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Theorem nmoleub3 19127
Description: The operator norm is the supremum of the value of a linear operator on the closed unit sphere. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoleub2.v  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoleub2.l  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoleub2.m  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmoleub2.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmoleub2.w  |-  K  =  ( Base `  G
)
nmoleub2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
nmoleub2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
nmoleub2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nmoleub3.5  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
nmoleub3.6  |-  ( ph  ->  RR  C_  K )
Assertion
Ref Expression
nmoleub3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, L    x, N    x, M    ph, x    x, S    x, V    x, R
Allowed substitution hints:    T( x)    G( x)    K( x)

Proof of Theorem nmoleub3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2  |-  N  =  ( S normOp T )
2 nmoleub2.v . 2  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 nmoleub2.l . 2  |-  L  =  ( norm `  S
)
4 nmoleub2.m . 2  |-  M  =  ( norm `  T
)
5 nmoleub2.g . 2  |-  G  =  (Scalar `  S )
6 nmoleub2.w . 2  |-  K  =  ( Base `  G
)
7 nmoleub2.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
8 nmoleub2.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
9 nmoleub2.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
10 nmoleub2.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
11 nmoleub2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
12 nmoleub3.5 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
1312adantr 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x )  =  R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
0  <_  A )
149ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
15 nmoleub3.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  RR  C_  K )
1615ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  RR  C_  K )
1711ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
18 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ NrmMod
1918, 7sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e. NrmMod )
2019ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  S  e. NrmMod )
21 nlmngp 18713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  S  e. NrmGrp )
23 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
y  e.  V )
24 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
y  =/=  ( 0g
`  S ) )
25 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
262, 3, 25nmrpcl 18666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  y )  e.  RR+ )
2722, 23, 24, 26syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  y
)  e.  RR+ )
2817, 27rpdivcld 10665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( R  /  ( L `  y )
)  e.  RR+ )
2928rpred 10648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( R  /  ( L `  y )
)  e.  RR )
3016, 29sseldd 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( R  /  ( L `  y )
)  e.  K )
31 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
32 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( .s
`  T )  =  ( .s `  T
)
335, 6, 2, 31, 32lmhmlin 16111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( R  /  ( L `  y ) )  e.  K  /\  y  e.  V )  ->  ( F `  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y ) )  =  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  T ) ( F `  y ) ) )
3414, 30, 23, 33syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( F `  (
( R  /  ( L `  y )
) ( .s `  S ) y ) )  =  ( ( R  /  ( L `
 y ) ) ( .s `  T
) ( F `  y ) ) )
3534fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  ( F `  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y ) ) )  =  ( M `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  T ) ( F `  y ) ) ) )
3618, 8sseldi 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e. NrmMod )
3736ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  T  e. NrmMod )
38 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
395, 38lmhmsca 16106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  (Scalar `  T
)  =  G )
4014, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
(Scalar `  T )  =  G )
4140fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( Base `  (Scalar `  T
) )  =  (
Base `  G )
)
4241, 6syl6eqr 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( Base `  (Scalar `  T
) )  =  K )
4330, 42eleqtrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( R  /  ( L `  y )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
44 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
452, 44lmhmf 16110 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
4614, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F : V --> ( Base `  T ) )
4746, 23ffvelrnd 5871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( Base `  T ) )
48 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
)
49 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( norm `  (Scalar `  T )
)  =  ( norm `  (Scalar `  T )
)
5044, 4, 32, 38, 48, 49nmvs 18712 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e. NrmMod  /\  ( R  /  ( L `  y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) )  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  T ) ( F `  y
) ) )  =  ( ( ( norm `  (Scalar `  T )
) `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  x.  ( M `  ( F `  y ) ) ) )
5137, 43, 47, 50syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  (
( R  /  ( L `  y )
) ( .s `  T ) ( F `
 y ) ) )  =  ( ( ( norm `  (Scalar `  T ) ) `  ( R  /  ( L `  y )
) )  x.  ( M `  ( F `  y ) ) ) )
5240fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( norm `  (Scalar `  T
) )  =  (
norm `  G )
)
5352fveq1d 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  (Scalar `  T ) ) `  ( R  /  ( L `  y )
) )  =  ( ( norm `  G
) `  ( R  /  ( L `  y ) ) ) )
54 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ CMod
5554, 7sseldi 3346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e. CMod )
5655ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  S  e. CMod )
575, 6clmabs 19107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. CMod  /\  ( R  /  ( L `  y ) )  e.  K )  ->  ( abs `  ( R  / 
( L `  y
) ) )  =  ( ( norm `  G
) `  ( R  /  ( L `  y ) ) ) )
5856, 30, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( abs `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  =  ( ( norm `  G ) `  ( R  /  ( L `  y ) ) ) )
5928rpge0d 10652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
0  <_  ( R  /  ( L `  y ) ) )
6029, 59absidd 12225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( abs `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  =  ( R  / 
( L `  y
) ) )
6158, 60eqtr3d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  G
) `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  =  ( R  / 
( L `  y
) ) )
6253, 61eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  (Scalar `  T ) ) `  ( R  /  ( L `  y )
) )  =  ( R  /  ( L `
 y ) ) )
6362oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( ( norm `  (Scalar `  T )
) `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  x.  ( M `  ( F `  y ) ) )  =  ( ( R  /  ( L `  y )
)  x.  ( M `
 ( F `  y ) ) ) )
6435, 51, 633eqtrd 2472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  ( F `  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y ) ) )  =  ( ( R  /  ( L `  y ) )  x.  ( M `  ( F `  y )
) ) )
6564oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( ( R  /  ( L `
 y ) ) ( .s `  S
) y ) ) )  /  R )  =  ( ( ( R  /  ( L `
 y ) )  x.  ( M `  ( F `  y ) ) )  /  R
) )
6628rpcnd 10650 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( R  /  ( L `  y )
)  e.  CC )
67 nlmngp 18713 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
6837, 67syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  T  e. NrmGrp )
6944, 4nmcl 18662 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  y ) )  e.  RR )
7068, 47, 69syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  ( F `  y )
)  e.  RR )
7170recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  ( F `  y )
)  e.  CC )
7217rpcnd 10650 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  R  e.  CC )
7317rpne0d 10653 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  R  =/=  0 )
7466, 71, 72, 73divassd 9825 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( ( R  /  ( L `  y ) )  x.  ( M `  ( F `  y )
) )  /  R
)  =  ( ( R  /  ( L `
 y ) )  x.  ( ( M `
 ( F `  y ) )  /  R ) ) )
7527rpcnd 10650 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  y
)  e.  CC )
7627rpne0d 10653 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  y
)  =/=  0 )
7771, 72, 75, 73, 76dmdcand 9819 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( R  / 
( L `  y
) )  x.  (
( M `  ( F `  y )
)  /  R ) )  =  ( ( M `  ( F `
 y ) )  /  ( L `  y ) ) )
7865, 74, 773eqtrd 2472 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( ( R  /  ( L `
 y ) ) ( .s `  S
) y ) ) )  /  R )  =  ( ( M `
 ( F `  y ) )  / 
( L `  y
) ) )
79 nlmlmod 18714 . . . . . . 7  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e.  LMod )
8020, 79syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  S  e.  LMod )
812, 5, 31, 6lmodvscl 15967 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  ( R  /  ( L `  y ) )  e.  K  /\  y  e.  V )  ->  (
( R  /  ( L `  y )
) ( .s `  S ) y )  e.  V )
8280, 30, 23, 81syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y )  e.  V )
83 simpllr 736 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  A. x  e.  V  ( ( L `  x )  =  R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )
84 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
852, 3, 31, 5, 6, 84nmvs 18712 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  ( R  /  ( L `  y ) )  e.  K  /\  y  e.  V )  ->  ( L `  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y ) )  =  ( ( ( norm `  G ) `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  x.  ( L `  y ) ) )
8620, 30, 23, 85syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  (
( R  /  ( L `  y )
) ( .s `  S ) y ) )  =  ( ( ( norm `  G
) `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  x.  ( L `  y ) ) )
8761oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( ( norm `  G ) `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  x.  ( L `  y ) )  =  ( ( R  / 
( L `  y
) )  x.  ( L `  y )
) )
8872, 75, 76divcan1d 9791 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( R  / 
( L `  y
) )  x.  ( L `  y )
)  =  R )
8986, 87, 883eqtrd 2472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  (
( R  /  ( L `  y )
) ( .s `  S ) y ) )  =  R )
90 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y )  ->  ( L `  x )  =  ( L `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y ) ) )
9190eqeq1d 2444 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y )  ->  (
( L `  x
)  =  R  <->  ( L `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y ) )  =  R ) )
92 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y ) ) )
9392fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  =  ( M `  ( F `  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y ) ) ) )
9493oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y )  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  /  R )  =  ( ( M `
 ( F `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y ) ) )  /  R ) )
9594breq1d 4222 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y )  ->  (
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A  <->  ( ( M `  ( F `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y ) ) )  /  R )  <_  A
) )
9691, 95imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y )  ->  (
( ( L `  x )  =  R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
)  <->  ( ( L `
 ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y ) )  =  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y ) ) )  /  R )  <_  A
) ) )
9796rspcv 3048 . . . . 5  |-  ( ( ( R  /  ( L `  y )
) ( .s `  S ) y )  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  ( ( L `  x )  =  R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
)  ->  ( ( L `  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y ) )  =  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y ) ) )  /  R )  <_  A
) ) )
9882, 83, 89, 97syl3c 59 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( ( R  /  ( L `
 y ) ) ( .s `  S
) y ) ) )  /  R )  <_  A )
9978, 98eqbrtrrd 4234 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  y ) )  /  ( L `
 y ) )  <_  A )
100 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  A  e.  RR )
10170, 100, 27ledivmul2d 10698 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( ( M `
 ( F `  y ) )  / 
( L `  y
) )  <_  A  <->  ( M `  ( F `
 y ) )  <_  ( A  x.  ( L `  y ) ) ) )
10299, 101mpbid 202 . 2  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  ( F `  y )
)  <_  ( A  x.  ( L `  y
) ) )
10311adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  e.  RR+ )
104103rpred 10648 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  e.  RR )
105104leidd 9593 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  <_  R )
106 breq1 4215 . . 3  |-  ( ( L `  x )  =  R  ->  (
( L `  x
)  <_  R  <->  R  <_  R ) )
107105, 106syl5ibrcom 214 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( L `  x
)  =  R  -> 
( L `  x
)  <_  R )
)
1081, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 102, 107nmoleub2lem 19122 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705    i^i cin 3319    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    x. cmul 8995   RR*cxr 9119    <_ cle 9121    / cdiv 9677   RR+crp 10612   abscabs 12039   Basecbs 13469  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   0gc0g 13723   LModclmod 15950   LMHom clmhm 16095   normcnm 18624  NrmGrpcngp 18625  NrmModcnlm 18628   normOpcnmo 18739  CModcclm 19087
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cmn 15414  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lmhm 16098  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-xms 18350  df-ms 18351  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-nlm 18634  df-nmo 18742  df-nghm 18743  df-clm 19088
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