Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoleub3 Unicode version

Theorem nmoleub3 18600
 Description: The operator norm is the supremum of the value of a linear operator on the closed unit sphere. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n
nmoleub2.v
nmoleub2.l
nmoleub2.m
nmoleub2.g Scalar
nmoleub2.w
nmoleub2.s NrmMod CMod
nmoleub2.t NrmMod CMod
nmoleub2.f LMHom
nmoleub2.a
nmoleub2.r
nmoleub3.5
nmoleub3.6
Assertion
Ref Expression
nmoleub3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem nmoleub3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2
2 nmoleub2.v . 2
3 nmoleub2.l . 2
4 nmoleub2.m . 2
5 nmoleub2.g . 2 Scalar
6 nmoleub2.w . 2
7 nmoleub2.s . 2 NrmMod CMod
8 nmoleub2.t . 2 NrmMod CMod
9 nmoleub2.f . 2 LMHom
10 nmoleub2.a . 2
11 nmoleub2.r . 2
12 nmoleub3.5 . . 3
149ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9 LMHom
15 nmoleub3.6 . . . . . . . . . . 11
1615ad3antrrr 710 . . . . . . . . . 10
1711ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12
18 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NrmMod CMod NrmMod
1918, 7sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmMod
2019ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmMod
21 nlmngp 18188 . . . . . . . . . . . . . 14 NrmMod NrmGrp
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
23 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13
24 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13
25 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14
262, 3, 25nmrpcl 18141 . . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
2722, 23, 24, 26syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
2817, 27rpdivcld 10407 . . . . . . . . . . 11
2928rpred 10390 . . . . . . . . . 10
3016, 29sseldd 3181 . . . . . . . . 9
31 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
32 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
335, 6, 2, 31, 32lmhmlin 15792 . . . . . . . . 9 LMHom
3414, 30, 23, 33syl3anc 1182 . . . . . . . 8
3534fveq2d 5529 . . . . . . 7
3618, 8sseldi 3178 . . . . . . . . 9 NrmMod
3736ad3antrrr 710 . . . . . . . 8 NrmMod
38 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar Scalar
395, 38lmhmsca 15787 . . . . . . . . . . . 12 LMHom Scalar
4014, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11 Scalar
4140fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10 Scalar
4241, 6syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9 Scalar
4330, 42eleqtrrd 2360 . . . . . . . 8 Scalar
44 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11
452, 44lmhmf 15791 . . . . . . . . . 10 LMHom
4614, 45syl 15 . . . . . . . . 9
47 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
4846, 23, 47syl2anc 642 . . . . . . . 8
49 eqid 2283 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
50 eqid 2283 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
5144, 4, 32, 38, 49, 50nmvs 18187 . . . . . . . 8 NrmMod Scalar Scalar
5237, 43, 48, 51syl3anc 1182 . . . . . . 7 Scalar
5340fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10 Scalar
5453fveq1d 5527 . . . . . . . . 9 Scalar
55 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . 13 NrmMod CMod CMod
5655, 7sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12 CMod
5756ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11 CMod
585, 6clmabs 18580 . . . . . . . . . . 11 CMod
5957, 30, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
6028rpge0d 10394 . . . . . . . . . . 11
6129, 60absidd 11905 . . . . . . . . . 10
6259, 61eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9
6354, 62eqtrd 2315 . . . . . . . 8 Scalar
6463oveq1d 5873 . . . . . . 7 Scalar
6535, 52, 643eqtrd 2319 . . . . . 6
6665oveq1d 5873 . . . . 5
6728rpcnd 10392 . . . . . 6
68 nlmngp 18188 . . . . . . . . 9 NrmMod NrmGrp
6937, 68syl 15 . . . . . . . 8 NrmGrp
7044, 4nmcl 18137 . . . . . . . 8 NrmGrp
7169, 48, 70syl2anc 642 . . . . . . 7
7271recnd 8861 . . . . . 6
7317rpcnd 10392 . . . . . 6
7417rpne0d 10395 . . . . . 6
7567, 72, 73, 74divassd 9571 . . . . 5
7627rpcnd 10392 . . . . . 6
7727rpne0d 10395 . . . . . 6
7872, 73, 76, 74, 77dmdcand 9565 . . . . 5
7966, 75, 783eqtrd 2319 . . . 4
80 nlmlmod 18189 . . . . . . 7 NrmMod
8120, 80syl 15 . . . . . 6
822, 5, 31, 6lmodvscl 15644 . . . . . 6
8381, 30, 23, 82syl3anc 1182 . . . . 5
84 simpllr 735 . . . . 5
85 eqid 2283 . . . . . . . 8
862, 3, 31, 5, 6, 85nmvs 18187 . . . . . . 7 NrmMod
8720, 30, 23, 86syl3anc 1182 . . . . . 6
8862oveq1d 5873 . . . . . 6
8973, 76, 77divcan1d 9537 . . . . . 6
9087, 88, 893eqtrd 2319 . . . . 5
91 fveq2 5525 . . . . . . . 8
9291eqeq1d 2291 . . . . . . 7
93 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
9493fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
9594oveq1d 5873 . . . . . . . 8
9695breq1d 4033 . . . . . . 7
9792, 96imbi12d 311 . . . . . 6
9897rspcv 2880 . . . . 5
9983, 84, 90, 98syl3c 57 . . . 4
10079, 99eqbrtrrd 4045 . . 3
101 simplr 731 . . . 4
10271, 101, 27ledivmul2d 10440 . . 3
103100, 102mpbid 201 . 2
10411adantr 451 . . . . 5
105104rpred 10390 . . . 4
106105leidd 9339 . . 3
107 breq1 4026 . . 3
108106, 107syl5ibrcom 213 . 2
1091, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 103, 108nmoleub2lem 18595 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543   cin 3151   wss 3152   class class class wbr 4023  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cr 8736  cc0 8737   cmul 8742  cxr 8866   cle 8868   cdiv 9423  crp 10354  cabs 11719  cbs 13148  Scalarcsca 13211  cvsca 13212  c0g 13400  clmod 15627   LMHom clmhm 15776  cnm 18099  NrmGrpcngp 18100  NrmModcnlm 18103  cnmo 18214  CModcclm 18560 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lmhm 15779  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-nlm 18109  df-nmo 18217  df-nghm 18218  df-clm 18561
 Copyright terms: Public domain W3C validator