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Theorem nmoleub3 18616
Description: The operator norm is the supremum of the value of a linear operator on the closed unit sphere. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n  |-  N  =  ( S normOp T )
nmoleub2.v  |-  V  =  ( Base `  S
)
nmoleub2.l  |-  L  =  ( norm `  S
)
nmoleub2.m  |-  M  =  ( norm `  T
)
nmoleub2.g  |-  G  =  (Scalar `  S )
nmoleub2.w  |-  K  =  ( Base `  G
)
nmoleub2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
nmoleub2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
nmoleub2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
nmoleub2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
nmoleub3.5  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
nmoleub3.6  |-  ( ph  ->  RR  C_  K )
Assertion
Ref Expression
nmoleub3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, L    x, N    x, M    ph, x    x, S    x, V    x, R
Allowed substitution hints:    T( x)    G( x)    K( x)

Proof of Theorem nmoleub3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2  |-  N  =  ( S normOp T )
2 nmoleub2.v . 2  |-  V  =  ( Base `  S
)
3 nmoleub2.l . 2  |-  L  =  ( norm `  S
)
4 nmoleub2.m . 2  |-  M  =  ( norm `  T
)
5 nmoleub2.g . 2  |-  G  =  (Scalar `  S )
6 nmoleub2.w . 2  |-  K  =  ( Base `  G
)
7 nmoleub2.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
8 nmoleub2.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  (NrmMod  i^i CMod ) )
9 nmoleub2.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S LMHom 
T ) )
10 nmoleub2.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
11 nmoleub2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
12 nmoleub3.5 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
1312adantr 451 . 2  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x )  =  R  ->  ( ( M `  ( F `
 x ) )  /  R )  <_  A ) )  -> 
0  <_  A )
149ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
15 nmoleub3.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  RR  C_  K )
1615ad3antrrr 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  RR  C_  K )
1711ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
18 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ NrmMod
1918, 7sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e. NrmMod )
2019ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  S  e. NrmMod )
21 nlmngp 18204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e. NrmGrp )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  S  e. NrmGrp )
23 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
y  e.  V )
24 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
y  =/=  ( 0g
`  S ) )
25 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
262, 3, 25nmrpcl 18157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e. NrmGrp  /\  y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) )  ->  ( L `  y )  e.  RR+ )
2722, 23, 24, 26syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  y
)  e.  RR+ )
2817, 27rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( R  /  ( L `  y )
)  e.  RR+ )
2928rpred 10406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( R  /  ( L `  y )
)  e.  RR )
3016, 29sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( R  /  ( L `  y )
)  e.  K )
31 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
32 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( .s
`  T )  =  ( .s `  T
)
335, 6, 2, 31, 32lmhmlin 15808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( R  /  ( L `  y ) )  e.  K  /\  y  e.  V )  ->  ( F `  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y ) )  =  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  T ) ( F `  y ) ) )
3414, 30, 23, 33syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( F `  (
( R  /  ( L `  y )
) ( .s `  S ) y ) )  =  ( ( R  /  ( L `
 y ) ) ( .s `  T
) ( F `  y ) ) )
3534fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  ( F `  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y ) ) )  =  ( M `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  T ) ( F `  y ) ) ) )
3618, 8sseldi 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e. NrmMod )
3736ad3antrrr 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  T  e. NrmMod )
38 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
395, 38lmhmsca 15803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  (Scalar `  T
)  =  G )
4014, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
(Scalar `  T )  =  G )
4140fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( Base `  (Scalar `  T
) )  =  (
Base `  G )
)
4241, 6syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( Base `  (Scalar `  T
) )  =  K )
4330, 42eleqtrrd 2373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( R  /  ( L `  y )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  T )
) )
44 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
452, 44lmhmf 15807 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F : V
--> ( Base `  T
) )
4614, 45syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  F : V --> ( Base `  T ) )
47 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : V --> ( Base `  T )  /\  y  e.  V )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )
4846, 23, 47syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( Base `  T ) )
49 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
)
50 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( norm `  (Scalar `  T )
)  =  ( norm `  (Scalar `  T )
)
5144, 4, 32, 38, 49, 50nmvs 18203 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e. NrmMod  /\  ( R  /  ( L `  y ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  T ) )  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  T ) ( F `  y
) ) )  =  ( ( ( norm `  (Scalar `  T )
) `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  x.  ( M `  ( F `  y ) ) ) )
5237, 43, 48, 51syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  (
( R  /  ( L `  y )
) ( .s `  T ) ( F `
 y ) ) )  =  ( ( ( norm `  (Scalar `  T ) ) `  ( R  /  ( L `  y )
) )  x.  ( M `  ( F `  y ) ) ) )
5340fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( norm `  (Scalar `  T
) )  =  (
norm `  G )
)
5453fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  (Scalar `  T ) ) `  ( R  /  ( L `  y )
) )  =  ( ( norm `  G
) `  ( R  /  ( L `  y ) ) ) )
55 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (NrmMod  i^i CMod ) 
C_ CMod
5655, 7sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e. CMod )
5756ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  S  e. CMod )
585, 6clmabs 18596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e. CMod  /\  ( R  /  ( L `  y ) )  e.  K )  ->  ( abs `  ( R  / 
( L `  y
) ) )  =  ( ( norm `  G
) `  ( R  /  ( L `  y ) ) ) )
5957, 30, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( abs `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  =  ( ( norm `  G ) `  ( R  /  ( L `  y ) ) ) )
6028rpge0d 10410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
0  <_  ( R  /  ( L `  y ) ) )
6129, 60absidd 11921 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( abs `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  =  ( R  / 
( L `  y
) ) )
6259, 61eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  G
) `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  =  ( R  / 
( L `  y
) ) )
6354, 62eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( norm `  (Scalar `  T ) ) `  ( R  /  ( L `  y )
) )  =  ( R  /  ( L `
 y ) ) )
6463oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( ( norm `  (Scalar `  T )
) `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  x.  ( M `  ( F `  y ) ) )  =  ( ( R  /  ( L `  y )
)  x.  ( M `
 ( F `  y ) ) ) )
6535, 52, 643eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  ( F `  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y ) ) )  =  ( ( R  /  ( L `  y ) )  x.  ( M `  ( F `  y )
) ) )
6665oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( ( R  /  ( L `
 y ) ) ( .s `  S
) y ) ) )  /  R )  =  ( ( ( R  /  ( L `
 y ) )  x.  ( M `  ( F `  y ) ) )  /  R
) )
6728rpcnd 10408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( R  /  ( L `  y )
)  e.  CC )
68 nlmngp 18204 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e. NrmMod  ->  T  e. NrmGrp )
6937, 68syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  T  e. NrmGrp )
7044, 4nmcl 18153 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  ( F `  y )  e.  ( Base `  T
) )  ->  ( M `  ( F `  y ) )  e.  RR )
7169, 48, 70syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  ( F `  y )
)  e.  RR )
7271recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  ( F `  y )
)  e.  CC )
7317rpcnd 10408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  R  e.  CC )
7417rpne0d 10411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  R  =/=  0 )
7567, 72, 73, 74divassd 9587 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( ( R  /  ( L `  y ) )  x.  ( M `  ( F `  y )
) )  /  R
)  =  ( ( R  /  ( L `
 y ) )  x.  ( ( M `
 ( F `  y ) )  /  R ) ) )
7627rpcnd 10408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  y
)  e.  CC )
7727rpne0d 10411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  y
)  =/=  0 )
7872, 73, 76, 74, 77dmdcand 9581 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( R  / 
( L `  y
) )  x.  (
( M `  ( F `  y )
)  /  R ) )  =  ( ( M `  ( F `
 y ) )  /  ( L `  y ) ) )
7966, 75, 783eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( ( R  /  ( L `
 y ) ) ( .s `  S
) y ) ) )  /  R )  =  ( ( M `
 ( F `  y ) )  / 
( L `  y
) ) )
80 nlmlmod 18205 . . . . . . 7  |-  ( S  e. NrmMod  ->  S  e.  LMod )
8120, 80syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  S  e.  LMod )
822, 5, 31, 6lmodvscl 15660 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  ( R  /  ( L `  y ) )  e.  K  /\  y  e.  V )  ->  (
( R  /  ( L `  y )
) ( .s `  S ) y )  e.  V )
8381, 30, 23, 82syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y )  e.  V )
84 simpllr 735 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  A. x  e.  V  ( ( L `  x )  =  R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
) )
85 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( norm `  G )  =  (
norm `  G )
862, 3, 31, 5, 6, 85nmvs 18203 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e. NrmMod  /\  ( R  /  ( L `  y ) )  e.  K  /\  y  e.  V )  ->  ( L `  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y ) )  =  ( ( ( norm `  G ) `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  x.  ( L `  y ) ) )
8720, 30, 23, 86syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  (
( R  /  ( L `  y )
) ( .s `  S ) y ) )  =  ( ( ( norm `  G
) `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  x.  ( L `  y ) ) )
8862oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( ( norm `  G ) `  ( R  /  ( L `  y ) ) )  x.  ( L `  y ) )  =  ( ( R  / 
( L `  y
) )  x.  ( L `  y )
) )
8973, 76, 77divcan1d 9553 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( R  / 
( L `  y
) )  x.  ( L `  y )
)  =  R )
9087, 88, 893eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( L `  (
( R  /  ( L `  y )
) ( .s `  S ) y ) )  =  R )
91 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y )  ->  ( L `  x )  =  ( L `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y ) ) )
9291eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y )  ->  (
( L `  x
)  =  R  <->  ( L `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y ) )  =  R ) )
93 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y ) ) )
9493fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y )  ->  ( M `  ( F `  x ) )  =  ( M `  ( F `  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y ) ) ) )
9594oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y )  ->  (
( M `  ( F `  x )
)  /  R )  =  ( ( M `
 ( F `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y ) ) )  /  R ) )
9695breq1d 4049 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y )  ->  (
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A  <->  ( ( M `  ( F `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y ) ) )  /  R )  <_  A
) )
9792, 96imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y )  ->  (
( ( L `  x )  =  R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
)  <->  ( ( L `
 ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y ) )  =  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y ) ) )  /  R )  <_  A
) ) )
9897rspcv 2893 . . . . 5  |-  ( ( ( R  /  ( L `  y )
) ( .s `  S ) y )  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  ( ( L `  x )  =  R  ->  ( ( M `
 ( F `  x ) )  /  R )  <_  A
)  ->  ( ( L `  ( ( R  /  ( L `  y ) ) ( .s `  S ) y ) )  =  R  ->  ( ( M `  ( F `  ( ( R  / 
( L `  y
) ) ( .s
`  S ) y ) ) )  /  R )  <_  A
) ) )
9983, 84, 90, 98syl3c 57 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  ( ( R  /  ( L `
 y ) ) ( .s `  S
) y ) ) )  /  R )  <_  A )
10079, 99eqbrtrrd 4061 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( M `  ( F `  y ) )  /  ( L `
 y ) )  <_  A )
101 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  ->  A  e.  RR )
10271, 101, 27ledivmul2d 10456 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( ( ( M `
 ( F `  y ) )  / 
( L `  y
) )  <_  A  <->  ( M `  ( F `
 y ) )  <_  ( A  x.  ( L `  y ) ) ) )
103100, 102mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( y  e.  V  /\  y  =/=  ( 0g `  S
) ) )  -> 
( M `  ( F `  y )
)  <_  ( A  x.  ( L `  y
) ) )
10411adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  e.  RR+ )
105104rpred 10406 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  e.  RR )
106105leidd 9355 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  <_  R )
107 breq1 4042 . . 3  |-  ( ( L `  x )  =  R  ->  (
( L `  x
)  <_  R  <->  R  <_  R ) )
108106, 107syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( L `  x
)  =  R  -> 
( L `  x
)  <_  R )
)
1091, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 103, 108nmoleub2lem 18611 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  F )  <_  A  <->  A. x  e.  V  ( ( L `  x
)  =  R  -> 
( ( M `  ( F `  x ) )  /  R )  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    i^i cin 3164    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    <_ cle 8884    / cdiv 9439   RR+crp 10370   abscabs 11735   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   LModclmod 15643   LMHom clmhm 15792   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116  NrmModcnlm 18119   normOpcnmo 18230  CModcclm 18576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lmhm 15795  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nlm 18125  df-nmo 18233  df-nghm 18234  df-clm 18577
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