Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoo0 Structured version   Unicode version

Theorem nmoo0 22297
 Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by NM, 27-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoo0.3
nmoo0.0
Assertion
Ref Expression
nmoo0

Proof of Theorem nmoo0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5
2 eqid 2438 . . . . 5
3 nmoo0.0 . . . . 5
41, 2, 30oo 22295 . . . 4
5 eqid 2438 . . . . 5 CV CV
6 eqid 2438 . . . . 5 CV CV
7 nmoo0.3 . . . . 5
81, 2, 5, 6, 7nmooval 22269 . . . 4 CV CV
94, 8mpd3an3 1281 . . 3 CV CV
10 df-sn 3822 . . . . 5
11 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
121, 11nvzcl 22120 . . . . . . . . . 10
1311, 5nvz0 22162 . . . . . . . . . . 11 CV
14 0le1 9556 . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl6eqbr 4252 . . . . . . . . . 10 CV
16 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . 12 CV CV
1716breq1d 4225 . . . . . . . . . . 11 CV CV
1817rspcev 3054 . . . . . . . . . 10 CV CV
1912, 15, 18syl2anc 644 . . . . . . . . 9 CV
2019biantrurd 496 . . . . . . . 8 CV
2120adantr 453 . . . . . . 7 CV
22 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15
231, 22, 30oval 22294 . . . . . . . . . . . . . 14
24233expa 1154 . . . . . . . . . . . . 13
2524fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12 CV CV
2622, 6nvz0 22162 . . . . . . . . . . . . 13 CV
2726ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . 12 CV
2825, 27eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11 CV
2928eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10 CV
3029anbi2d 686 . . . . . . . . 9 CV CV CV
3130rexbidva 2724 . . . . . . . 8 CV CV CV
32 r19.41v 2863 . . . . . . . 8 CV CV
3331, 32syl6rbb 255 . . . . . . 7 CV CV CV
3421, 33bitrd 246 . . . . . 6 CV CV
3534abbidv 2552 . . . . 5 CV CV
3610, 35syl5req 2483 . . . 4 CV CV
3736supeq1d 7454 . . 3 CV CV
389, 37eqtrd 2470 . 2
39 xrltso 10739 . . 3
40 0xr 9136 . . 3
41 supsn 7477 . . 3
4239, 40, 41mp2an 655 . 2
4338, 42syl6eq 2486 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424  wrex 2708  csn 3816   class class class wbr 4215   wor 4505  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  csup 7448  cc0 8995  c1 8996  cxr 9124   clt 9125   cle 9126  cnv 22068  cba 22070  cn0v 22072  CVcnmcv 22074  cnmoo 22247   c0o 22249 This theorem is referenced by:  0blo  22298  nmlno0lem  22299 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-ablo 21875  df-vc 22030  df-nv 22076  df-va 22079  df-ba 22080  df-sm 22081  df-0v 22082  df-nmcv 22084  df-nmoo 22251  df-0o 22253
 Copyright terms: Public domain W3C validator