3.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( r  .x.  B )  e.  V  ->  ( ( L `  ( r  .x.  B
) )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( r 
.x.  B ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
129128ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( r  .x.  B )  e.  V  ->  ( ( L `  ( r  .x.  B
) )  <  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( r 
.x.  B ) ) )  /  R )  <_  A ) ) )
130115, 127, 129mp2d 41 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( r 
.x.  B ) ) )  /  R )  <_  A )
131110, 130eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( r  x.  ( M `  ( F `  B )
) )  /  R
)  <_  A )
13220ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( M `  ( F `  B )
)  e.  RR )
13395, 132remulcld 8863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( r  x.  ( M `  ( F `  B ) ) )  e.  RR )
1341ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  A  e.  RR )
1352ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
136133, 134, 135ledivmul2d 10440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( ( r  x.  ( M `  ( F `  B ) ) )  /  R
)  <_  A  <->  ( r  x.  ( M `  ( F `  B )
) )  <_  ( A  x.  R )
) )
137131, 136mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( r  x.  ( M `  ( F `  B ) ) )  <_  ( A  x.  R ) )
138134, 122remulcld 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( A  x.  R
)  e.  RR )
13956ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
140 lemuldiv 9635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  RR  /\  ( A  x.  R
)  e.  RR  /\  ( ( M `  ( F `  B ) )  e.  RR  /\  0  <  ( M `  ( F `  B ) ) ) )  -> 
( ( r  x.  ( M `  ( F `  B )
) )  <_  ( A  x.  R )  <->  r  <_  ( ( A  x.  R )  / 
( M `  ( F `  B )
) ) ) )
14195, 138, 139, 140syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( r  x.  ( M `  ( F `  B )
) )  <_  ( A  x.  R )  <->  r  <_  ( ( A  x.  R )  / 
( M `  ( F `  B )
) ) ) )
142137, 141mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
r  <_  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) ) )
14395, 97lenltd 8965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( r  <_  (
( A  x.  R
)  /  ( M `
 ( F `  B ) ) )  <->  -.  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r ) )
144142, 143mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  ->  -.  ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r )
145144pm2.21d 98 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( ( ( A  x.  R )  / 
( M `  ( F `  B )
) )  <  r  ->  ( M `  ( F `  B )
)  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) ) )
14662, 145mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  QQ )  /\  (
( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) ) )  -> 
( M `  ( F `  B )
)  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) )
147146ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B )
) )  ->  ( M `  ( F `  B ) )  <_ 
( A  x.  ( L `  B )
) ) )
148147rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( ( A  x.  R )  /  ( M `  ( F `  B ) ) )  <  r  /\  r  <  ( R  /  ( L `  B ) ) )  ->  ( M `  ( F `  B ) )  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) ) )
14961, 148mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( F `  B )
)  <_  ( A  x.  ( L `  B
) ) )
150149, 35pm2.65i 165 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   QQcq 10316   RR+crp 10354   abscabs 11719   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400   LModclmod 15627   LMHom clmhm 15776   normcnm 18099  NrmGrpcngp 18100  NrmModcnlm 18103   normOpcnmo 18214  CModcclm 18560
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  18597
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nlm 18109  df-clm 18561
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